D76高阶线性微分方程

1、高阶线性微分方程 第六节一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 第七章 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.说明说明:不一定是所给二阶方程的通

2、解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx

3、若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数

4、线性无关定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, )()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC则二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (

5、x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(m

6、kxfyxQyxPyk mkkyy1则)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyx

7、Py 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例1.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)1132233( )()()CC yyCyyy3322311)()()(yyyCyyCD例例2. 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常数

8、因而线性无关, 故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解为有三 常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 ),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含

9、对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为t

10、tse)24(22C例例3.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例4.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不难看出, 原方程有特解)e, 132xxxx例例5.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42思考与练习思考与练习 1.

11、求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21第八节 2.,2cos,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rri24, 3r因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCxCCyx2sin2cose)(4321)()(xfyxy 有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy