反常积分初步少学时ppt课件

1、 6.5 反常积分初步一、无穷限积分二、瑕积分B三、 函数与 函数1. 定义定义定义定义6.26.2.),)()316(d)(,)()(),)(上上的的无无穷穷限限积积分分在在无无穷穷区区间间为为符符号号上上可可积积，则则称称在在，且且对对任任意意实实数数上上有有定定义义，在在区区间间设设函函数数 axfxxfbaxfabbaxfa一、无穷限积分.d)()326(符号，无数值意义符号，无数值意义发散，这时它只是一个发散，这时它只是一个分分不存在，则称无穷限积不存在，则称无穷限积若极限若极限 axxf)336(d)(limd)( babaxxfxxf穷限积分的值，记作穷限积分的值，记作并且定义极

2、限值为该无并且定义极限值为该无收收敛敛，存存在在，则则称称无无穷穷限限积积分分若若极极限限 ababxxfxxfd)()326(d)(lim定义定义6.3.,()()236(d)(,)()(,()(上的无穷限积分上的无穷限积分在无穷区间在无穷区间为为上可积，则称上可积，则称在在，意实数意实数上有定义，且对任上有定义，且对任在区间在区间设设bxfxxfbaxfbaabxfb )336(d)(limd)(d)(d)(lim baabbbaaxxfxxfxxfxxf收敛，且收敛，且存在，称无穷限积分存在，称无穷限积分若极限若极限.d)(发散发散称无穷限积分称无穷限积分若上述极限不存在，则若上述极限不

3、存在，则 bxxf定义定义 6.4)346(d)(d)(d)(d)(d)(d)(),()( ccccxxfxxfxxfxxfxxfxxfcxf收敛，记作收敛，记作分分都收敛，则称无穷限积都收敛，则称无穷限积与与，积分，积分实数实数内有定义，若对任意内有定义，若对任意在在设设.d)(发散发散称积分称积分，则，则，只要有一个积分发散，只要有一个积分发散当上式右端两个积分中当上式右端两个积分中 xxf例例 1讨论以下无穷限积分的敛散性讨论以下无穷限积分的敛散性 ：;d11)1(02xx ;de)2(0 xx .dsin)3(xx 解解，有，有对任意对任意0)1( bbbxxx002arctand11

4、 barctan ，且由于且由于2arctanlim bb.2d1102收收敛敛于于因因此此xx ，有有对对任任意意0)2( b00edebxbxx be1 .1de0收敛于收敛于因此因此xx ，且且由由于于0elim bb，和和中包含两个无穷限积分中包含两个无穷限积分由于由于xxxxxxdsindsindsin)3(00 bbxxx00cosdsin bcos1 不不存存在在，且且由由于于bbcoslim ，中中，对对任任意意在在0dsin0 bxx发发散散，因因此此xxdsin0 .dsin发散发散从而从而xx 性质性质 6.6.)(d)(d)(的的敛敛散散性性具具有有相相同同与与abxx

5、fxxfba 性质性质 6.7.)0(d)(d)(有有相相同同的的敛敛散散性性具具为为常常数数与与 AxxfxxAfaa性质性质 6.8收敛，且收敛，且收敛，则收敛，则与与设设 aaaxxgxfxxgxxfd)()(d)(d)(.d)(d)(d)()( aaaxxgxxfxxgxf.d)(莱莱布布尼尼茨茨公公式式的的牛牛顿顿的的计计算算也也有有类类似似关关于于无无穷穷限限积积分分 axxf性质性质 6.9)356()()()(d)()(lim)()(lim),)()( aFFxFxxfxFFxFaxfxFaaxx，则，则存在，记存在，记且且上的原函数，上的原函数，在在是是设设而且定积分的换元法

6、在无穷限积分中也成立而且定积分的换元法在无穷限积分中也成立 .例例 2讨论以下无穷限积分的敛散性讨论以下无穷限积分的敛散性 .;de)1(0 xxx;d)2(1 pxx;de1e)3(2 xxx.d)4(12 xxx解解由分部积分公式可得由分部积分公式可得)1( 00dedexxxxx 00deexxxx 0ex1 xxxxx elime0其其中中要留意，不能出现如下运算要留意，不能出现如下运算 ee0 xx.0elim xxx0 时时，当当1)2( p 11lnd1xxx ，时时当当1 p 1111d1pxxxpp 1111ppp，时时发发散散，在在故故1d11 pxxp.111 pp时时收

7、收敛敛于于在在由于由于)3( xxxxx22e1dede1e，则则令令xte 0221de1dettxx 0arctant2 由于由于)4( 112)1(ddxxxxxxxxxd1111 11lnxx2ln 1 . 定义定义定义定义 6.7收敛，收敛，存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分若极限若极限上的瑕积分上的瑕积分在在为为称称的瑕点，的瑕点，为为时无界，则称时无界，则称在在但但上可积，上可积，在在，对任意对任意上有定义，并且上有定义，并且在区间在区间设函数设函数 bababaxxfxxfbaxfxxfxfaaxxfbaxfabbaxfd)(d)(lim.,()(d)()()(,)()0(0,(

8、)(0 即即并以此极限值为其值，并以此极限值为其值，)366(d)(limd)(0 babaxxfxxf 二、瑕积分.d)(发发散散积积分分若若极极限限不不存存在在，则则称称瑕瑕 baxxf的收敛性：的收敛性：可以类似地定义瑕积分可以类似地定义瑕积分时无界，时无界，在在为瑕点时，即函数为瑕点时，即函数当当 baxxfbxxfbd)()()376(d)(limd)(d)(d)(lim00 babababaxxfxxfxxfxxf即即且且定定义义其其值值为为极极限限值值，敛敛，收收存存在在，称称瑕瑕积积分分若若.d)(d)(lim0发散发散不存在，则称瑕积分不存在，则称瑕积分若极限若极限 baba

9、xxfxxf ，时时无无界界当当cx bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()386(d)(limd)(lim00 bccaxxfxxf .d)(发发散散否否则则称称瑕瑕积积分分 baxxf，内内部部一一点点在在一一般般地地，如如果果cbaxf),()(,bca 即即收收敛敛，且且收收敛敛时时，称称瑕瑕积积分分皆皆与与那那么么规规定定两两个个瑕瑕积积分分 babccaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例例 5讨论以下瑕积分的敛散性：讨论以下瑕积分的敛散性：;d)1(1)2(20 32 xx;dln)1(10 xxx.d)(1)3( bapxax解解. )1 , 0(0)1( 是是瑕

10、瑕点点，对对任任意意x 11dln2dln xxxxx 11d1ln2 xxxx)2ln(21 x 44ln2 ，由由洛洛必必达达法法则则得得0lnlim0 ，则则4dlnlim10 xxx.4dln10 收敛于收敛于即瑕积分即瑕积分xxx是瑕点，是瑕点，1)2( x 10301032013limd)1(1limxxx)1(lim330 3 ；收收敛敛于于因因此此瑕瑕积积分分3d)1(110 32 xx，收敛于收敛于同样可求得瑕积分同样可求得瑕积分3d)1(121 32 xx，先先考考虑虑瑕瑕积积分分 10 32d)1(1xx.6d)1(120 32 收收敛敛于于因因此此瑕瑕积积分分xx是是瑕

11、瑕点点，ax )3(babaaxxax lnd1 ln)ln( ab时，时，1 pbapbappaxxax 1)(d)(11 1,1)(1,1ppabpp时，时，对任何对任何1),0( pab )(1111ppabp 因此因此 bapbapxaxxax d)(1limd)(10时发散；时发散；当当即瑕积分即瑕积分1d)(1 pxaxbap.1)(11pabpp 时时收收敛敛于于当当例例 6 判别以下瑕积分的敛散性：判别以下瑕积分的敛散性：;d1)1(022 axxa.d1)2(11 xx解解是瑕点，是瑕点，ax )1( 20022dcoscosd1xtataxxaa 20dt,2 .2d102

12、2收收敛敛于于即即瑕瑕积积分分 axxa，则，则令令taxsin 是是瑕瑕点点，0)2( x，与与分分别别考考虑虑瑕瑕积积分分 1001d1d1xxxx.d1)3(511发散发散的结论知的结论知由例由例 xx留意留意 以下计算是错误的：以下计算是错误的：1111lnd1 xxx, 0 .0ln1点点不不连连续续在在的的原原函函数数这这是是因因为为 xxxB函数函数 .1函数，记为函数，记为的函数称为的函数称为为参变量为参变量作作称为参变量称为参变量其中其中反常积分反常积分 )(de01xxx)396(de)(01 xxx 性质性质6.106.10满足下列关系：满足下列关系：)( ; )()1(

13、)1( ;1)1()2( . )(!)1()3(为自然数为自然数nnn 三、 函数与 函数证明证明 由分部积分公式可得由分部积分公式可得 0de)1(xxx 0dexx 010deexxxxx )( 0de)1(xx 0ex1 ，则则中中取取在在n )()1()()1(nnn )1()1( nnn)1(12)1( nn!n 函数函数B.2函数，记为函数，记为函数就称为函数就称为的的，作为参变量作为参变量反常积分反常积分Bd)1(1011qpxxxqp )406(d)1(),(B1011 xxxqpqp性质性质 6.11 B 函数满足以下条件：函数满足以下条件：;),(B),(B)1(pqqp

14、;), 1(B1)1, 1(B)2(qpqpqqp .)()()(),(B)3(qpqpqp 证明证明，则则中中令令在在tx 1)406( 1011d)1(),(Bxxxqpqp 1011d)1(tttpq),(Bpq 10d)1()1, 1(Bxxxqpqp 101)d(1)1(xxxxqp 1011101d)1(d)1(xxxxxxqpqp 1011d)1(), 1(Bxxxqpqp得得中中利利用用分分部部积积分分公公式式可可在在 1011d)1(xxxqp 1011011)1(d1d)1(qpqpxxqxxx 10101d)1(1)1(1xxxqpxxqqpqp)1, 1(B1 qpqp因此因此)1, 1(B1), 1(B)1, 1(B qpqpqpqp求得求得)., 1(B1)1, 1(Bqpqpqqp 例例 9；，求求 2121,21B)1(.de)2(02 xx求求解解(1) 由于由于 102d121,21Bxxx是瑕点，由配方法可得是瑕点，由配方法可得，其中其中10 xx 1