随机过程的基本概念习习题答案

1、第一章 随机过程的基本概念1设随机过程 ，其中是正常数，而是标准正态变量。试求（t）的一维概率分布解： 当 即 即 时 若 即 时当 时此时 若 时 同理有 综上当： 即 时2利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为。试确定的一维分布函数和，以及二维分布函数解：（1）先求显然随机变量的可能取值只有0，1两种可能，于是 所以再求F（x,1） 显然 所以 (2) 计算 于是 3设随机过程共有三条样本曲线且试求随机过程数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。解： 数学期望 相关函数 4设随机过程 其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维

2、分布密度。解：对于任意 t>0 因为 当x>0时 当时 随机过程的一维分布密度为 5在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望和自相关函数解： 随机变量X的概率密度函数为因此： 6设随机过程在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t有 其中0<p<1。试求X(t)的一维和二维分布，并求x(t)的数学期望和自相关函数解：一维分布 二维分布： X(t)的数字期望随机过程X (t)的自相关函数为且；且；且 7设是独立同分布的随机序列，其中的分布列为XjJ=1，2，P定义。试对随机序列求（1）Y

3、1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望；（4）Yn的相关函数RY（n, m）。解：（1） Y1=X1 故概率分布则为 （2） 可能的取值为0或2，-2 = （3）的数字期望为（4）自样关函数 当mn 时 （相互独立） 当mn 时 8设随机过程的数字期望为协方差为，而是一个函数。试求随机过程的数字期望和协方差函数。解：随机过程的数字期望为的协方差函数为而 思考：有没有更为简单的方法呢9给定随机过程，对于任意一个数，定义另一个随机过程试证：的数字期望和相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。证明：设的一维和二维概率密度分加别为和则 若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有：

4、 10给定一个随机过程和常数a，试用的相关函数表示随机过程的相关函数。解：根据定义 11设随机过程 ，其中是正常数，A和是相互独立的随机变量，且A服从在区间0，1上的均匀分布，而服从在区间0，2上的均匀分布，试求的数字期望和相关函数。解： 12设随机过程，其中在区间中均匀分布的随机变量。试求的数字期望和协方差函数。解： 是区间上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为因此的数字期望为：当时 求其协方差函数：当且时 当且时 当但即时类上当时当时 当时13设随机过程（随机变量），向，试求的数字期望和协方差。解：14设随机过程，向随机矢量的协方差阵为，试求的协方程函数。解：而 15设随机过程其中X，Y,只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求的协方差函数。解： 16设随机过程的导数存在，试证证明： 证毕17设是相互独立分别服从正态分布的随机变量，作随机过程。试求下则随机变量的数学期望。 解： 18试证明均方导数的下列性质。（1）证明： （2）若a,b为常数，则证明：（3）若为可微函数，则证明：定义范数：，易证又19试证明