3-3.方阵的若当标准型ppt课件

1、Department of Mathematics矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程1Department of Mathematics矩阵的对角化矩阵的对角化, ,假设当规范型假设当规范型2Department of Mathematics定义定义1:设设 为数域为数域 上的多项式，令上的多项式，令( )(1,2,;1,2, )ijaim jnF111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmnaaaaaaAaaa3.3 方阵的假设当规范型方阵的假设当规范型 方阵化为对角形是有条件的，假设一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一方阵化为对角

2、形是有条件的，假设一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是一定的，分块对角形就是所谓的个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是一定的，分块对角形就是所谓的Jordan规范形。规范形。一，一， -矩阵与矩阵与Smith规范形规范形1, -矩阵矩阵)( ija 中次数最高的多项式称为中次数最高的多项式称为 的次的次数数)( A数字矩阵与特征矩阵数字矩阵与特征矩阵 都是都是 矩阵矩阵AI 那么那么 为多项式矩阵或为多项式矩阵或 矩阵。矩阵。 )( AA 3Department of Mathematics零矩阵的秩为零矩阵的秩为0定义定义2 假设假设 矩

3、阵矩阵 中有一个中有一个 阶阶 子式不为零，而一切子式不为零，而一切 阶子式阶子式(假设有的话假设有的话)全为零，那么称全为零，那么称 的秩为的秩为 ，记为，记为:( )Ar(1)r 1r ( )Arrank ( )Ar这里这里 是是 阶单位矩阵。阶单位矩阵。 称为称为 矩阵的逆矩阵，记为矩阵的逆矩阵，记为定义定义3 一个一个 阶阶 矩阵称为可逆的，假设有一个矩阵称为可逆的，假设有一个 阶阶 矩阵矩阵 满足满足:nn( )B( ) ( )( ) ( )ABBAEEn( )B( )A1( )A4Department of Mathematics 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种

4、对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵矩阵得初等矩阵( , ), ( ( ), ( , ( )P i j P i cP i j以下各种类型的变换，叫做以下各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换：矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行矩阵的任二行(列列)互换位置；互换位置； (2) 非零常数非零常数 乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3) 矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)的的 倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上 去，其中去，其中 是是 的一个多项式。的一个多项式。c( ) ( ) 5Department of Mathematics定理定理1: 对一个对一个

5、的的 矩阵矩阵 的行作初等行变换，相当于用相应的的行作初等行变换，相当于用相应的 阶初等矩阵左阶初等矩阵左乘乘 。对。对 的列作初等列变换，相当于用相应的的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵 右乘右乘mn( )Am( )A( )An( )A定义定义4 4 假设假设 经过有限次的初等变换之后变成经过有限次的初等变换之后变成 ，那么称，那么称 与与 等价，记之为等价，记之为( )A( )B( )B)()( BA ( )A定理定理2: 与与 等价的充要条件是存在两个可逆等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵矩阵 与与 ，使得，使得( )A( )B( )P( )Q( )( ) ( ) (

6、 )BPAQ6Department of Mathematics行列式因子的定行列式因子的定 义：义： 设设 为一个为一个 阶阶 矩阵矩阵, ,对于恣意的正整数对于恣意的正整数 必有非零的必有非零的 阶子式，阶子式， 的全部的全部 阶子式的首一最大公因子称为阶子式的首一最大公因子称为 的的 阶阶行列式因子。记为行列式因子。记为: : 1krk( )Ak( )Ak( )Ak( )An显然，假设显然，假设 ，那么行列式因子一共有，那么行列式因子一共有 个个( ( )rank Arr例例1 求求的各阶行列式因子。的各阶行列式因子。22221( )1A( )kD规定规定:1)(0 D7Departme

7、nt of Mathematics由于由于 ，所以，所以 。(1, )1 1( )1D2222321(1)( )1(1)( )1fg 显然显然 而且其他的而且其他的7个个2 阶子式也都包含阶子式也都包含 作为公因子，所以作为公因子，所以另外另外( ( ), ( )fg32323( )( )AD 2( )D8Department of Mathematics定理定理2： 等价等价 矩阵有一样的各阶行列式因子从而有一样的秩。矩阵有一样的各阶行列式因子从而有一样的秩。123( ),( ),( )DDD留意留意 ：察看：察看 三者之间的关系三者之间的关系定理定理3: 设设 为为 阶阶 矩阵矩阵, 是是

8、 的的 阶行列式因子阶行列式因子,那么那么:)( A)( An )()(1 kkDD )( kDk定义定义5:设设 为为 阶阶 矩阵矩阵, 是是 的的 阶行列式因子阶行列式因子,那么称那么称为为 的不变因子的不变因子)( A)( An )( kDknkDDdkkk, 2 , 1 )()(1 )( A9Department of Mathematics定理定理4 恣意一个非零的恣意一个非零的 阶阶 矩阵都等价于一个对角矩阵，即矩阵都等价于一个对角矩阵，即:n2, -矩阵矩阵Smith规范形的存在性规范形的存在性为为 的的Smith规范形。规范形。( )A )(000)(000)()(21 ndd

9、dA且且)()(1 kkdd 1, 2 , 1 nk是首项系数为是首项系数为1的多项式且是的多项式且是12( ),( ),( )rddd( )A的不变因子的不变因子10Department of Mathematics证明证明:由定理由定理2知知, 与与 有一样的行列式因子有一样的行列式因子 ,而而 的行列式因子为的行列式因子为 )( A)(,),(),(21 nddddiag)(,),(),(21 nddddiag)()(11 dD )()()(212 ddD )()()()(21 nndddD 所以所以, 为为 的不变因子的不变因子)()(1 kkkDDdnk, 2 , 1 )( A 阶阶

10、 矩阵矩阵 的不变因子是独一的的不变因子是独一的n )( A11Department of Mathematics例例222221( )1A将其化成将其化成Smith规范形规范形解：解：2222222223232432432110( )11101000000A 12Department of Mathematics)1()(,)(, 1)(321 ddd为不变因子为不变因子32322432100100000001000000(1) 13Department of Mathematics2(1)( )(1)A 解：解：2(1)( )(1)A 将其化成将其化成Smith规范形。规范形。练习练习1

11、114Department of Mathematics2(1)(1)(1)(2)1 2(1)( )(1)A 15Department of Mathematics32222(1)2021(1)(1)11(1)(1) 16Department of Mathematics例例 3将其化为将其化为Smith规范形。规范形。222223232123( )4353234421A22222421( )32321234353234A解：解： 17Department of Mathematics22222222421437333443532344214373334210 18Department of

12、Mathematics22222221042143733341202413343734 19Department of Mathematics2222221200104313410001043134 20Department of Mathematics2222321000103443110001001 21Department of Mathematics32210001000110001000(1)(1) 22Department of Mathematics推论推论1 矩阵矩阵 可逆的充要条件为可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。与单位矩阵等价。( )A( )A推论推论2 矩阵矩阵 可逆的

13、充要条件为可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。可以表示成一系列初等矩阵的乘积。( )A( )A与普通的数字矩阵一样，我们有下面的推论：与普通的数字矩阵一样，我们有下面的推论：3,初等因子初等因子设设 矩阵矩阵 的不变因子为的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：( )A12( ),( ),( )rddd23Department of Mathematics 11112221221211221212() ()()()()()()()()ssrsrreeeseeeseeersddd其中其中 是互异的复数，是互异的复数， 是非负整

14、数。是非负整数。由于由于 ,所以满足如下关系所以满足如下关系:1,sije1|( )(1,1)iiddir112111222212000rrssrseeeeeeeee于是于是,我们有定义我们有定义:24Department of Mathematics 初等因子的定义初等因子的定义 在上式中，一切指数大于零的因子在上式中，一切指数大于零的因子 称为称为 矩阵矩阵 的初等因子的初等因子( )A() ,0,1, ,1,ijejijeir js例例4 假设假设 矩阵矩阵 的不变因子为的不变因子为( )A 1222323341(1)(1) (1)(1) (1) (2)dddd 那么那么 的初等因子为的

15、初等因子为( )A2, ,1, 2323(1) ,(1) ,(1) ,(1) ,(2)25Department of Mathematics定理定理5 阶阶 矩阵矩阵 与与 等价的充要条件是它们有一样的秩且有一样的初等因子。等价的充要条件是它们有一样的秩且有一样的初等因子。n( )A( )B定理定理6 设设 矩阵矩阵为准对角形矩阵，那么为准对角形矩阵，那么 与与 的初等因子的全体是的初等因子的全体是 的全部初等因子。的全部初等因子。( )( )( )BAC( )B( )C( )A此定理也可推行成如下方式：此定理也可推行成如下方式：26Department of Mathematics推论推论3

16、 假设假设 矩阵矩阵那么那么 各个初等因子的全体各个初等因子的全体就是就是 的全部初等因子。的全部初等因子。12( )( )( )( )tAAAA12( ),( ),( )tAAA( )A27Department of Mathematics例例5 求求 矩阵矩阵的初等因子，不变因子与规范形。的初等因子，不变因子与规范形。22000000( )00(1)10022A21223( ),( ),(1)1( )22AAA解：记解：记28Department of Mathematics那么那么对于对于 ，其初等因子为，其初等因子为 由上面的定理可知由上面的定理可知 的初等因子为的初等因子为 的不变因

17、子为的不变因子为123( )00( )0( )000( )AAAA3( )A,1,1 ( )A, , ,1,1,1 ( )A 4321(1)(1),(1),1dddd 29Department of Mathematics因此因此 的的Smith规范形为规范形为( )A1000000( )00(1)0000(1)(1)A 30Department of Mathematics二二,矩阵的矩阵的Jordan规范形规范形为为 阶方阵阶方阵A的的 Jordan规范型。规范型。定义：称定义：称 n12sJJJJ为为A的特征值的特征值 的假设当块的假设当块, 为为 的代数反复度的代数反复度i 其中其中i

18、iimmisiiiJJJJ 21imi 31Department of Mathematics而而:titikkiiiiitJ 111为为A的特征值的特征值 的假设当子块的假设当子块, i ., 2 , 1 , , 2 , 1 isti32Department of Mathematics于是可以得到下面的定理于是可以得到下面的定理定理定理7： 设设 , 全部初等因子为：全部初等因子为：nnCA AIn iiikkkkkkkkk)( ,)( ,)( )( ,)( ,)()( ,)( ,)(21122212112111222111 那么存在可逆矩阵那么存在可逆矩阵T，使得：，使得： 其中，每个初

19、等因子其中，每个初等因子 对应对应J 的假设当子块的假设当子块tiki)( itJ1 TJTA33Department of Mathematics110430102A 解：解： 先求出先求出 的初等因子。对的初等因子。对 运用初等运用初等 变换可以得到变换可以得到AIA例例6： 求矩阵求矩阵的的Jordan规范形。规范形。211043010211(1) (2)IA 2(1) ,2所以所以 的初等的初等因子为因子为A34Department of Mathematics故故 的规范形为的规范形为A110010002J200011001J或或例例7 ： 求矩阵求矩阵112336224A的的Jor

20、dan规范形。规范形。 解：解： 先求出先求出 的初等因子。对的初等因子。对 运用初等变换可以得到运用初等变换可以得到:AIA35Department of Mathematics所以所以 的初等因子为的初等因子为A, ,2 1123362241(2)IA 故故 的的Jordan规范形为规范形为A000000002J或或000020000J36Department of Mathematics2321822143A 求矩阵求矩阵的的Jordan规范形。规范形。练习练习2 2的规范形为：的规范形为：解答：解答：A100031003J310030001J或或37Department of Math

21、ematics 求矩阵 1234012300120001A练习练习3 3的的Jordan规范形。规范形。解：解：1100011000110001AJ38Department of Mathematics如何求类似变换矩阵？如何求类似变换矩阵？ 由定理由定理7知道，方阵与规范型知道，方阵与规范型J 是类似的，即是类似的，即存在可逆矩阵存在可逆矩阵T，使得：，使得： ，求法如下：，求法如下：1 TJTA设设 ，nnCA nnnCtttT ,21nnnCjjjJ ,21由由 得得1 TJTATJAT ,212121nnnjjjttttttA 所以：所以：nnnnnjtttAtjtttAtjtttAt

22、, ,2122121211 解方程并选择适当的解方程并选择适当的 即得。即得。nttt,2139Department of Mathematics 称称 为类似变换矩阵。对于类似变换矩阵的为类似变换矩阵。对于类似变换矩阵的普通实际我们不作过多的讨论，只经过详细的例题阐明求普通实际我们不作过多的讨论，只经过详细的例题阐明求 的方法。的方法。TT例例8：308316205A的的Jordan规范形及其规范形及其类似变换矩阵。类似变换矩阵。求方阵求方阵解：解： 首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan规范形：规范形：40Department of Mathematics2308316205

23、10001000(1)IA 21,(1)故故 的初等因子为的初等因子为A100011001J从而从而 的的Jordan规范形为规范形为 A41Department of Mathematics再求类似变换矩阵：再求类似变换矩阵： 设所求矩阵为设所求矩阵为 ，那么，那么 ，对于，对于 按列分块记为按列分块记为 ，那么：，那么：TT,321tttT 1 TJTA,100110001,3221321321321tttttttTJAtAtAttttAAT 从而：从而： , , 3232211ttAttAttAt 42Department of Mathematics整理以后可得一个线性方程组整理以后可

24、得一个线性方程组2321)(0)(0)(ttAItAItAI 前面的两个方程为同解方程组，前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个根底解系：可以求出它们的一个根底解系：T2T1) 1 , 0 , 2(, ) 0 , 1 , 0( 可以取可以取11 t但是不能简单地取但是不能简单地取22 t 这是由于假设这是由于假设 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令： 显然显然 是前两个方程的解，将是前两个方程的解，将 代入第三个方程代入第三个方程2t22112 kkt 2t2t43Department of Mathematics23)(ttAI

25、 中，为的是选取适当的中，为的是选取适当的 ，使：，使： 21,kk22113)( kktAI 有解有解 即其系数矩阵与增广矩阵有一样地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为即其系数矩阵与增广矩阵有一样地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵，从而应该使得增广矩阵的秩为的秩为1 22124082,306204kIAXkk 2211 kkAI2211 kk 只需令只需令123,2kk 就会使得上述矩阵的秩为就会使得上述矩阵的秩为1，44Department of Mathematics再由第三个方程解出一个特解为再由第三个方程解出一个特解为Tt0) 0, , 1(3 于是：于是：Tt2)

26、- 3, , 4(3212 那么所求类似变换矩阵为那么所求类似变换矩阵为 020031140,321tttT由由 ，知：，知：1 TJTAJATT 1即即A经过类似变换经过类似变换T变成假设当规范型变成假设当规范型J45Department of Mathematics126103114A 求方阵求方阵的的Jordan规范形及其规范形及其类似变换矩阵类似变换矩阵 。练习练习4 4解：解： 首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan规范形：规范形：21261311410001000(1)IA 故故 的初等因子为的初等因子为A21,(1)46Department of Mathemati

27、cs从而从而 的的Jordan规范形为规范形为 再求类似变换矩阵：再求类似变换矩阵：A100011001J 设所求矩阵为设所求矩阵为 ，那么，那么 ，对于，对于 按列分块记为按列分块记为1 TJTATT,321tttT ,100110001,3221321321321tttttttTJAtAtAttttAAT 47Department of Mathematics从而：从而： , , 3232211ttAttAttAt 2321)(0)(0)(ttAItAItAI 整理后的三个方程为：整理后的三个方程为：前面的两个方程为同解方程组，前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个根底解系：可以求

28、出它们的一个根底解系：121,1,0,3,0,1TT可以取可以取11 t但是不能简单地取但是不能简单地取22 t48Department of Mathematics 这是由于假设这是由于假设 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令： 显然显然 是前两个方程的解，将是前两个方程的解，将 代入第三个方程代入第三个方程2t22112 kkt 2t2t23)(ttAI 中，为的是选取适当的中，为的是选取适当的 ，使：，使： 21,kk22113)( kktAI 有解有解122122263,113113kkIAXkk 2211 kkAI121kkTTtt) 1 0, , 2(, ) 1 1, , 2(32 49Department of Mathematics那么所求类似变换矩阵为那么所求类似变换矩阵为 110011221,321tttT 1001100011JATT50Department of Mathematics 解：首先用初等变换法解：首先