电磁场与电磁波(矢量2015)

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民2/62第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理1.6 圆柱和球坐标系圆柱和球坐标系2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民3/621.1 1.1 标量

2、场与矢量场标量场与矢量场一、一、“场场”的基本概念的基本概念场场紧张、害紧张、害怕怕课程难学课程难学无时无刻不在与无时无刻不在与“场场”打交道，每时打交道，每时每刻都处于每刻都处于“场场”中。中。2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民4/62“场场”是遍及一个界定的或者无限扩展空间内的是遍及一个界定的或者无限扩展空间内的存在着的某种必须予以重视和研究的效应。存在着的某种必须予以重视和研究的效应。1 1、“场场”的物理描述的物理描述热效应热效应 温度场温度场电效应电效应 电场电场磁效应磁效应 磁场磁场引力效应引力效应 重力场重力场每天每天面对

3、面对1.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场若该效应与时间无关，则该场称为若该效应与时间无关，则该场称为静态场静态场；若该效应与时；若该效应与时间间有关，则该场称为有关，则该场称为动态场动态场或或时变场时变场。“场场”空间内空间内效应效应2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民5/62“场场”是给定区域内各点数值的集合，由此规定是给定区域内各点数值的集合，由此规定了该区域内某一特定量的特征。了该区域内某一特定量的特征。2 2、“场场”的数学描述的数学描述数学数学函数函数热效应热效应 T(x，y，z，t）电效应电效应 E(x，y，z ，t

4、）磁效应磁效应 H(x，y，z ，t ）引力效应引力效应 F(x，y，z ，t ）1.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场 对对场场的研究就像研究其它数学问题一样，只是函数形式及的研究就像研究其它数学问题一样，只是函数形式及其求解的难易而已。其求解的难易而已。“场场”数值的集合数值的集合特征特征2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民6/62数学是使人类思维走向更高维度的桥梁；数学是使人类思维走向更高维度的桥梁；数学是描述宇宙万物的最简洁的语言；数学是描述宇宙万物的最简洁的语言；简洁的语言是深奥的理论的源泉；简洁的语言是深奥的理论的源泉；

5、本课程内容只涉及到四维（三维空间时间）本课程内容只涉及到四维（三维空间时间）1.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民7/62举例举例1.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场几何图形圆几何图形圆太阳的简图太阳的简图Q电荷的电场电荷的电场由左到右，问题越来越复杂，越来越抽象，感觉越来越怕，由左到右，问题越来越复杂，越来越抽象，感觉越来越怕，但是它们都是但是它们都是“场场” ” 。2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民8/621.1 1.1 标量场

6、与矢量场标量场与矢量场二、二、标量与矢量标量与矢量1 1、标量：只有大小特征的量。、标量：只有大小特征的量。数学上：实数域中的任何一个数就是一个标量。数学上：实数域中的任何一个数就是一个标量。物理学：温度（物理学：温度（T T），密度（），密度（d d），时间（），时间（t t） 体积（体积（V V）、电压（）、电压（u u）等；）等； 人类对数的认识经过了人类对数的认识经过了从简单到复杂从简单到复杂，从，从一维一维到多维到多维的过程的过程 。2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民9/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场2 2、

7、矢量：既有大小，又有方向特征的量。、矢量：既有大小，又有方向特征的量。数学上：由多个实数组成的多维向量就是矢量。数学上：由多个实数组成的多维向量就是矢量。物理学：电场（物理学：电场（ ），磁场（），磁场（ ），速度（），速度（ ）等。）等。EHv位置（位置（ ）矢量矢量r重力（重力（ ）矢量矢量FP温度（温度（ ）标量标量To坐标原点坐标原点2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民10/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场3 3、矢量的表示方法、矢量的表示方法数学表示：数学表示：( , )( , )( , )( , )( , )x

8、xyyzzAA r ta A r ta A r ta A r ta A r t222|( , )|( , )( , )( , )( , )xyzA r tAr tAr tAr tA r tcoscoscosyxzAxyzxyzAAAAaaaaAAAAaaa直角坐标系中矢量直角坐标系中矢量函数的数学表达：函数的数学表达：矢量的模：矢量的模：单位矢量：单位矢量：2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民11/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场几何表示：几何表示：xyzO( , )A r txAyAzAAap（源点）（源点）ORrrp（

9、场点）（场点） 源点位置矢量源点位置矢量 场点位置矢量场点位置矢量rrrrR2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民12/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场三、三、矢量运算矢量运算矢量的加法运算遵从平行四边形法则。矢量的加法运算遵从平行四边形法则。 1 1、矢量的加减运算、矢量的加减运算OBACOBACBACzzyyxxzzyyxxaBaBaBBaAaAaAAzzzyyyxxxaBAaBAaBAC)()()(2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民13/621.1 1.1 标量

10、场与矢量场标量场与矢量场矢量的减法运算也遵从平行四边形法则，但是矢量的减法运算也遵从平行四边形法则，但是)( BABACzzzyyyxxxaBAaBAaBAC)()()(OBACBBACOBACOACB首相接首相接首尾相接首尾相接2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民14/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场矢量的加减为线性运算，所以满足交换律和矢量的加减为线性运算，所以满足交换律和结合率。结合率。0GFEDCBAOBACDEFG2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民15/6

11、21.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场矢量点乘的结果为标量。矢量点乘的结果为标量。 2 2、矢量的标量积、矢量的标量积点乘（点积）点乘（点积）)cos()cos(cosABBAABBAOBAcosBcosAFl)cos(FllFW2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民16/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场点乘的性质点乘的性质CABACBAABBA)(交换律交换律分配律分配律0BA若若 与与 垂直（正交），则垂直（正交），则 ，所以，所以AB111000zzyyxxxzzyyxaaaaaaaaaaaazzyyxxzzy

12、yxxzzyyxxBABABAaBaBaBaAaAaABA)()(2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民17/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场矢量叉乘的结果仍是矢量，方向满足右手螺旋关系。矢量叉乘的结果仍是矢量，方向满足右手螺旋关系。 3 3、矢量的矢量积、矢量的矢量积叉乘（叉积）叉乘（叉积）CaABBACsin结果为有两个矢量构成的平行四边形的面积。结果为有两个矢量构成的平行四边形的面积。zxyyxyzxxzxyzzyzyxzyxzyxaBABAaBABAaBABABBBAAAaaaBA)()()(OBAsinAC2022

13、-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民18/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场叉乘的性质叉乘的性质)()()()()()()(BACCABCBABACACBCBACABACBAABBA反交换律反交换律分配律分配律0BA若若 与与 相平行，则相平行，则 ，所以，所以AB000111zzyyxxxzzyyxaaaaaaaaaaaa2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民19/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场四、标量场与四、标量场与矢量场矢量场 1 1、标量场：标量描述的物

14、理量的空间、标量场：标量描述的物理量的空间 全国温度分布图全国温度分布图 等高线示意图等高线示意图2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民20/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场 实际等高线地图实际等高线地图2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民21/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场 2 2、矢量场：矢量描述的物理量的空间、矢量场：矢量描述的物理量的空间 多点电荷电场电力线多点电荷电场电力线 棒槌型带电体电场电力线棒槌型带电体电场电力线 2022-5-1信息与

15、通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民22/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场 不同形状电流线的磁力线不同形状电流线的磁力线2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民23/621.1 1.1 标量场与矢量场标量场与矢量场A 流体的流速矢量图流体的流速矢量图0dzdydxAAAaaal dAzyxzyxl dxyzdxdydzAAA 矢量场的场线方程矢量场的场线方程A2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民24/62标量场比较简单，但是如果想要知道标

16、量场的变化情况，标量场比较简单，但是如果想要知道标量场的变化情况，或者变化率，就要用到标量的方向导数和梯度。或者变化率，就要用到标量的方向导数和梯度。1.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义：定义：标量场（或称标量函数）过某点沿某一方标量场（或称标量函数）过某点沿某一方向的变化率。向的变化率。)(MlllMMlllM000lim)()(lim02022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民25/621.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度lzyxzyxzyxlMaazayaxaaa

17、azayaxzyxdldzzdyydxxllcoscoscoscoscoscos1lim00式中式中 为为l方向单位矢量方向单位矢量coscoscoszyxlaaaa2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民26/621.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度由方向导数的定义，由方向导数的定义，zyx、当当 时，标量场时，标量场 沿沿 方向增大。方向增大。 0l)(Mla当当 时，标量场时，标量场 沿沿 方向减小。方向减小。 0l)(Mla为标量场为标量场 沿三个坐标轴的方向导数沿三个坐标轴的方向导数)(M2022-5-1信息

18、与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民27/621.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度212121101122222zyzyxxx举例：举例：求求 在在M（1,0,1）点处沿）点处沿 的方向导数。的方向导数。 222zyxzyxaaal22解：在解：在M点点32cos32cos312211cos222llx21coscoscoszyxlM2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民28/62显然，标量场过一个点的方向导数有无穷多个，这为表达显然，标量场过一个点的方向导数有无穷多个，这为表达方

19、向导数带来了困难，如何解决这一问题，引出了标量场方向导数带来了困难，如何解决这一问题，引出了标量场梯度。梯度。1.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度二、标量场的梯度（二、标量场的梯度（gradient）定义：定义：标量场在某点处的最大方向导数。标量场在某点处的最大方向导数。0Mil maxl 梯度是矢量，是标量场与梯度是矢量，是标量场与矢量场之间的一种变换，矢量场之间的一种变换，其定义与坐标系无关。其定义与坐标系无关。2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民29/621.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数

20、与梯度llzyxlzyxaaazayaxaazayaxl式中式中1cosmaxcoslzyxazayax哈密顿算子哈密顿算子梯度梯度单位矢量单位矢量2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民30/621.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度梯度的性质：梯度的性质：某点处的方向导数等于该点的梯某点处的方向导数等于该点的梯度在该方向上的投影。度在该方向上的投影。梯度与标量场的等值面相垂直。梯度与标量场的等值面相垂直。标量场沿梯度方向变化最快。标量场沿梯度方向变化最快。0cos90ol无增量表明为等值面无增量表明为等值面 表明梯度

21、与等值面相垂直，这时的梯度方向恰好表明梯度与等值面相垂直，这时的梯度方向恰好就是等值面的法线方向，因此一般地：就是等值面的法线方向，因此一般地：o90nan过过M点点的等值的等值面面Ml lnanM点的切平面点的切平面2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民31/621.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度zyxlzxzyxaaallaaaazayax3232312121举例举例 利用梯度求前例利用梯度求前例求求 在在M（1,0,1）点处沿）点处沿 的方向导数。的方向导数。 222zyxzyxaaal22解：在解：在M点点

22、212322313232312121zyxzxlMaaaaaal2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民32/62方向导数和梯度对于研究标量场是非常有用的，由于矢量方向导数和梯度对于研究标量场是非常有用的，由于矢量具有大小和方向特性，需要从两个方面加以研究。具有大小和方向特性，需要从两个方面加以研究。1.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度一、矢量的通量一、矢量的通量定义：定义：矢量通过一个曲面的多少。矢量通过一个曲面的多少。AnS/AnAdsc对开曲面，正方向与其边界绕向对开曲面，正方向与其边界绕向成右手螺旋关系。成右手螺旋关系

23、。对闭曲面，正方向从面内指向面对闭曲面，正方向从面内指向面外。外。sdAdsnAdsAdn 通过面元通过面元dsds的通量的通量2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民33/621.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度通过整个曲面的通量为：通过整个曲面的通量为：ssdA 通过开曲面的通量通过开曲面的通量ssdA 通过闭合面的通量通过闭合面的通量通量的性质通量的性质若若 ，表明面内有，表明面内有“净净”的正源。的正源。 若若 ，表明面内有，表明面内有“净净”的负源。的负源。若若 ，表明面内无，表明面内无“净净” ” 源。源。0ssd

24、A0ssdA0ssdA2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民34/62通量反映了大的范围内矢量的性质，但不能反映场中每一通量反映了大的范围内矢量的性质，但不能反映场中每一点的特性，类似点的特性，类似“黑箱黑箱”的概念，如：的概念，如：1.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度上面两种情况的通量是相同的，但是面内场源的分布是完上面两种情况的通量是相同的，但是面内场源的分布是完全不同的。显然，如果将闭合面无限缩小到一个点，就可全不同的。显然，如果将闭合面无限缩小到一个点，就可反映出每个场点的性质。反映出每个场点的性质。ASQS2Q2Q

25、2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民35/621.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度二、矢量的散度（二、矢量的散度（divergencedivergence）AvsdAsv0lim 矢量的散度矢量的散度式中式中 为闭合面元为闭合面元dsds围成的体积；围成的体积；散度是矢量场中某点处单位体积的散度是矢量场中某点处单位体积的“净净”通量；通量；矢量的散度为标量。矢量的散度为标量。v2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民36/621.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量

26、与散度散度的性质：散度的性质：若若 ，表明该点为场的正源。，表明该点为场的正源。 若若 ，表明该点为场的负源。，表明该点为场的负源。若若 ，表明该点无场源。若矢量场处处散度为，表明该点无场源。若矢量场处处散度为0 0，该场为无散场，场线为无头无尾的闭合线。该场为无散场，场线为无头无尾的闭合线。0A0A0A“涌涌” ” 正正源源“汇汇” ” 负负源源无散无散 无源无源散度大于散度大于0 0散度小于散度小于0 0散度等于散度等于0 02022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民37/621.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度zAyAxA

27、aAaAaAazayaxAzyxzzyyxxzyx直角坐标系直角坐标系重要定理重要定理 散度定理散度定理svsdAdvA)(闭合面积分闭合面积分 体积分体积分2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民38/621.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度3111zryrxrrzyx举例：举例： 求举例矢量求举例矢量 的散度。若将的散度。若将距离矢量缩放距离矢量缩放k倍（倍（k为常量），再求其散度。为常量），再求其散度。zyxazayaxr解：解：krkrkrkrk3)(2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通

28、信技术研究所刘军民刘军民39/62通量代表了矢量穿过曲面的多少，是矢量的发散特性。通量代表了矢量穿过曲面的多少，是矢量的发散特性。对于矢量，除了发散形式的场外，还有漩涡形式的场。对于矢量，除了发散形式的场外，还有漩涡形式的场。1.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度l dlAllllldlAdlaAl dA如果矢量代表力，则上式表如果矢量代表力，则上式表示力沿路径示力沿路径 l 做的功做的功2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民40/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度一、矢量的环量一、矢量的环量定义：定义：

29、矢量沿闭合路径的线积分。矢量沿闭合路径的线积分。闭合路径的方向与其围成的面积闭合路径的方向与其围成的面积的正法线方向成右手螺旋关系。的正法线方向成右手螺旋关系。环量反映了矢量沿路径的总漩涡环量反映了矢量沿路径的总漩涡特性。特性。ccdlAl dAcos 矢量的环量矢量的环量nASMdlc2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民41/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度环量体现的是总的大范围内的特性，而且围绕一点的环环量体现的是总的大范围内的特性，而且围绕一点的环量大小与回路的绕向有关量大小与回路的绕向有关对于对于c c1

30、1回路，矢量回路，矢量 与回路方向一与回路方向一致，环量最大；而致，环量最大；而对于对于c2回路，环量回路，环量为为0。环量不能反映空间一点处的漩涡状环量不能反映空间一点处的漩涡状况，为此引入旋度的概念。况，为此引入旋度的概念。S S1 1与与S S2 2方向垂直方向垂直矢量矢量A A与回路与回路c c1 1方向方向一致一致nAMc c1 1c c2 2S S1 1S S2 2A2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民42/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度二、矢量的旋度（二、矢量的旋度（rotation）环量密度环量密

31、度环量密度是单位面积的环量。环量密度是单位面积的环量。环量与回路围成的面积的方向有关，所以环量密度随着环量与回路围成的面积的方向有关，所以环量密度随着S S 的不同而不同，具有最大值。的不同而不同，具有最大值。sl dAcs0lim 矢量的旋度矢量的旋度nsl dAAcsmax0lim2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民43/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度矢量的旋度仍是矢量。矢量的旋度仍是矢量。某方向的环量密度等于该点处旋度在该方向上的投影。某方向的环量密度等于该点处旋度在该方向上的投影。若矢量的旋度处处为零，则

32、该场为无旋场。若矢量的旋度处处为零，则该场为无旋场。scsaAsl dA)(lim0旋度的性质：旋度的性质：nMc cS SAS法线方向法线方向的环量密的环量密度度2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民44/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度zxyyzxxyzzyxzyxayAxAaxAzAazAyAAAAzyxaaaA旋度的计算旋度的计算直角坐标系中直角坐标系中slsdAl dA重要定理重要定理 斯托克斯定理斯托克斯定理闭合线积分闭合线积分 面积分面积分2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学

33、院通信技术研究所刘军民刘军民45/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度举例：举例： 已知矢量已知矢量 求点求点M(2,1,0)(2,1,0)的旋度以的旋度以及该点处沿及该点处沿 的环量密度。的环量密度。zyaalyxayaxAyx解：解：zzxyzyxayxyxayAxAyxyyxxzyxaaaA2)(02022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民46/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度zzaaA91121-22M）（M(1,0,0)(1,0,0)的旋度为：的旋度为： 2zylaalla沿沿l 的环量密度

34、为：的环量密度为： 291)(2191zyzlaaaaAl 的单位矢量为：的单位矢量为： 2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民47/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度yxadyadxl d解：解：举例：举例：求矢量求矢量 沿沿z z0 0平面内正方形路径平面内正方形路径 的的环量环量yxaxayARyxl d1l2l3l4l0 xy2004)()(4)(4)()()(1RdyyRdxxRxdyydxxdyydxadyadxaxayl dARRlllyxyxl改变路径绕改变路径绕向，结果为向，结果为负值负值环量与路径形

35、状、大小及其绕向有关。环量与路径形状、大小及其绕向有关。2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民48/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度解：解：利用旋度求解：利用旋度求解：zzyxaxyzyxaaaA20Rl d1l2l3l4l0 xy224)2(222RRdsadsasdAl dASzSzSl路径绕向改变时，面积的方向反向，环量为负值。路径绕向改变时，面积的方向反向，环量为负值。R2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民49/62解：解：RzyxzyxaRRaRzza

36、RyyaRxxazRayRaxRRzyxazzayyaxxrrR)()()(求距离矢量求距离矢量 的的RRRR、123211111RaRRaRzzaRyyaRxxRaRzaRyaRxRRzyxzyx1.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民50/621.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度3111zRyRxRRzyx0yRxRaxRzRazRyRaRxyzzxyyzx03112RRRaRRaRRRRR显然，在上面结果中将显然，在上面结果中将 ，则，则2022-5-1信息与通信工程学

37、院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民51/62矢量散度与旋度的小结：矢量散度与旋度的小结：矢量的散度为标量，矢量的旋度仍是矢量。矢量的散度为标量，矢量的旋度仍是矢量。矢量的散度反映场点场量与通量场源的关系。矢量的散度反映场点场量与通量场源的关系。 散度处处为零，该场为无散场（或管形场）散度处处为零，该场为无散场（或管形场）矢量的旋度反映场点场量与环量场源的关系。矢量的旋度反映场点场量与环量场源的关系。 旋度处处为零，该场为无旋场（或保守场）旋度处处为零，该场为无旋场（或保守场）1.4 1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度2022-5-1信息与通信工程学院通信技术

38、研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民52/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理0）（一、重要性质一、重要性质（1 1）（2 2）0A如果矢量场如果矢量场 满足满足 ，即该矢量场是一个无旋场，即该矢量场是一个无旋场，可以用标量函数可以用标量函数 的梯度来表示，即的梯度来表示，即 ，称标量函数，称标量函数 为势函数，对应的矢量场为有势场或保守场。为势函数，对应的矢量场为有势场或保守场。AA0)(A如果矢量场如果矢量场 满足满足 ，即该矢量场是一个无散场，即该矢量场是一个无散场，可以用另一矢量函数的旋度来表示，即可以用另一矢量函数的旋度来表示，即0ABAA2022-

39、5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民53/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理 格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和，格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和，面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。二、重要定理二、重要定理（1 1）标量格林（）标量格林（GreenGreen）定理）定理2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术

40、研究所刘军民刘军民54/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理vssdAdvAA代入散度定理：，设ssnvsdsndsasddvA)()()()(22 标量格林第一定理标量格林第一定理svdsndv)(2 标量格林第二定理标量格林第二定理svdsnndv)(22得并与第一定理相减，则，交换和将上面的设2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民55/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理（2 2）唯一性定理）唯一性定理矢量场被其散度、旋度和区域的边界条件唯一确定。矢量场被其散度、旋度和区域的边界条件唯一确定。这

41、里的边界条件包括：这里的边界条件包括：在边界上，在边界上， 第一类边界条件第一类边界条件 （狄里克莱条件）（狄里克莱条件）在边界上，在边界上， 第二类边界条件第二类边界条件 （诺伊曼条件）（诺伊曼条件）边界上，边界上， 第三类边界条件第三类边界条件（混合条件）（混合条件）是已知的s是已知的或sstn是已知的或221ssstn2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民56/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理唯一性定理证明：唯一性定理证明： 用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两个用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两

42、个 和和 ，然后再论证这两个矢量场是相同的，然后再论证这两个矢量场是相同的，即即1( )F r2( )F r12( )( )F rF r*12FFF令令S SV V在在V 内，有内，有 *120 FFF*120 FFF在边界在边界S上，则有上，则有12|0nSnSnSFFF或或 12|0tStStSFFF2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民57/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理由由 可引入可引入一个一个标量函数标量函数，使使 *0F在在V 内有内有0*2F利用格林第一定理，且令利用格林第一定理，且令 得得 *Fsvdsndv2在边界面上有在边界面上有0)()(2121*dsFFdsaFFdsaFdsadsnsnnsnsnsns2022-5-1信息与通信工程学院通信技术研究所信息与通信工程学院通信技术研究所刘军民刘军民58/621.5 1.5 场的重要性质与定理场的重要性质与定理在边界面上有在边界面上有02dvv00)(2121*taFFaFFaFttttt0*F结果唯一21FFttFF21vsvs