电磁场与波复习(本部)

1、电磁场基础电磁场基础1第一章第一章 矢量分析考试重点矢量分析考试重点 矢量代数矢量代数矢量的加减法、标量积（点乘）、矢量矢量的加减法、标量积（点乘）、矢量积（叉乘）积（叉乘） 矢量场的通量、散度、散度定理；环量、旋度、斯托矢量场的通量、散度、散度定理；环量、旋度、斯托克斯定理克斯定理标量场的方向导数、梯度标量场的方向导数、梯度曲面坐标系中三种坐标的转换曲面坐标系中三种坐标的转换电磁场基础电磁场基础21.11.1 解解：（：（1 1）9,243,(2)Axyz BxyzAB A B ABAB设求(1)求 和 的夹角= (1 2) 9( 4)( 1 3)54AB xyzxyz =29 (4)( 3

2、)236335A B x xyyzz = 191( 274)( 23)( 4 18)31514243xyzA Bxyzxyz （2 2）35cos=0.71348229A BABcosA BAB44.49 arccos(0.7134)orxyzxyzxyzA BAAABBB电磁场基础电磁场基础31.2 1.2 设设 的模为的模为1 1，求，求a,b.a,b.解解: :故有两组解, 34,Axyz BxaybBAB 为使，且,=0BAA B则3=3404A Babba 2222221,9254 116165BBabaaaa 又43,;5543,55abab 电磁场基础电磁场基础41.3电磁场基础

3、电磁场基础51.4 已知点电荷已知点电荷q所产生的电场强度所产生的电场强度 ，求其在任何一，求其在任何一点点M处的散度处的散度 。解：解：可见，除点电荷可见，除点电荷q所在位置所在位置(r=0)外，电场的散度处处为外，电场的散度处处为0。304qrErE222333000,444xyzrxxyyzzrxyzqxqyqzEEErrr225033043yxzEEEqrrExyzr电磁场基础电磁场基础61.5 1.5 求下列矢量场的旋度：求下列矢量场的旋度：xyzxyzxyzA BAAABBBxyzyyzxzxxyzxyzeeeFFFFFFFeeeyzzxxyxyzFFF电磁场基础电磁场基础71.6

4、 1.6 电磁场基础电磁场基础8电磁场基础电磁场基础91.7 1.7 电磁场基础电磁场基础101.8 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；单位矢量； (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。作以比较，得出相应结论。 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式

5、，可求得P点的梯度为点的梯度为22()()PPxyzxyzyxz+(1,1,1)( 22)22x xy yzxyzcos60cos45cos60lxyz表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)PPx xy yzlxyzxy 电磁场基础电磁场基础11 (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为2111( 22) ()22222lx xy yzxyzxyl (1,1,1)12 212

6、22Pxyl而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy PPPl 电磁场基础电磁场基础121.91.9电磁场基础电磁场基础13第二章第二章 电磁场基本方程考试重点电磁场基本方程考试重点 高斯定理，电场强度、电通密度的计算高斯定理，电场强度、电通密度的计算 毕奥毕奥-萨伐定律，磁感应强度萨伐定律，磁感应强度(磁通密度磁通密度) 的计算的计算 法拉第电磁感应定律，感应电动势的计算法拉第电磁感应定律，感应电

7、动势的计算 全电流连续性原理，位移电流密度全电流连续性原理，位移电流密度电磁场基础电磁场基础142.1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已知球求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已知球体半径为体半径为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解：应用高斯定理，取半径为解：应用高斯定理，取半径为r r的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强,ra2001d4nvSvqESE erdv 30001 4d3SqESa0330022033DEaaEDrr 01ddSVoESV302434orr E00,33orrED3300220,33aa

8、ErDrrr00,33orrErDr电磁场基础电磁场基础15解解 a) 介质层中的电场都沿径向介质层中的电场都沿径向 ，垂直于内外导体表面，其大小沿圆周垂直于内外导体表面，其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径 长长l 的同轴圆柱为高斯面。的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 相平行，因而没有通量相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。穿过，不必考虑。2.22.2 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a a和和b b。在内外导体。在内外导体间加电

9、压间加电压U U，则内导体通过的电流为，则内导体通过的电流为I I，外导体返回的电流为，外导体返回的电流为-I-I。a)a)设内外导体上单位长度的带电量分别为设内外导体上单位长度的带电量分别为 ，求内外导体，求内外导体间的间的 ；b)b)用电压用电压U U来表示，则来表示，则 = =？其最大值？其最大值 = =？c)c)若给定若给定b=1.8cmb=1.8cm，应如何选择，应如何选择a a以使用同轴线承受的耐压最大？以使用同轴线承受的耐压最大？ballDdsDls22lD得得ll和DE及EMED于是于是2lDE电磁场基础电磁场基础16abddlEUllballn22故 abUEln同轴线内最大

10、电场强度EM发生于内导体表面处： abMaUElnc) EM最大值发生于 0) 1(ln)ln(2abaUdadEabM得 1lnabeab故 cmeba662. 0718. 28 . 1 b) 电磁场基础电磁场基础17而场点而场点 P 的位置矢量为的位置矢量为 ，故得，故得2.3 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。 dI lyxzoPa载流圆环载流圆环rRr轴线上任一点轴线上任一点P(0,0,z)的磁感应强度为的磁感应强度为 解：解：设圆环的半径为设圆环的半径为a，流过的电流为，流过的电流为I。为计算方便取线电。为计算方便取线电流圆环位于流圆环位

11、于xy平面上，则所求场点为平面上，则所求场点为P(0,0,z),如图如图 所示。采用圆柱所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为坐标系，圆环上的电流元为 ，其位置矢量为，其位置矢量为zre zdd I le Ia re a 22 1/2,()zrre ze arrzad()d ()zI lrre Iae ze a2d d ze Iaze Ia2022 3/20( )d 4()ze ze aIaB zza10111212312d( )4CI lRB rR电磁场基础电磁场基础18 ，所以，所以2200d( cossin)d0 xyeee2200223/2223/20( )d 4()2()zIaIae

12、 aB zzaza由于电流分布对轴线上场点具有对称性，当由于电流分布对轴线上场点具有对称性，当 积分一周时，积分一周时， 径向分量将相互抵消，只剩径向分量将相互抵消，只剩Z轴方向的分量轴方向的分量dB电磁场基础电磁场基础长为2l的直导线上流过电流I，求真空中P点的磁通密度。把上式代入10111212312d( )4CI lRB rR2.42.4电磁场基础电磁场基础20 （1） ，矩形回路静止；，矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvB （3） ，且矩形回路，且矩形回路上的可滑动导体上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。 解解：(1) 均匀磁场均匀磁场 随时间作简

13、谐随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故电动势是由磁场变化产生的，故 2.5 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。 （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0cos()zBe Bt0zBe BB0cos()zBe Btxve vxve v00dcos()ds

14、in()inzzSSBSe Bte SabBttt B电磁场基础电磁场基础21 ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得 ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得B或或00() d()dinxzyCCvBle v e BelvB b 00ddd()ddinSBSbB vtbB vtt

15、0000d() d(cos)d(cos)dsincosinSCzzxzySCBSvBlte Bt e Se v e Bteltvt bBtvbBt 电磁场基础电磁场基础22 （1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； 解解: （1）线圈静止时，感应电动）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故势是由时变磁场引起，故 （2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。ab 2.6 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的矩形的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如图所角

16、，如图所示。试求：示。试求： xyzabB时变磁场中的矩形时变磁场中的矩形线圈线圈ne0sinyBe Btyene0(sind )ynse Bt eSt dinBSt 0coscos dsBtS 0coscosB abt 电磁场基础电磁场基础230000dddddsind(sincos)ddd 1(sin2)cos2d2inSynSBSte Bt eSabBttttB abtB abtt 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故0t 0net （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应

17、电动势可以利用式感应电动势可以利用式 来计算来计算dddinSBSt ne电磁场基础电磁场基础242.7 已知平板电容器的面积为已知平板电容器的面积为 , 相距为相距为d, 介质的介电常介质的介电常数数 ，极板间电压为，极板间电压为 U。试推导电容器的电流与电压的关系。试推导电容器的电流与电压的关系。 0A平板电容器平板电容器解解 忽略极板的边缘效应和感应电场忽略极板的边缘效应和感应电场( ),UU tEDEdd电场电场位移电流密度位移电流密度)(dtdUdtDJd位移电流位移电流0()ddSAdUdUIJ dSCIddtdt由全电流连续性原理可知，二平板间位移电流应等于传由全电流连续性原理可

18、知，二平板间位移电流应等于传导电流。导电流。dAC0，其中C为平板电容器的电容电磁场基础电磁场基础25第三章第三章 静电场及其边值问题的解法考试重点静电场及其边值问题的解法考试重点 点电荷电位计算，电位差点电荷电位计算，电位差 电容的计算电容的计算 用镜像法解导体劈中点电荷的镜像电荷用镜像法解导体劈中点电荷的镜像电荷 用分离变量法用无源区域的电位方程用分离变量法用无源区域的电位方程电磁场基础电磁场基础3.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. .代入上式，得代入上式，得+q电偶极子zodq2r1rr),(rP( )4qrCR2101201 211( )()44rrqqrrrrr由于，得由于，得

19、rd12cos ,cos22ddrrrr2220cos( )4cos4qdrdr解：解：采用球坐标，电偶极子中心位于坐标原点，其采用球坐标，电偶极子中心位于坐标原点，其正负电荷相距正负电荷相距d d，取无穷远为参考电位，研究，取无穷远为参考电位，研究场点场点P P点处电位点处电位P P点电位为点电位为q q和和-q-q在在P P点产生的电位之和点产生的电位之和点电荷电位点电荷电位电磁场基础电磁场基础27 解：解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理，则由高斯定理可求得内外导体间的电场可求得内外导体间的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容abo 3

20、.2 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填，其间填充介电常数为充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。4422qqDr,Errr0011d()44baqqbaUE rabab04abqCUba电磁场基础电磁场基础方法：轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像方法：轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。电荷与原电荷重合为止。，镜像电荷的总数是对12 nNn只有只有n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合；为整数时，最后镜像才能和原电荷重合；可见可见，; 1N，;

21、 53N，注意注意：; 32N，q123xBCq213456qqqqq3.3 3.3 画出导体劈中点电荷的镜像电荷，并给出其大小画出导体劈中点电荷的镜像电荷，并给出其大小电磁场基础电磁场基础293.4 3.4 一一矩形区域四壁的边界条件如图所示。求（矩形区域四壁的边界条件如图所示。求（a) a) 区域中的电区域中的电位函数，（位函数，（b b）区域中电场强度及）区域中电场强度及y=by=b壁上的面电荷密度。壁上的面电荷密度。 解：解：位函数满足的方程和边界条件为位函数满足的方程和边界条件为因因 (x,0)0、 (x,b)0，故，故位函数的通解应取为位函数的通解应取为222200( ,0)0,(

22、 , )020, ( , )sinxxyxx bya yUxb0baoxy0sin(2/ )Uy b0 x00001( , )()()(chsh)(cossin)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y电磁场基础电磁场基础30确定待定系数确定待定系数00,0nDCsin0yk b ynkb00,sin0nyCDk b( ,0)0 x( , )0 x b0001( , )()(chsh)sinnxnxnynx yA xB C yAk xBk x Dk y1( , )(chsh)sinnnnnnnnx yAxBx Dybbb0001()(chsh)0nnnnnnA

23、 xB DAk xBk x C0001()(chsh)sin0nxnxnynA xB C bAk xBk x Dk b00001( , )()()(chsh)(cossin)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y电磁场基础电磁场基础0(shch)cos0nnnxnnnnnAxBx Dybbbbb31根据三角函数正交性，得根据三角函数正交性，得n=2，故，故从而得从而得00 xx0nB 11( , )chsin chsinnnnnnnnnnx yAxDyAxybbbb02( , )sinya yUb012 chsinsin (0)nnnnyAayUybbbb0

24、 ch,2nnAaUnb022( , )chsin2chUxyx yabbb1( , )(chsh)sinnnnnnnnx yAxBx Dybbb电磁场基础电磁场基础322）()Exyxy 0sy by by bn DyE 022222( shsinchcos)2bchUxyxyxyabbbbb 0022ch2bchUxabb 电磁场基础电磁场基础33第四章第四章 恒定电场和恒定磁场考试重点恒定电场和恒定磁场考试重点 电导（电阻）的计算，静电比拟法电导（电阻）的计算，静电比拟法 互感的计算，诺依曼公式互感的计算，诺依曼公式电磁场基础电磁场基础344.1 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为

25、求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：1) 直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。I2IJl2JIEl ddln22baIIbUlla El2ln( / )IlGUb a11ln2bRGla电磁场基础电磁场基础352) 用静电比拟法求解用静电比拟法求解12F/mln( / )lCUb a因此，同轴线单位长度的漏电导为因此，同轴线单位长度的漏电导为12S/mln( / )Gb a则绝缘电阻为则绝缘电阻为

26、11ln /2bRmGla当已知：当已知：电磁场与电磁波电磁场与电磁波4.2 4.2 半径为半径为a=0.5ma=0.5m的半球形铜电极埋在地下，如图所示，大地的的半球形铜电极埋在地下，如图所示，大地的电导率电导率 为为0.1S/m0.1S/m。求此半铜球电极的接地电阻。求此半铜球电极的接地电阻R R；并求离其球；并求离其球心心r=3mr=3m处，成人跨步处，成人跨步d=0.8md=0.8m间隔时，两点间的电压；若接地电间隔时，两点间的电压；若接地电流流I=20AI=20A，计算此电压值。（铜的电导率为，计算此电压值。（铜的电导率为 ）mSc/1057. 17解：解： 铜的电导率远大于大地的电

27、导率，由铜的电导率远大于大地的电导率，由边界条件可知，大地中电流密度边界条件可知，大地中电流密度J J 将将垂直于铜球表面，而空气中电导率为垂直于铜球表面，而空气中电导率为0 0，因此将无漏电流。，因此将无漏电流。所以大地中任一点的电流密度和电场所以大地中任一点的电流密度和电场强度分别为：强度分别为：2222IJIJrErrr铜球至无限远处电压为：铜球至无限远处电压为：222aaIdrIUE drra所以接地电阻为所以接地电阻为: :)(2 . 321aIURcaJ00IrdBA电磁场与电磁波电磁场与电磁波其跨步电压为:1122r dABrIIdUE drrdrr rd当I=20A时)(9 . 3VU caJ00IrdBA地面上离球心距离为r的B点和距离为r-d的A点的电位分别为：2()Ar dIE drrd电磁场与电磁波电磁场与电磁波38由图中可知由图中可知长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路Idz60bddSz穿过三角形回路面积的磁通为：穿过三角形回路面积的磁通为： 解：解：设长直导线