电磁场与电磁波第二章

1、第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:241第二章 电磁场的基本规律本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。主要内容包括：主要内容包括： 电、磁场的源电、磁场的源电荷和电流电荷和电流 静电场的基本规律静电场的基本规律 恒定磁场的基本规律恒定磁场的基本规律 媒质的电磁特性媒质的电磁特性 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 电磁场的边界条件电磁场的边界条件第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2422.1 电荷守恒定律电荷守恒定律基本物理量：基本物理量：源源、场场电荷电荷电流电流电场电场磁场磁场（运动）（运动） 源：电荷源：电荷 ，电流，电

2、流( , )q r t( , )I r t第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:243 自然界中最小的带电粒子是电子和质子自然界中最小的带电粒子是电子和质子 电子电荷的量值为电子电荷的量值为e e =1.602 177 33=1.602 177 331010-19-19( (单位：单位：C )C ) 从从微观微观上看，电荷是以上看，电荷是以离散离散的方式出现在空间中的的方式出现在空间中的 从从宏观宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是围内时，可假定电荷是连续分布连续分布在这个范围中在这个范围中 电荷的几

3、种分布方式：空间中体积电荷体密度电荷的几种分布方式：空间中体积电荷体密度 面上电荷面密度面上电荷面密度 s s 线上电荷线密度线上电荷线密度 l l2.1.1 电荷与电荷密度电荷与电荷密度第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2440 ( )d ( )( )limdVq rq rrVV( )dVqrV单位：单位：C/m3 3 ( (库库/ /米米3 3 ) )总电荷总电荷q q 与密度的关系：与密度的关系： qVyxzorV设分布于体积元设分布于体积元 V中的电荷电量为中的电荷电量为 q，则电荷体密度，则电荷体密度 的定义为的定义为 电荷体密度电荷体密度第第2 2章章电磁场与电磁波电

4、磁场与电磁波15:245单位单位: : C/m2 2 ( (库库/ /米米2 2) ) 如果已知某空间曲面如果已知某空间曲面S 上的电荷面上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷密度，则该曲面上的总电荷q q 为为( )dsSqrS0 ( )d ( )( )limdSSq rq rrSSyxzorqSS设分布于面积元设分布于面积元 S中的电荷电量为中的电荷电量为 q，则电荷面密度定义为，则电荷面密度定义为 电荷面密度电荷面密度第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2460 ( )d ( )( )dlimllq rq rrll 如果已知某空间曲线上的电荷线密如果已知某空间曲线上的电荷线密度，

5、则该曲线上的总电荷度，则该曲线上的总电荷q q 为为 ( )dlCqrl单位单位: : C/ /m ( (库库/ /米米) )yxzorql设分布于线元设分布于线元 l中的电荷电量为中的电荷电量为 q，则电荷线密度定义为，则电荷线密度定义为 电荷线密度电荷线密度第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:247点电荷的电荷密度表示点电荷的电荷密度表示( )()rqrryxzorq电量为电量为q、集中在、集中在体积为零体积为零的几何点上的电荷的几何点上的电荷点电荷的点电荷的 表示表示 点电荷点电荷q q位于坐标原点位于坐标原点( )r( )( )rqr00( )0rrr 点电荷点电荷q q位

6、于位于 ( (位置矢量位置矢量) )( )()rqrr0()rrrrrrr 点荷线点荷线第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:248 电流由定向流动的电荷形成，通常用电流强度电流由定向流动的电荷形成，通常用电流强度I I 表示，定义为表示，定义为单位时间单位时间内通过某一内通过某一横截面横截面S 的的电荷量电荷量，即，即 当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定恒定（稳恒）电流（稳恒）电流 引入引入电流密度电流密度来描述电流的分布情况来描述电流的分布情况 电流的几种分布方式：空间中体积电流体密度电流的几种分布方式：空间中

7、体积电流体密度J J 面上电流面密度面上电流面密度JsJs 线上线电流线上线电流I I2.1.2 电流与电流密度电流与电流密度0limtqdqItdt 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:249通过体积内任意截面积通过体积内任意截面积S S的电流的电流带电粒子密度为带电粒子密度为N N，粒子电量，粒子电量q q，运动速度，运动速度v v，选取如图柱体。，选取如图柱体。 dQNq vdtdSv dSdt 其中：其中： 为曲面为曲面S S的法向单位矢量的法向单位矢量dQdIdv dSdtS 通通过过的的电电流流强强度度为为：SSIJ dSJ ndS v P dS vdt 体电流密度体电

8、流密度 ndIJnvdS 电电：流流密密度度(A / m2 ） dt 时间内，柱体中所有带电粒子经时间内，柱体中所有带电粒子经dS 流出，即流出，即dt时间内通过时间内通过 dS 的电荷量为的电荷量为第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2410 从体电流出发推导面电流密度定义。从体电流出发推导面电流密度定义。 设体电流密度为设体电流密度为 ，薄层厚度为，薄层厚度为h h，薄，薄层横截面层横截面 S S，则则穿过截面的电流为穿过截面的电流为 0limsSlIJSJ nh lJhn ln lIdIJldlJ 面电流密度面电流密度 电流在厚度趋于零的电流在厚度趋于零的薄层薄层中流动时，形

9、成中流动时，形成表面电流表面电流或或面电流面电流。式中式中 即为面电流密度，单位为即为面电流密度，单位为A/mA/m（安培（安培/ /米）米）sJJh 面电流密度矢量面电流密度矢量d 0tenelSJ0hJ 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2411 体电流与面电流是两种不同类型电流分布，体电流与面电流是两种不同类型电流分布，并不是有体电流就并不是有体电流就有面电流有面电流。0lim0shJJhJ关于面电流密度的说明关于面电流密度的说明 线电流密度线电流密度 沿横截面可以忽略的曲线流动的电流，称为沿横截面可以忽略的曲线流动的电流，称为线电流线电流。 长度元长度元d dl l上的电

10、流上的电流IdIdl l称为称为电流元电流元。第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2412电荷守恒定律电荷守恒定律 电荷是守恒的电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。SVdqdJ dSdVdtdt SVdJ dSdVdt 2.1.3 电荷守恒定律与电流连续方程电荷守恒定律与电流连续方程电流连续性方电流连续性方程积分形式程积分形式 由电荷守恒定律：在电流空间中，体积由电荷守恒定律：在电流空间中，体积V内内单位时间内减少的

11、电荷单位时间内减少的电荷量量等于等于流出该体积总电流流出该体积总电流，即，即电流连续性方程电流连续性方程 在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得积分，得第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:24131 1、当体积、当体积V V为整个空间时，闭合面为整个空间时，闭合面S S为无穷大界面，将没有电流经为无穷大界面，将没有电流经其流出，此式可写成其流出，此式可写成0VdVt 对电荷守恒定律的进一步讨论对电荷守恒定律的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。即整个空间的总电荷是守恒的。0VJdVt 0Jt 电流连续性

12、方电流连续性方程微分形式程微分形式 2 2、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系。第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2414 恒定（稳恒）电流的连续性方程恒定（稳恒）电流的连续性方程 所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化不随时间变化。 不随时间变化电流不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。称为恒定电流（或稳恒电流）。 恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即恒定电

13、流空间中，电荷分布也恒定不变，即 对时间的偏导数为对时间的偏导数为零零，则电流连续性方程为，则电流连续性方程为0J 恒定电流连续性方程恒定电流连续性方程0SJ dS 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:24152.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律2.2.1 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度 库仑定律库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律的规律，其数学表达式为，其数学表达式为121212122301201244Rq qq qFeRRR 式中式中: :F F1212表示表示q q1 1作用在作用在q q2 2上的静电力。上的

14、静电力。0为为真空中介电常数真空中介电常数。90110/36F m1221Rrr静电场：由位置固定、电量恒定不变的静电场：由位置固定、电量恒定不变的静止电荷静止电荷产生的电场。产生的电场。yxzo1r1q2r12R12F2q第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2416 静电力符合静电力符合矢量叠加矢量叠加原理原理 连续分布电荷系统的静电力须通过连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分矢量积分进行求解进行求解304iiiiiiqqFFRR对库仑定律的进一步讨论对库仑定律的进一步讨论 大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上qq

15、1q2q3q4q5q6q7第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2417 电场的定义电场的定义 电场强度矢量电场强度矢量0Fq E 0FEq 用电场强度矢量用电场强度矢量 表示电场的大小和方向。表示电场的大小和方向。E 电场强度定义电场强度定义电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用时，会受到电场力的作用静电荷静电荷产生的电场称为产生的电场称为静电场静电场 随时间发生变化的源随时间发生变化的源产生的电场称为产生的电场称为时变电场时变电场 电场强度矢量电场强度矢量 描述电场分布的基本物理量。描述电场分

16、布的基本物理量。E 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2418 点电荷产生的电场点电荷产生的电场 单个点电荷单个点电荷q q在空间任意点激发的电场为在空间任意点激发的电场为3004FqERqR N N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为31014NiiiiqERR 问题：连续分布电荷产生的电场该怎么求解呢？问题：连续分布电荷产生的电场该怎么求解呢？第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2419 连续分布的电荷系统产生的电场连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于连续分布于体积体积V V中的电荷在空间任意点中的电荷在空

17、间任意点r r产生的电场产生的电场 处理思路：处理思路： 1) 1) 无限细分区域无限细分区域 2 2）考查每个区域）考查每个区域 3 3）矢量叠加原理）矢量叠加原理30( )( , )4r dVdE r rRRrrR 设体电荷密度为设体电荷密度为 ，图中，图中dVdV在在P P点产生的电场为：点产生的电场为：( )r则整个体积则整个体积V V内电荷在内电荷在P P点处产生的电场为：点处产生的电场为：301( )( )( , )4VVrE rdE r rRdVR ( )rVyxzoriVrM第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2420 面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密

18、度、体积元和面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如积分区域作相应替换即可，如 014sSrRE rdSR 3 014llrRE rdlR 3 线电荷线电荷 面电荷面电荷第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2421例例 图中所示为一个半径为图中所示为一个半径为r r的带电细圆环，圆环上单位长的带电细圆环，圆环上单位长度带电度带电 l l，总电量为，总电量为q q。求圆环轴线上任意点的电场。求圆环轴线上任意点的电场。 r0 O R d E z d l ld Ez 解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷解：将圆环分解成无数个线元，每

19、个线元可看成点电荷 l l(r)(r)dldl，则线元在轴线任意点产生的电场为，则线元在轴线任意点产生的电场为2014lRdldEeR 由对称性和电场的叠加性，合电场只由对称性和电场的叠加性，合电场只有有z z分量，则分量，则 2033330000cos424444zlzzllzlzllzzlleE zedEdlReerzzzqzdldleeRRRR 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2422结结 果果 分分 析析（1 1）当）当z z00，此时，此时P P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E E=0=0（2 2）当）当z z，R R与与

20、z z平行且相等，平行且相等，r r 极化电荷：极化电荷：:PE 0EPE介质空间中电场：介质空间中电场：0EEE介质空间外加电场介质空间外加电场 ，实际电场为，实际电场为 ，变化与介质性质有关。，变化与介质性质有关。0EE0D= E+P将真空中的高斯定律推广到电介质中，可得将真空中的高斯定律推广到电介质中，可得0( )PrE0( )( )rEPr D式中：式中：电位移矢量电位移矢量介质中高斯定理微分形式介质中高斯定理微分形式第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2553将介质中高斯定理微分形式对一定体积取积分将介质中高斯定理微分形式对一定体积取积分, ,得得VVSDdVdVD dS

21、q介质中高斯定介质中高斯定理积分形式理积分形式小结小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 dd( ) d0SVCDSVE rl（积分形式）（积分形式） 0DE （微分形式），（微分形式）， 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2554 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。对于线之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系e 0P= E 00re1+ E=D= E= E 电介质本构关系电介质本构关系媒质介电常数媒质介电常数媒质相对介媒质相对介

22、电常电常数数 电介质本构关系电介质本构关系EPEP* * 介质有多种不同的分类方法，如：介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质时变和时不变介质线性和非线性介质线性和非线性介质确定性和随机介质确定性和随机介质第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2555 半径为半径为a a的球形电介质体，其相对介电常数的球形电介质体，其相对介电常数 若在球心若在球心处存在一点电荷处存在一点电荷Q Q，求极化电荷分布。，求极化电荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得SD dSQ24rQeDr0PDE

23、在媒质内：在媒质内：023316rQeEr24rQeEr体极化电荷分布体极化电荷分布: :PP 221()0rr Prr面极化电荷分布面极化电荷分布: :SPrP e2316Qa在球心点电荷处：在球心点电荷处：2344pSPspQQQa 例例第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2556 半径为半径为a a的球形真空区域内充满分布不均匀的体电荷的球形真空区域内充满分布不均匀的体电荷 , ,若已知体电荷产生的电场分布为若已知体电荷产生的电场分布为: :( )( )D rr式中式中A A为常数，求体电荷密度为常数，求体电荷密度32542()()rre rArraEe aAarra解解:

24、:( )r由高斯定理微分形式由高斯定理微分形式例例( )r0( )( )Err2021()rdr Er dr（球坐标系）（球坐标系）20254202(54)1)()0rArradraAarrar drr第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25572.4.2 磁介质的磁化磁场强度矢量磁介质的磁化磁场强度矢量 磁介质磁化有关概念磁介质磁化有关概念分子电流及磁矩：分子电流及磁矩： Simpv电子绕核运动，形成分子电流。电子绕核运动，形成分子电流。v分子电流将产生微观磁场。分子电流将产生微观磁场。v分子电流的磁特性可用分子磁矩表示。分子电流的磁特性可用分子磁矩表示。mpiS 式中：式中：

25、为电子运动形成的微观电流；为电子运动形成的微观电流； 为分子电流所围面元；为分子电流所围面元；iS介质的磁化介质的磁化v磁化前，分子极矩取向杂乱无磁化前，分子极矩取向杂乱无章，磁介质章，磁介质宏观上宏观上无任何磁特性无任何磁特性v外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。这一过程即称为上表现出磁特性。这一过程即称为磁化磁化。无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2558 磁化强度矢量磁化强度矢量描述描述介质磁化的程度介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，

26、即，等于单位体积内的分子磁矩，即iiV0mM = limV 磁化电流密度磁化电流密度 磁介质被磁化后，在其内部和表面将出现宏观电流，称为磁化电流磁介质被磁化后，在其内部和表面将出现宏观电流，称为磁化电流可以证明：若磁介质磁化强度为可以证明：若磁介质磁化强度为M M，则其体磁化电流密度为：，则其体磁化电流密度为：SMJ= Mn 在磁介质表面上，磁化电荷面密度为在磁介质表面上，磁化电荷面密度为n n为媒质表面外法向为媒质表面外法向MJ=M 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2559对介质磁化问题的讨论对介质磁化问题的讨论 M M= =常矢量时称媒质被均匀均匀磁化，此时磁介质内部不会出

27、现常矢量时称媒质被均匀均匀磁化，此时磁介质内部不会出现磁化电流，磁化电流只会出现在磁介质表面上磁化电流，磁化电流只会出现在磁介质表面上 均匀磁介质内部一般不存在磁化电流均匀磁介质内部一般不存在磁化电流 若传导电流位于磁介质内，其所在位置处一定有磁化电流出现若传导电流位于磁介质内，其所在位置处一定有磁化电流出现 对于线性各向同性磁媒质：对于线性各向同性磁媒质：mMH介质磁化率介质磁化率第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2560 磁场强度矢量磁场强度矢量 当磁介质中存在磁场时，当磁介质中存在磁场时，磁介质中磁介质中的磁感应强度矢量为：的磁感应强度矢量为： 0BmJB0BBB 将真空中

28、的安培环路定律推广到磁将真空中的安培环路定律推广到磁介质中，可得介质中，可得0()MBJJ0()BMJ MJM HJ 式中：式中： 0BHM磁场强度矢量磁场强度矢量 将介质中高斯定理微分形式对一定体积取积分将介质中高斯定理微分形式对一定体积取积分, ,得得介质中安培环路介质中安培环路定律微分形式定律微分形式SSH dSJ dSCH dlI介质中安培环路介质中安培环路定律积分形式定律积分形式第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25610mBHH说明：说明：1 1、真空（空气）的相对磁导率为真空（空气）的相对磁导率为1 1。0(1)mHB0rHB BH式中：式中： 称为媒质相对磁导率称

29、为媒质相对磁导率1rm 0r 磁介质本构关系磁介质本构关系称为媒质磁导率称为媒质磁导率 磁介质本构关系磁介质本构关系0BHMmMH顺磁质顺磁质: : 感应磁场与外场方向相同感应磁场与外场方向相同 抗磁质抗磁质: : 感应磁场与外场方向相反感应磁场与外场方向相反 铁磁质：铁磁质： 感应磁场与外场方向相同，且磁感应磁场与外场方向相同，且磁 化后感应磁场远远大于外磁场化后感应磁场远远大于外磁场 2 2、磁介质的分类：、磁介质的分类：r1r1r1第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25622.4.3 导电媒质的传导特性导电媒质的传导特性 dSJ E dl高 低 体积元：导电媒质导电率体积元

30、：导电媒质导电率体积元内存在：体积元内存在：E由欧姆定律：由欧姆定律：UIRE dlJ dSdldS()J sE lslJE式中：式中： 为导电媒质导电率。为导电媒质导电率。欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式说明：理想导体导电率为无穷大。说明：理想导体导电率为无穷大。 导电媒质中的欧姆定律导电媒质中的欧姆定律第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2563 焦尔定律焦尔定律在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电荷量荷量V V，运动速度，运动速度v v，则电场力在时间，则电场力在时间 t t内所做的功为内所做的功为电

31、场做功的功率为电场做功的功率为W = Fs= VE vt= E vVt= E JVt E JVWPt 功率密度（单位体积中的损耗功率）为功率密度（单位体积中的损耗功率）为P=p=E JV 体积为体积为V V的导电媒质内的损耗功率为的导电媒质内的损耗功率为VP=E JdV 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式焦尔定律的积分形式焦尔定律的积分形式第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25642.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.5.1 电磁感应定律电磁感应定律 法拉第电磁感应定律积分形势法拉第电磁感应定律积分形势 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路所围法拉第电磁感应定律

32、：当穿过导体回路所围面积的磁通量发生改变时，回路中将产生感应面积的磁通量发生改变时，回路中将产生感应电动势，其大小等于电动势，其大小等于回路磁通量的时间变化率回路磁通量的时间变化率。 数学表示：数学表示：inddt “-” “-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止阻止回回路磁通量的改变。路磁通量的改变。SBddtdS in,i第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2565 法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式 令感应电场为令感应电场为inEinincEdlincsdEdlB dSdt incsBEdldSt 空间内，一

33、般还存在着空间内，一般还存在着静电场静电场 ，导体内总电场为，导体内总电场为 。 由前面讨论可知：由前面讨论可知： 为保守场，即为保守场，即 则则 cEincEEEcE0ccEdlinccsBEEdldSt 上式（ ）csBE dldSt ssBE dSdSt BEt 法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式inSddtB dS 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2566对法拉弟电磁感应定律微分形式的讨论对法拉弟电磁感应定律微分形式的讨论 式中等式右边为式中等式右边为B B对对t t的偏导数，该式适用于分析的偏导数，该式适用于分析时变场时变场 式中的式中的E E是磁场

34、随时间变化而激发的，称为是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场感应电场 感应电场是感应电场是有旋场有旋场，即随时间变化的磁场会激发旋涡状的电，即随时间变化的磁场会激发旋涡状的电场场 对任意回路（不一定有导体存在）成立对任意回路（不一定有导体存在）成立 磁场不随时间变化时，有磁场不随时间变化时，有，与静电场的形式相同，与静电场的形式相同，可见可见静电场是时变场的特殊情况静电场是时变场的特殊情况E=0 法拉第电磁感应定律所揭示的物理规律：法拉第电磁感应定律所揭示的物理规律：随时间变化的磁场将随时间变化的磁场将产生电场产生电场。 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2567 例例 2.5

35、.2 2.5.2 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，角，如图所示。试求：如图所示。试求： （1 1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； 解解: : （1 1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故（2 2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。a b0sin()yBe Btneye0sin()dynSde BteSdt 0sin()cos dSdBtSdt 0cos(

36、)cosBtab x xy yza ab bB B时变磁场中的矩形时变磁场中的矩形线圈线圈neindSdBSdt 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2568 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 0t 0ne0t00000d1(sin(2)sin()d2cos(2)B abttB abt （2 2）线圈绕）线圈绕 x x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。的指向将随时间变化。ne0n000dsin()dddsin()cos()ddsin()cos()dySe BteStabBttabBttt indddSBSt 第第2 2章章电

37、磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25692.5.2 位移电流位移电流一、安培环路定律的局限性一、安培环路定律的局限性csH dlJ dSI 如图：以闭合路径如图：以闭合路径 为边界的曲面有无为边界的曲面有无限多个，取如图所示的两个曲面限多个，取如图所示的两个曲面S S1 1,S,S2 2。l结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时变场问题结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时变场问题1cSH dlJ dSI对对S S2 2面：面：20cSH dlJ dS则对则对S S1 1面：面：矛盾矛盾问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场问题：随时间变化的磁场要产生电场，

38、那么随时间变化的电场 是否会产生磁场？是否会产生磁场？第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2570 安培环路定理的修正安培环路定理的修正 位移电流的引入位移电流的引入 由电流守恒定律，有由电流守恒定律，有SJ =0J dS =0 安培环路定律的修正安培环路定律的修正而在时变场情形下，而在时变场情形下，J0 J dS0S 即：即： ，则，则dJ= J +J全全dSSJdS =JJ ) dS =0全全（ 全电流全电流传导电流传导电流位移电流位移电流 用用全电流全电流来代替安培环路定律中的来代替安培环路定律中的传导电流传导电流，则可修正因时变条，则可修正因时变条件下传导电流不守恒而产生的

39、矛盾。件下传导电流不守恒而产生的矛盾。 麦克斯韦提出了位移电流假说。他认为：麦克斯韦提出了位移电流假说。他认为：在时变场空间中，存在在时变场空间中，存在着因变化的电场而形成的位移电流，着因变化的电场而形成的位移电流，位移电流位移电流与传导电流共同形成全与传导电流共同形成全电流电流，全电流满足电流守恒关系，全电流满足电流守恒关系: :电流守恒电流守恒电流不守恒电流不守恒d(J +J )=0 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2571 位移电流位移电流D= J +=0t D(J +)=0t dJ= J +J全全dDJ =t 3 3、引入位移电流后，用、引入位移电流后，用全电流代替全电

40、流代替安培环路定律中的安培环路定律中的传导电流传导电流 , , 则安培环路定律在时变场中仍然适用。则安培环路定律在时变场中仍然适用。2 2、在理想介质中，无传导电流，但可能有位移电流；在理想介质中，无传导电流，但可能有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但在理想导体中，无位移电流，但可能可能有传导电流；有传导电流； 在导电介质中，既在导电介质中，既可能可能有传导电流，又有传导电流，又可能可能有位移电流。有位移电流。1 1、位移电流决定于电场的变化率，与传导电流不同，它、位移电流决定于电场的变化率，与传导电流不同，它不产不产生热效应生热效应。关于位移电流的几点说明关于位移电流的几点说明第第2

41、2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2572 安培环路定律广义形式安培环路定律广义形式 一般时变场空间同时存在真实电流一般时变场空间同时存在真实电流( (传导电流传导电流) )和位移电流，则和位移电流，则()CSSDH dlJdSJdSt全()SSDH dSJdStDHJt安培环路定律广义形式安培环路定律广义形式(全电流定律全电流定律)物理意义：当物理意义：当电场发生变化电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源时，会形成磁场的旋涡源(位移电位移电流流)，从而，从而激发起磁场激发起磁场关于位移电流假说关于位移电流假说 位移电流是一种位移电流是一种假想电流假想电流，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了，

42、在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。来证明了位移电流理论的正确性。第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2573物物理理基基础础库仑定律库仑定律电场强度电场强度与真空中与真空中的静电场的静电场安培定律安培定律法拉第电法拉第电感定律感定律位移电流位移电流假说假说电位移矢电位移矢量与介质量与介质中静电场中静电场磁感应强磁感应强度与真空度与真空中静磁场中静磁场磁场强度磁场强度与介质中与介质中的静磁场的静磁场高斯定理高斯定理磁通连续磁通连续电感定律电感

43、定律全电流定律全电流定律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组边界条件边界条件第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25742.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.6.1 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式 麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程组，揭示了麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程组，揭示了宏观电宏观电磁现象所遵循的基本规律磁现象所遵循的基本规律 时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体0eDHJtBEtBD （传导电流和变化的电场都能产生磁场传导电流和变化的电场都能产生磁场）（变化的磁场产生电场

44、变化的磁场产生电场）（磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线）（电荷产生电场电荷产生电场）时变电磁场的源：时变电磁场的源： 1 1、真实源真实源（时变的（时变的电流电流和和电荷电荷）；）； 2 2、时变的电场时变的电场和和时变的磁场时变的磁场。第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25752.6.2 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式()0eCSCSSSVDH dlJdStBE dldStB dSD dSdVQ 在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：媒质中：D

45、EBHJE 将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得2.6.3 麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程组的限定形式第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2576()0()EHEtHEtHE 麦克斯韦方程组限定形式麦克斯韦方程组限定形式麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组揭示的物理涵义麦克斯韦方程组揭示的物理涵义 时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场。的激发源除传导电流以外，还有变化的电场。 电场和磁场

46、互为激发源电场和磁场互为激发源，相互激发，相互激发第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2577 在无源空间中，两个旋度方程分别为在无源空间中，两个旋度方程分别为DHt ,BEt 负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系：当磁负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系：当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。场增大，磁场增大反过来又使电场减小。 时变电磁场中，电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成时变电磁场中，电场和磁场不再相互独立，而是相互关

47、联，构成一个整体，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量一个整体，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量 在离开辐射源（如天线）的在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场相密度矢量为零，电场和磁场相互激发，从而在空间形成电磁互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。振荡并传播，这就是电磁波。第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2578说明：静场只是时变场的一种特殊情况。说明：静场只是时变场的一种特殊情况。00000eeDtBtDHJHJtBEEBtBDD 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2579cmmdd

48、sin()ddcos()uiCCUtttCUt=msin()UtDEd 解解：( 1 ) 导线中的传导电流为导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板的两平行板之间的电场为之间的电场为E = u / d ，则，则 msinuUt 例例 正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。图所示。(1) (1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；电流相等；(2)(2)求导线附近距离连接导线为求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。处的磁场强度

49、。CPricu平行板电容器与交平行板电容器与交流电压源相接流电压源相接第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2580d2cHlrH与闭合线铰链的只有导线中的传导电流与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ，故得，故得cmcos()iC Utm2cos()rHCUt ( 2 ) 以以 r 为半径作闭合曲线为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故性，使得沿闭合线的磁场相等，故mdd0mcddcos()cos()SSUDiJSSt SC Utitd式中的式中的S0为极板的面积，而为极板的面积，而0SCd为平行板电容器的电容。为平行板电

50、容器的电容。则极板间的位移电流为则极板间的位移电流为mcos()2CUHe Hetr第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2581 例例 海水的电导率为海水的电导率为4S/m，相对介电常数为，相对介电常数为81，求频率为，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为则位移电流密度为其振幅值其振幅值为为传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为故故mcosxEe Etd0rmsin()xDJeEtt 3dm0rmm4.5 10JEE cmmm4JEE3dmcm1.

51、125 10JJ第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2582 例例 在无源在无源 的电介质的电介质 中，若已知中，若已知电场强度矢量电场强度矢量 ，式中的，式中的E0为振幅、为振幅、为角为角频率、频率、k为相位常数。试确定为相位常数。试确定k与与 之间所满足的关系，之间所满足的关系，并求出与并求出与 相应的其他场矢量。相应的其他场矢量。(00)J、(0)mcos() V/mxEe EtkzE 解解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定用麦克斯韦方程组可以确定 k 与与 之间所满足的之间所满足的关系

52、，以及与关系，以及与 相应的其相应的其他他场矢量。场矢量。EEmmcos()sin()xyyyEeeEtkze kEtkzzz mcos()ykEBetkz对时间对时间 t 积分，得积分，得()xyzxxBEeeee Etxyz 第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2583BH=DE2msin()xyzyxxxyzeeeHk EHeetkzxyzzHHH msin()xxxDDeeEtkztt DHt由由22k mcos()ykEHetkzmcos()xDeEtkz以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和和 D代入式代

53、入式第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2584 例例 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。mcos()(A/m)xHe Htkzdm2m()cos()sin()(A/m )xyzxxxyyyDJHeeee HtxyzHeeHtkzzze kHtkz mmdsin()dcos()(V/m)yyDDte kHtkzttkeHtkz 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 , 得得DHt01ED第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2585物物理

54、理基基础础库仑定律库仑定律电场强度电场强度与真空中与真空中的静电场的静电场安培定律安培定律法拉第电法拉第电感定律感定律位移电流位移电流假说假说电位移矢电位移矢量与介质量与介质中静电场中静电场磁感应强磁感应强度与真空度与真空中静磁场中静磁场磁场强度磁场强度与介质中与介质中的静磁场的静磁场高斯定理高斯定理磁通连续磁通连续电感定律电感定律全电流定律全电流定律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组边界条件边界条件第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25862.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件什么是电磁场的边界条件? ? 为什么要研究边界条件为什么要研究边界条件? ?ne媒

55、质媒质1 1媒质媒质2 2 如何讨论边界条件如何讨论边界条件? ? 实际电磁场问题都是在一定的物理空实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间包含多种不同媒质。间内发生的，该空间包含多种不同媒质。边界条件反映了不同媒质的分界面两边的边界条件反映了不同媒质的分界面两边的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。界面上电磁场的基本属性。物理物理：由于在分界面两侧介质的特性参：由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面两侧失

56、去意义，必形式在分界面两侧失去意义，必 须采用边界条件。须采用边界条件。数学数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的解是不确定的，边界条件起定解的 作用。作用。 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。1 1、电磁场边界条件揭示了分界面两边电、磁场突变所遵循的规律、电磁场边界条件揭示了分界面两边电、磁场突变所遵循的规律2 2、推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式

57、、推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:25872.7.1 边界条件的一般形式边界条件的一般形式 212Hn1H()SCsDH dlJdSt0h ls210limShDHlHlJs ls l ht 021SHlHlJs lns12ttsHHJ12()SnHHJ 磁场强度磁场强度 的边界条件的边界条件0, 为表面为表面传导电流密度传导电流密度。SJ式中：式中： 为由媒质为由媒质2 211的法向的法向。n结论：磁场强度结论：磁场强度 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值恰好等于分界面上的电流面密度其

58、差值恰好等于分界面上的电流面密度 HHSJ第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2588 电场强度电场强度 的边界条件的边界条件 212En1E210h lslSBE dldSt21()0nEE12ttEE 结论：电场强度结论：电场强度 在不同媒质分界面两侧的切向分量连续。在不同媒质分界面两侧的切向分量连续。210limhBElE ls l ht 21()()0EnsEns021()()0sEnsEn EE第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:258911220B dSBdS120B nBn21nnBB0SB dS 212B1Bn 电通密度电通密度 的边界条件的边界条件DS

59、D dSq12()sDDn12nnsDD 磁感应强度磁感应强度 的边界条件的边界条件B结论：结论：磁感应强度磁感应强度 在不同媒质分界面两侧的法向分量连续。在不同媒质分界面两侧的法向分量连续。B结论：结论：电通密度电通密度 在不同媒质分界面两在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。面上自由电荷面密度。D0hSnn 212D1Dn0hSnn第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波15:2590 理想介质分界面上的边界条件理想介质分界面上的边界条件 理想介质是无损耗媒质，其导电率为零，即：理想介质是无损耗媒质，其导电率为零，即：0

60、0,0ssJ12ttHH12()0nHH12()0nEE12ttEE120B nBn21nnBB12()0DDn12nnDD结论：在理想介质分界面上，结论：在理想介质分界面上， 矢量切向连续矢量切向连续 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上， 矢量法向连续矢量法向连续,E H ,B D 2.7.2 两种特殊情况下的边界条件两种特殊情况下的边界条件 由电磁场边界条件一般形式，可知由电磁场边界条件一般形式，可知理想介质分界面边界条件理想介质分界面边界条件为：为： 在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和传导电流。在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和传导电流。第第2 2章章电磁场与电磁波电磁场