同济-高等数学-第三版(5.4) 第四节 平面图形面积

1、 直角坐标系是欧氏空间最基本的坐标系形式，在直直角坐标系是欧氏空间最基本的坐标系形式，在直角坐标系下求平面图形面积是最常见的面积问题形式。角坐标系下求平面图形面积是最常见的面积问题形式。 由定积分几何意义的讨论知，一般平面图形面积的由定积分几何意义的讨论知，一般平面图形面积的计算可归结为求曲边梯形的面计算可归结为求曲边梯形的面积，但这种方式求面积一般较积，但这种方式求面积一般较为繁杂，实际应用中多采用元为繁杂，实际应用中多采用元素法计算。素法计算。 直角坐标系下用元素法计算平面图形面积，关键是直角坐标系下用元素法计算平面图形面积，关键是确定相应的面积元素。面积元素的选择不仅要考虑曲边确定相应的

2、面积元素。面积元素的选择不仅要考虑曲边图形的边界曲线方程，还应考虑根据图形的特点选择合图形的边界曲线方程，还应考虑根据图形的特点选择合适的积分变量。适的积分变量。 当平面图形的边界曲线由多当平面图形的边界曲线由多条不同的曲线段构成时，其面积条不同的曲线段构成时，其面积元素往往不具有统一的形式，即元素往往不具有统一的形式，即面积元素常常是分段函数，此面积元素常常是分段函数，此时应注意根据边界曲线的特点时应注意根据边界曲线的特点逐段确定相应的面积元素。逐段确定相应的面积元素。例例：求由曲线求由曲线 x = y 2 - - 2y ，x = 2y 2 - - 8y + 6 所围成的图形所围成的图形的面

3、积。的面积。 直角坐标系下求平面图形面积问题，考虑用直角坐标系下求平面图形面积问题，考虑用元元素法求解。对素法求解。对几何问题通常宜作图分析，由此可较方便几何问题通常宜作图分析，由此可较方便地选择积分变量、确定积分限及相应的面积元素形式。地选择积分变量、确定积分限及相应的面积元素形式。 方程方程 x = y 2 - - 2y =( y 2 - - 2y +1 )- -1 =( y - - 1 )2 - -1 表示表示顶点在点顶点在点( -1, , 1 )、开口向右的抛物线。、开口向右的抛物线。 方程方程 x = y 2 - - 8y + 6 = 2( y - - 2 )2 - - 2 表示表示

4、表示顶点在表示顶点在点点( -2, , 2 )、开口向右的抛物线。、开口向右的抛物线。 643211xyxOyyyyd3333CD6432222xy2 2 A,1 1 B , 3333yA, , 由直观易见，宜选择平行于由直观易见，宜选择平行于 x 轴的水平条状小矩形轴的水平条状小矩形作为面积元素，相应地应选择作为面积元素，相应地应选择 y 作为积分变量。作为积分变量。 联立边界曲线的方程有联立边界曲线的方程有 222286xyyxyy , . . 解解得得 1212643643:3333xxCDyy, . . . . 任取任取 y, , y + dy 考虑相应面考虑相应面积积元素的元素的 d

5、 A 的计算的计算： 由直观易见，所取由直观易见，所取面积元素面积元素 d A 对应的面积局部量对应的面积局部量 A 可近似看成是一个高为可近似看成是一个高为 d y，宽度介，宽度介于两曲线于两曲线 x = y 2 - - 2y ，x = 2y 2 - - 8y + 6 之间的之间的小矩形小矩形。 于是面积局部量于是面积局部量 A 可近似地表为：可近似地表为： A ( y 2 - - 8y + 6 )- -( y 2 - - 2y )d y =( y 2 - - 6y + 6 )d y . . 由于由于 A 可表为可表为 d y 的线性函数，故取面积元素为的线性函数，故取面积元素为 d A =

6、( y 2 - - 6 y + 6 )d y . . 3333., , 简单方简单方便便 333323333dd66AAyyy 33323313643 .3yyy643211xyxOy3333CD6432222xy2A1dA dxxx2dA dxxx12422yx11yx 2 64 3x, 643643x, 本题亦可选择铅直条状小矩形为面积元素，相应地本题亦可选择铅直条状小矩形为面积元素，相应地选取选取 x 作为积分变量，并将平面区域的边界曲线方程改作为积分变量，并将平面区域的边界曲线方程改写成：写成： 由区域边界曲线交点由区域边界曲线交点 A( -2, ,2 )，坐标看出，所求图形面积坐标看

7、出，所求图形面积 A 相应于相应于 x 的变化范围为：的变化范围为：xyy22 11yx ;xyy22861242 .2yx 2 643.xA , 64333D, 考虑相应面积元素考虑相应面积元素 d A 的计算的计算： 此时面积局部量此时面积局部量 A 应分两种情形考虑应分两种情形考虑: : 面积局部量可近似地表为：面积局部量可近似地表为： 面积局部量可近似地表为：面积局部量可近似地表为： d2 643x xx , 若若 111242242d22Axxx 42 dx x; d643643x xx , 若若 2124211d2Axxx 11421d.2xxx 由于面积局部量由于面积局部量 A

8、可表示为可表示为 d y 的线性函数，故的线性函数，故选取面积元素为选取面积元素为 12d2 643dd643643AxAAx ,;, . . 1d42 dAx x, 21d1421d .2Axxx 6 436 436 4312226 43dddAAAA 6 436 4326 43142d1421d2xxxxx 6 433221423x 6 4333226 431242163xxx 4 3 . 由本例的计算可以看出，在直角坐标系下用元素由本例的计算可以看出，在直角坐标系下用元素法求平面图形的面积时，其面积元素通常选取水平或法求平面图形的面积时，其面积元素通常选取水平或铅直的矩形小窄条。铅直的矩

9、形小窄条。 面积元素的选择取对定积分计算至关重要。因为面积元素的选择取对定积分计算至关重要。因为选择面积元素实际是选择积分变量，积分变量的选择选择面积元素实际是选择积分变量，积分变量的选择应根据以下原则：应根据以下原则： 被积函数形式简单且易于求出其原函数；被积函数形式简单且易于求出其原函数； 积分区域的形式简单，即积分区域的边界曲线不要积分区域的形式简单，即积分区域的边界曲线不要 是分段函数；是分段函数； 积分区域尽量不分块或少分块。积分区域尽量不分块或少分块。 为直观和理论叙述的方便，微积分的讨论主要是在为直观和理论叙述的方便，微积分的讨论主要是在直角坐标系下进行的，但直角坐标系并不是确定

10、位置的直角坐标系下进行的，但直角坐标系并不是确定位置的唯一形式，极坐标系就是另一种常用确定位置的方法。唯一形式，极坐标系就是另一种常用确定位置的方法。 从实际应用角度看，在直角坐标系下表示点的位置从实际应用角度看，在直角坐标系下表示点的位置及函数关系或曲线方程并非总是及函数关系或曲线方程并非总是最方便的，有些函数关系或曲最方便的，有些函数关系或曲线方程在极坐标系下表示更为线方程在极坐标系下表示更为简洁，因此需考虑在极坐标简洁，因此需考虑在极坐标系下计算平面图形面积问题。系下计算平面图形面积问题。 极坐标系用方向角和相应的距离来确定平面上的点极坐标系用方向角和相应的距离来确定平面上的点的位置，通

11、过如下定义的方式建立二元有序实数组与平的位置，通过如下定义的方式建立二元有序实数组与平面上点的面上点的“1-11-1对应对应”的关系：的关系： 在平面内取一个定点在平面内取一个定点 O，由点由点 O 引一条射线引一条射线 OA，并确定长度单位及度量角度的正方向并确定长度单位及度量角度的正方向( 通常取逆时针方通常取逆时针方向向 )就构成了极坐标系。定点就构成了极坐标系。定点 O 叫做极点叫做极点，射线射线 OA 叫叫做极轴做极轴。AO r1 1 Pr ,1 1 r 点点 P 一组有序实数一组有序实数( r, , )一组有序实数一组有序实数( r, , ) 点点 P .P 和直角坐标系下化平面图

12、形为曲边梯形的情形相类和直角坐标系下化平面图形为曲边梯形的情形相类似，在极坐标系下，一般平面图形面积的计算总可归结似，在极坐标系下，一般平面图形面积的计算总可归结为曲边扇形求其面积。因此只需考虑曲边扇形面积计算为曲边扇形求其面积。因此只需考虑曲边扇形面积计算就可以了。就可以了。 由曲线由曲线 r = ( )，射线射线 = , , = 所围所围成的平面图形称为曲成的平面图形称为曲边扇形。边扇形。 r OAOA r OA r 2 设有曲边扇形设有曲边扇形 r = ( ), , , , ，试计算其面积。试计算其面积。 对于极坐标系下的平面图形，容易求得的是圆对于极坐标系下的平面图形，容易求得的是圆心

13、在极点、半径为心在极点、半径为 R、圆心角为、圆心角为 的圆扇形面积。的圆扇形面积。 对于一般曲边扇形，自然对于一般曲边扇形，自然不可按此公式求面积。但由于不可按此公式求面积。但由于曲线曲线 r = ( )通常对应于连续通常对应于连续函数，对足够小的扇形角函数，对足够小的扇形角 ，其对应的小曲边扇形可近似地其对应的小曲边扇形可近似地看作小圆扇形，于是可用元素看作小圆扇形，于是可用元素法求其面积。法求其面积。A 212AR R 设所求曲边扇形的面积为设所求曲边扇形的面积为 A，则，则 A 是一个与变量是一个与变量 及其变化区间及其变化区间 , , 相关的量，相关的量， 由于面积由于面积 A 关于

14、其部分量具有可加性，故考虑用关于其部分量具有可加性，故考虑用元元素法求之。素法求之。 取取 , , + d , , ，考虑该小区间所对应的小考虑该小区间所对应的小曲边扇形的面积曲边扇形的面积 A . .A . A 即即, r OA +d A 视视 A 为小圆扇形，则有为小圆扇形，则有 由于由于 A 是是 d 的线性式，故选取面积元素为的线性式，故选取面积元素为 因为因为 A , , 故有故有 21d2A , 21dd2A . . 2 1dd.2AA 极坐标系下，平面图形可视作由封闭曲线极坐标系下，平面图形可视作由封闭曲线 r = ( )围成，此时确定面积定积分的被积表达是相对方便，故围成，此时

15、确定面积定积分的被积表达是相对方便，故面积的计算关键是确定相应定积分的积分限。面积的计算关键是确定相应定积分的积分限。 按封闭曲线按封闭曲线 r = ( )在在极坐标系中的不同位置，具极坐标系中的不同位置，具体可分以下三种情形讨论。体可分以下三种情形讨论。 此时可将封闭曲线此时可将封闭曲线 r = ( )看成是由极点出发绕看成是由极点出发绕行行一周而形成的。因此为一周而形成的。因此为确定相应定积分的积分限，只需确定相应定积分的积分限，只需令令 r = ( )= 0，并由此解出并由此解出 = ， = 即可得即可得： A . .,A r dAd 21dd2A 2 1dd2AA OAA2 此时可将封

16、闭曲线此时可将封闭曲线 r = ( )看成是由极轴上一点看成是由极轴上一点出出发绕行一周而形成的。因此发绕行一周而形成的。因此相应定积分的积分限可取为相应定积分的积分限可取为0 2 ， 即有即有 0 2 A . ., 2 0dAA 22 01d.2 21dd2A OA r dAd OAA r A1dd A2dQ P A ,AAA12ddd 此时确定面积元素及积分限及要复杂些。此时确定面积元素及积分限及要复杂些。 过极点作射线与曲线过极点作射线与曲线 r = ( )相切，设切点为相切，设切点为 P、Q ， 对应于对应于切点切点 P、Q 的切线方程分别为的切线方程分别为 = , , = . . 则

17、有则有 切点切点 将曲线分为两段，记两段的方程分别为将曲线分为两段，记两段的方程分别为 r = 1( )，r = 2( )， 此时相应的面积元素为两曲边扇形面积之差，即此时相应的面积元素为两曲边扇形面积之差，即 于是曲线于是曲线 r = ( )所围成的区域的面积为所围成的区域的面积为 A , . . A 22222121111dddd222. . AArr 2221 1dd.2 例例：计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 r = a ( a 0 ) )上相应于上相应于 从从 0 变变到到 2 的一段弧与极轴的一段弧与极轴所围成的图形面积所围成的图形面积。 平面区域边界由极坐标方程给出，考虑用元素平

18、面区域边界由极坐标方程给出，考虑用元素法求其面积。为确定相应面积元素及积分限，可先作出法求其面积。为确定相应面积元素及积分限，可先作出平面区域的图形以辅助分析。平面区域的图形以辅助分析。 ra AOd 2211ddd0 222Ara , , . .,2 a 本例的平面图形为极点在区域边界曲线上的情形，本例的平面图形为极点在区域边界曲线上的情形，故可取顶点在极点的小曲边扇形为其面积元素。故可取顶点在极点的小曲边扇形为其面积元素。 易求得面积元素为易求得面积元素为 所求图形面积为所求图形面积为 2211ddd0 222Ara , , . ., 2232222300014dd2233aAAaa .

19、.例例：计算心形线计算心形线 r = a( 1+ cos )围成的图形面积。围成的图形面积。 为确定面积元素及积分限，可作曲线图分析。为确定面积元素及积分限，可作曲线图分析。 由由 cos 的性质知，心形线关于极轴对称，故只需的性质知，心形线关于极轴对称，故只需作其在作其在 0 到到 的一段。的一段。 2362a , , 2a , , 322a , , 21dd2Ar 2211cosd2a , ,d AO 2a332a , , 2242a , , 0 2 . ., 图形为极点在区域边界线上的情形，可取顶点在极图形为极点在区域边界线上的情形，可取顶点在极点的小曲边扇形为其面积元素。易求得面积元素

20、为点的小曲边扇形为其面积元素。易求得面积元素为 所求图形面积为所求图形面积为 22211dd1cosd0 222Ara , , . ., 222001d21cosd2AAa 22012coscosda 20312coscos2d22a 2203132sinsin2.242aa 立体体积计算也是积分学最初研究经典问题之一，立体体积计算也是积分学最初研究经典问题之一，体积具有可加性的量，因而也可用定积分方法计算。体积具有可加性的量，因而也可用定积分方法计算。 立体由曲面围成，而曲面方程通常对应于二元函数立体由曲面围成，而曲面方程通常对应于二元函数z = f ( x , ,y )，体积计算一般是多元

21、函数积分学的问题。，体积计算一般是多元函数积分学的问题。但某些特殊立体，如旋转体和平行截面为已知的立体，但某些特殊立体，如旋转体和平行截面为已知的立体，其体积计算可归结为一元函数积分其体积计算可归结为一元函数积分的计算。通过这些特殊立体体积的计算。通过这些特殊立体体积的计算，不仅可进一步掌握定积的计算，不仅可进一步掌握定积分的应用方法，同时也为多元函分的应用方法，同时也为多元函数积分学的讨论打下良好基础。数积分学的讨论打下良好基础。 由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。成的立体称为旋转体，这条直线称为旋

22、转轴。 旋转体体积与形成该旋转体的平面图形面积间有着旋转体体积与形成该旋转体的平面图形面积间有着密切关系，因此可通过面积计算来讨论旋转体体积。密切关系，因此可通过面积计算来讨论旋转体体积。 由于平面图形总可表示为曲边梯形，故只需考虑由由于平面图形总可表示为曲边梯形，故只需考虑由曲边梯形绕坐标轴旋转一周而成的旋转体体积。曲边梯形绕坐标轴旋转一周而成的旋转体体积。 考虑由连续曲线考虑由连续曲线 y = f( x )、直线、直线 x = a、x = b 及及 x 轴围成的曲边轴围成的曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转一周所轴旋转一周所形成的旋转体体积形成的旋转体体积 V x . . xOyab yfxa

23、bx . ., , .fxxVa b, 选择选择 x 作为积分变量作为积分变量，任取任取 x , ,x + d x a , ,b ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的小曲所对应的小曲边梯形绕边梯形绕 x 轴旋转一周所成轴旋转一周所成 的小薄片旋转体体积的小薄片旋转体体积 Vx . . 该小薄片可近似地看成是以该小薄片可近似地看成是以 f( x )为半径，为半径，d x 为高为高的小圆柱体，的小圆柱体，因而有因而有 Vx f( x )2 x . . 取体积元素为取体积元素为 d Vx = f( x )2 d x . . 由此求得所求旋转体体积为由此求得所求旋转体体积为yOx yfxab dx xx

24、 2 ddbbxxaaVVxfx . .连续曲线连续曲线 x = ( y )、直线直线 y = c、y = d y 轴围成的曲边梯形绕轴围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成旋转体体积轴旋转一周所成旋转体体积 Vy . . 选择选择 y 作为积分变量，作为积分变量，任取任取 y , ,y + d yc ,d ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的小曲所对应的小曲边梯形绕边梯形绕 y 轴旋转一周所成轴旋转一周所成的小薄片旋转体体积的小薄片旋转体体积 V y . . 取体积元素为取体积元素为 dVy = ( y )2d y . 求得旋转体体积为求得旋转体体积为 2 ddddyyccVVyy. .xOyd

25、cdyyy 考虑由连续曲线考虑由连续曲线 y = f( x ), ,直线直线 x = a , ,x = b 及及 x 轴围轴围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积轴旋转一周所形成的旋转体体积 V y . . 由直观容易看出有由直观容易看出有 选择选择 x 作积分变量作积分变量，任取任取 x , ,x + d x a , ,b ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的所对应的小曲边梯形绕小曲边梯形绕 y 轴旋转轴旋转一周所成的环形薄壳旋一周所成的环形薄壳旋转体体积转体体积 Vy . .xyO fxyVa b .,b yfx dx xxa fx小圆环形薄壳旋转体沿母线剪开并展平

26、后可近似地小圆环形薄壳旋转体沿母线剪开并展平后可近似地看成是一个高为看成是一个高为 f( x ), ,宽为 2 x, ,厚度为厚度为 d x 的长方体。的长方体。 容易求得容易求得 Vy 2 x f( x )d x , , 取体积元素为取体积元素为 d Vy = 2 x f( x )d x ，x a , b . . 由此求得旋转体体积为由此求得旋转体体积为dxfx2 x x d2dbbyyaaVVxfxx . .例例：试计算由曲线试计算由曲线 y = sin x , , x 0 , , 与与 x 轴所围成轴所围成的图形分别绕的图形分别绕 x 轴轴, , y 轴旋转所得旋转体体积轴旋转所得旋转体

27、体积 V x ,V y . . 求旋转体体积可归结为定积分计算，确定定积求旋转体体积可归结为定积分计算，确定定积分形式需确定相应的积分变量、被积表达式及积分限。分形式需确定相应的积分变量、被积表达式及积分限。 这些因素的确定均依赖于给定图形的边界曲线方程这些因素的确定均依赖于给定图形的边界曲线方程及其几何性质。因此，及其几何性质。因此，为确定定积分形式，可先作出曲为确定定积分形式，可先作出曲边梯形及相应旋转体图形辅助分析，再根据指定的旋转边梯形及相应旋转体图形辅助分析，再根据指定的旋转轴选择相应方法。轴选择相应方法。 选择选择 x 作为积分变量作为积分变量，任取任取 x , ,x + d x

28、0 , , ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的小曲所对应的小曲边梯形绕边梯形绕 x 轴旋转一周所成轴旋转一周所成的小薄片旋转体体积的小薄片旋转体体积 Vx . . 取体积元素为取体积元素为 d Vx = y 2 d x = sin 2 x d x . . 由此求得绕由此求得绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积为轴旋转一周所得旋转体体积为sinyxxOy dx xxy 22 0 0 01 cos21dsindd22xxxVVx xx . .xsinyx dx xx 选择选择 x 作为积分变量作为积分变量，任取任取 x , ,x + d x 0 , , ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的小曲边梯形绕所

29、对应的小曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成轴旋转一周所成 的环形薄壳旋转体体积的环形薄壳旋转体体积 Vy . .Oy 取体积元素为取体积元素为 d Vy = 2 x f( x )d x = 2 x sin x d x，x 0 , , . . 由此求得绕由此求得绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为轴旋转一周所得旋转体体积为 0 0 0d2sin d2dcosyyVVxx xxx 0 02cos2cos dxxx x 22022sin2.x xsinyx Oy选择选择 y 作为积分变量，任取作为积分变量，任取 y , ,y + d y 0 , ,1 ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的小曲边梯形绕所对应的

30、小曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成轴旋转一周所成的环形薄片旋转体体积的环形薄片旋转体体积 Vy . .dyyy1选择了选择了y 作为积分变量，作为积分变量，需将原形如需将原形如 y = f( x )曲线曲线方程改写方程改写成成 x = ( y )的形式。的形式。 由由 y = f( x )= sin x，x 0 , , ，可解得可解得 x = 1( y )= arcsin y，x 0 , , / /2 ， x = 2( y )= - - arcsin y，x / /2 , , . . 于是可求得圆环形薄片体积元为于是可求得圆环形薄片体积元为 dVy = 22( y )d y - - 12( y

31、)d y = ( - - arcsin y )2 - -( arcsin y )2d y = ( 2 - - 2 arcsin y )d y，y 0 , ,1 . . 相应旋转体体积为相应旋转体体积为 1 12 0 0dd2 arcsinyyVVyy 1 12 0 0dd2 arcsinyyVVyy 113202 0darcsin21yyyyy 12322 011arcsin1d 1221yy 13220212y 1 132 0 0d2arcsin dyy y 3222212 . . 旋转体的特点是垂直于旋转轴的截面截立体的截旋转体的特点是垂直于旋转轴的截面截立体的截口都是圆，切片法就是通过截

32、口面积口都是圆，切片法就是通过截口面积 A( x ) 的计算求得的计算求得体积元体积元 dVx = A( x )d x，再通过定积求得其体积。，再通过定积求得其体积。 这种体积计算的切片法具有某这种体积计算的切片法具有某种一般性，即即使立体不是旋转种一般性，即即使立体不是旋转体，但垂直于该立体的某定轴体，但垂直于该立体的某定轴的各平行截面面积易于求得，的各平行截面面积易于求得，则也可通过切片法求其体积。则也可通过切片法求其体积。C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访x xVa b, , . . dx xx A x 取定轴为取定轴为 x 轴建立坐标系，轴建立坐标系，将立体向将立体向

33、x 轴投影得轴投影得区区间间 a , ,b ，任取任取 x a , ,b ，过点，过点 x 作垂直于作垂直于 x 轴的轴的截面与截面与立体相截。立体相截。 设截口面积为设截口面积为 A( x )，则有则有 V( x ) a , ,b . . 任取任取 x , ,x + d x a , ,b ，考虑该小区间考虑该小区间所对应的所对应的小小薄片的体积薄片的体积 V . . 取体积元素为取体积元素为 dV = A( x )d x ，x a , ,b ，则可求得立体体积为则可求得立体体积为 ddbbaaVVA xx . .例例：一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底的圆柱体的

34、底圆中心，并与底 面成面成 角角，求此平面截圆柱体所得的楔形立体体积求此平面截圆柱体所得的楔形立体体积。讨论几何应用问题讨论几何应用问题通常宜先合理地建立坐标通常宜先合理地建立坐标系作相应图形辅助分析。系作相应图形辅助分析。 取平面与圆柱体底面取平面与圆柱体底面的的交线为交线为 x 轴，轴，y 轴在底轴在底面上，过底圆中心且与面上，过底圆中心且与 x轴垂直。轴垂直。 在此坐标下，在此坐标下，圆柱体圆柱体底圆方程为底圆方程为 x 2 + y 2 = R 2. .xyO yORRRyx22yRx A x tany xdx 作作垂直于垂直于 x 轴轴的平面与立体相截，截口为三角形，的平面与立体相截，

35、截口为三角形，此截口面积易于计算。此截口面积易于计算。 任取任取 x - -R , ,R ，过点，过点 x 作作垂直于垂直于 x 轴轴的平面与的平面与立体相截，则截口为三角形，考虑截口面积的计算。立体相截，则截口为三角形，考虑截口面积的计算。 易求得截口三角形的面积为易求得截口三角形的面积为 对应于截口三角形薄片的体积元素为对应于截口三角形薄片的体积元素为 于是求得楔形立体体积为于是求得楔形立体体积为 22 11tantan22A xy yRx , 22 1ddtan d2VA xxxxR RRx . ., 32322 0 021tandtan33RRxRR xxRx. . 22 1dtan

36、d2RRRRVVxRx yORRRx22xRy 作作垂直于垂直于 y 轴轴的平面与立体相截，则截口为矩形的平面与立体相截，则截口为矩形, ,此截口面积易于计算。此截口面积易于计算。xdy B y tany y 任取任取 y 0 , ,R ，过点，过点 y 作作垂直于垂直于 y 轴轴的平面与立的平面与立体相截，则截口为矩形，考虑截口面积的计算。体相截，则截口为矩形，考虑截口面积的计算。 易求得截口矩形的面积为易求得截口矩形的面积为 对应截口矩形薄片的体积元素为对应截口矩形薄片的体积元素为 于是求得楔形立体体积为于是求得楔形立体体积为 22 2tan2 tan0B yx yyRyyR . ., 2

37、2 dd2 tand0VB yyyRyyyR . ., 33222 022tantan33RRRy . . 22 0 0d2 tandRRVVyRyy 曲线弧长的计算也是实际问题中经常需要计算的量曲线弧长的计算也是实际问题中经常需要计算的量, ,曲线因为是弯曲的，除圆弧这样的特殊曲线外，一般是曲线因为是弯曲的，除圆弧这样的特殊曲线外，一般是不能直接度量或计算的。不能直接度量或计算的。 曲和直是相对的，曲线虽在较大范围内呈现弯曲的曲和直是相对的，曲线虽在较大范围内呈现弯曲的形式，但其在较小的局部却可看形式，但其在较小的局部却可看成是直的。因此曲线可分解为若成是直的。因此曲线可分解为若干直线段进行

38、考察，且曲线长度干直线段进行考察，且曲线长度为个各直线段长度之和，即曲线为个各直线段长度之和，即曲线弧长具有可加性。于是曲线弧长弧长具有可加性。于是曲线弧长可通过定积分方法进行计算。可通过定积分方法进行计算。 设曲线方程由直角坐标给出设曲线方程由直角坐标给出 C：y = f( x )，x a , ,b . .其中其中 f( x )在区间在区间 a , ,b 上具有一阶连续导数，求这段上具有一阶连续导数，求这段曲线弧的弧长曲线弧的弧长 S . . 由于由于 f( x )在在 a , ,b 上具有一阶连续导数，故对上具有一阶连续导数，故对应曲线弧应曲线弧 S 是可求长的。由曲线可求长的定义知，曲线

39、是可求长的。由曲线可求长的定义知，曲线弧具有可加性和可线性化。因此，可考虑利用定积分计弧具有可加性和可线性化。因此，可考虑利用定积分计算曲线弧长，且有算曲线弧长，且有 S( x ) a , ,b . . 任取任取 x , ,x + d x a , ,b 考虑小区间考虑小区间 x , ,x + d x 所对所对应的曲线弧应的曲线弧 S 的长度。的长度。 由直观易看出有由直观易看出有 取弧长元素为取弧长元素为 于是有于是有 22Syx . . 2222d1ddd1d .ddyxSxfxyxx 2 d1dbbaaSSfxx. .xyO :.C yfxa bx, ,ab dxxx dxxy S dy

40、dS 由于弧长总是正的，故由于弧长总是正的，故d S 0 . 而弧微分表示式而弧微分表示式为使弧微分为使弧微分 d S 总取正值需有总取正值需有d x 0 . 为保证为保证 d x 0，计算弧长积分时需，计算弧长积分时需沿变量沿变量 x 增加的方向进行，即对计算弧增加的方向进行，即对计算弧长的定积分积分上限长的定积分积分上限 b 应大于下限应大于下限 a . 222d 1dd.dddyxSyxx 由由222d1dddddxySyyx 2 2 d1d1ddddccxSyyyy . 21d0.yyycd , , 例例：求半立方抛物线求半立方抛物线 被抛物线被抛物线 所截得的一段弧的弧长所截得的一段

41、弧的弧长。 计算曲线弧长是定积分的几计算曲线弧长是定积分的几何应用问题，为计算弧长需先写出所何应用问题，为计算弧长需先写出所求弧长的定积分表示式。求弧长的定积分表示式。 将弧长表示为定积分可分三部分将弧长表示为定积分可分三部分考虑，即选择合适的积分变量；确定考虑，即选择合适的积分变量；确定相应的弧微分表示形式；确定所求弧相应的弧微分表示形式；确定所求弧段对应的积分限。段对应的积分限。 以上三部分准备工作常可通过几何直观进行分析，以上三部分准备工作常可通过几何直观进行分析，为此先作出所求曲线段的图形。为此先作出所求曲线段的图形。32213yx213yxx32213yxOy213yx2AB1C由图

42、形的对称性由图形的对称性, ,只需考虑计算弧只需考虑计算弧段段 CA 的长。的长。 联立方程有联立方程有 2( x - - 1)3 = x ， 解得唯一实根解得唯一实根 x = 2 . 因而求得两曲线的交点为因而求得两曲线的交点为 结合曲线图形可知结合曲线图形可知322 21313yxyx,. . 22: :2233xxAByy ,. 21 203xyACACSS; ., 从曲线方程看，选择从曲线方程看，选择 x 或或 y 作作为积分变量都可以。为积分变量都可以。因此积分变量的选择主要取决于弧微分的形式。因此积分变量的选择主要取决于弧微分的形式。 若选择若选择 x 作为积分变量，则作为积分变量

43、，则 求得相应弧微分形式为求得相应弧微分形式为 23222231133yyyxx ,由由可可求求得得 21xyy ,解解得得222 1d1d1d.xSxxyy 4 3131d11 d1 22213xxxxxx, ,. . 若选择若选择 y 作为积分变量，则作为积分变量，则 求得相应弧微分形式为求得相应弧微分形式为 比较弧微分形式可见，宜选择比较弧微分形式可见，宜选择 x 作为积分变量。作为积分变量。 232d22231133dxyyxxy ,由由可可求求得得2dd1yxyx ,解解得得22 2dd1d1d .d1yxSyyyx 2 2332221d21d03323yyyyyy. ., , 3d

44、11 d1 22Sxxx. ., , 2 2 1 1322211 d31d22ACBCASSxxxx 2 232 1 122231d 3131333xxx 3332 222285.152992 设曲线方程由参数式给出设曲线方程由参数式给出 其中，其中， ( t ), , ( t )在区间在区间 , , 上具有连续导数，求上具有连续导数，求这段曲线弧的弧长这段曲线弧的弧长 S . . 由直角坐标系下曲线弧长的讨论知，曲线弧长由直角坐标系下曲线弧长的讨论知，曲线弧长的计算关键是确定弧长元素或弧微分。的计算关键是确定弧长元素或弧微分。 确定弧微分的基本关系式是微分三角形下的勾股定确定弧微分的基本关系

45、式是微分三角形下的勾股定理，即理，即 因此，对于因此，对于参数式给出的参数式给出的曲线，也可从此曲线，也可从此基本关系式出发进行讨论。基本关系式出发进行讨论。 : . xtCtyt . .,22 d.ddSyx 由曲线参数方程由曲线参数方程 C: x = ( t )，y = ( t )有有 d x = ( t )d t，d y = ( t )，于是于是 若当若当 t , , 时，动点沿曲线运动对应参数时，动点沿曲线运动对应参数 t 是是单调增加的，则有单调增加的，则有d t 0 ，d t= d t，于是，于是 2222 dddddSyttxtt 22 dttt. 22ddSSttt 例：例：设

46、设摆线的方程为摆线的方程为 求求摆线的一拱摆线的一拱( 0 x 2 )的长度的长度。 为计算弧长需先写出所求弧长的定积分表示式为计算弧长需先写出所求弧长的定积分表示式, ,对曲线方程由参数式给出的情形，关键是确定相应的弧对曲线方程由参数式给出的情形，关键是确定相应的弧微分表示形式。微分表示形式。 sin1cos.xattyat, ,yOxa t2 a a 由摆线方程由摆线方程 C: x = a( t - - sin t )，y = a( 1 - - cos t )有有 d x = a( 1 - - cos t )d t，d y = a sin t d t . . 由于当由于当 t : 0 2 时，时，d t 0，于是有，于是有 22 ddSttt 22 sin