第九章_振动学基础

1、第九章 振动学基础内容谐振动的特征和谐振动方程谐振动的特征和谐振动方程谐振动的振幅谐振动的振幅 周期周期 频率频率 相位相位谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法谐振动的能量谐振动的能量谐振动的合成谐振动的合成阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振作业作业 :习习 题题 99，911 ，917 。讲课学时讲课学时 3学时学时1. 理解理解谐振动的相位谐振动的相位概念概念、谐振动的能谐振动的能 量以及谐振动的合成量以及谐振动的合成；3. 了解了解阻尼振动阻尼振动、受迫振动受迫振动、共振共振。2. 掌握掌握谐振动的旋转矢量法谐振动的旋转矢量法;一一 简谐振动简谐振动振动振动 ： 物体在

2、某一位置附近的往返运动物体在某一位置附近的往返运动 称为称为 。 什么样的振动是什么样的振动是 ( simple harmonic vibration ) 9 - -1 谐振动的特征和谐振动方程谐振动的特征和谐振动方程物体受力物体受力 F = k x 物体受到的力物体受到的力与位移的一次方成与位移的一次方成正比且反向正比且反向，具有具有这种特征的振动称这种特征的振动称为为简谐振动简谐振动，简称简称谐振动谐振动 二二 谐振动的运动方程谐振动的运动方程22ddtxm令令0dd222xtxF = k xF = mamF22ddtxa mkxmk2 =动力学方程动力学方程22ddtxx2 9 - -1

3、 谐振动的特征和谐振动方程谐振动的特征和谐振动方程 方程的解为方程的解为)(etiAx欧拉公式欧拉公式 cos + i sin= ei)cos(tA)sin(tiA在经典物理学中用实数表示物理量在经典物理学中用实数表示物理量)cos(tAx运动方程运动方程 9 - -1 谐振动的特征和谐振动方程谐振动的特征和谐振动方程0dd222xtx)cos(tAx速度速度txddv)2cos(tA22ddtxa )cos(2tA )sin(tA)cos(2tA加速度加速度 9 - -1 谐振动的特征和谐振动方程谐振动的特征和谐振动方程讨论：1. 位移和加速度位移和加速度 反反 向向，当当 x = 0 时时

4、， a = 0 ； x 最大最大， a 最大最大2. 速度速度 落后落后 位移位移 2 ，当当 x = 0 时时，v 最大最大 ；x 为最大时为最大时，v = 03. v 为为零零时时，a 最大最大；v 最大最大时时，a 为为零零位移、速度、加位移、速度、加速度的速度的时间曲线时间曲线)cos(tAx 中各量的物理意义中各量的物理意义：振幅振幅 ( amplitude ) A 意义意义：因因cos 1 ，故x A ， 振幅振幅 A 就是振动物体离开平衡位置最大位移的数值就是振动物体离开平衡位置最大位移的数值周期周期 ( period ) T 振幅振幅 A 的大小反映了振动的强弱的大小反映了振动

5、的强弱振动物体完成一个完全振动振动物体完成一个完全振动 ( 来回一次来回一次 ) 所需所需的时间的时间，称为振动的称为振动的周期周期。 9 - - 2 谐振动的振幅谐振动的振幅 周期周期 频率频率 相位相位)cos(tA)(cosTtATtAcos)tsin(A)(sinTtATAtsinT = 2T = 2 频率频率 ( frequency ) f 在单位时间内物体作全振动的次数在单位时间内物体作全振动的次数，称为振动称为振动物体的物体的频率频率。周期周期单位：单位： 次秒次秒 ，用赫芝用赫芝 ( Hz ) 表示表示f = 1T = 2 = 2 f ( circular frequency

6、) 弹簧振子弹簧振子 2 = km2Tkm22fmk21圆频率圆频率角频率角频率 ( angular frequency )固有周期固有周期固有频率固有频率 ( natural period ) ( natural frequency ) 相位相位 ( phase )(t称为相位称为相位 ( 振动物体在时刻振动物体在时刻 t 的相位的相位 ) 决定物体在开始计时时刻的运动状态决定物体在开始计时时刻的运动状态决定某一时刻振动物体的运动状态决定某一时刻振动物体的运动状态相位是决定某一时刻振动物体运动状态的物理量相位是决定某一时刻振动物体运动状态的物理量初相位初相位初始条件初始条件(initial

7、condition) :t = 0，x = x0，v = v0 x0 = A cosv0 = Asin( initial phase )222202220sincosAAxv2220sin)(Av2020)(vxA00tanxv2020)(vxA 振幅和初相位确实振幅和初相位确实 由初始条件确定由初始条件确定)arctan(00 xv 例 1 一劲度系数为一劲度系数为 k 的弹簧的弹簧，下端固定在下端固定在地面上地面上，上端压一个质量为上端压一个质量为 m 的重物的重物，重物使重物使弹簧缩短弹簧缩短 b = 9.8 cm 。如果给物体一如果给物体一向下向下的瞬的瞬时冲击力时冲击力，使它以使它以

8、 1 m s -1 的的向下速度启动向下速度启动，并上下振动起来并上下振动起来。试分析物体的试分析物体的运动规律运动规律，并求并求振动的振动的频率频率和和振幅振幅。 解： 以弹簧原以弹簧原长为坐标原点长为坐标原点，向下向下为为 y 轴正方向轴正方向22ddtymkymg m g = k b kykbtym22dd 令令 y= y b y = y + btytydddd2222ddddtyty= k ( y b)kytym22dd 可见可见，物体作物体作谐振动谐振动 振动系统除受弹性力之外振动系统除受弹性力之外，还受有象重力还受有象重力 这样的恒力作用时这样的恒力作用时，并不改变系统的振动并不改

9、变系统的振动 情况情况，只会改变振动的平衡位置只会改变振动的平衡位置。mk2fymkty22ddbmmg1 -2srad10108989.bgHz591143210.2020)()(vyAm )101(02= 0.1 m2020)(vxA振幅矢量表示法振幅矢量表示法振幅矢量的端点在振幅矢量的端点在 x 轴上的投影点轴上的投影点 P来回运动来回运动经过经过 t 后后，A 与与x 轴的夹角变为轴的夹角变为t振幅矢量振幅矢量 A 在在 x 轴上的投影轴上的投影)cos(tAxOPxxAt0ttt 9 - - 3 谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法 A 转动的角速度为转动的角速度为，转一圈所

10、扫过的转一圈所扫过的角度为角度为 2，所用时间为所用时间为 2 夹角夹角)(t反映出振动物体瞬时运动反映出振动物体瞬时运动的状态的状态，它就是它就是相位相位2T初相位初相位 例 2 物体沿物体沿 x 轴作简谐振动轴作简谐振动，振幅为振幅为12 cm，周期为周期为 2 s，在在 x = 6 cm处处，且且向向 x 轴负方向轴负方向 运动运动，求物体的运动方程和求物体的运动方程和从这一位置回到平衡位置所需的最短时间从这一位置回到平衡位置所需的最短时间。解：)cos(tAxA = 1210-2 m = 2T = 22 =s-1t = 0 时时 ， x0 = 6 cm ， v0 0 ，cos10121

11、062-2,21cossin0Av32或或34运动方程形式运动方程形式v0 0 ，, 0sin32运动方程运动方程为为)m32cos(10122tx回到平衡位置所需最短时间回到平衡位置所需最短时间，令令 x = 0 就可求得就可求得用振幅矢量求更方便用振幅矢量求更方便 !回到平衡位置所需最回到平衡位置所需最短时间为短时间为 56 秒秒故故应取应取6532xOs6565t2) 12()32(kt系统振动时系统振动时，振动能量包括动能和势能振动能量包括动能和势能动能动能2k21vmE 势能势能2p21kxE振动能量振动能量E)(cos2122tkA)(sin21222tmA)(cos2122tkA

12、)(sin21222tmA 9 - - 4 谐振动的谐振动的能量能量mk2221kAmk22221mA2mk 在运动过程中机械能是守恒的在运动过程中机械能是守恒的， 动能和势能互相转化动能和势能互相转化 x = 0 ，vmax ， Ekmax ， Ep = 0 ；x= A ，v = 0 ， Ek = 0 ， Epmax ； 其它位置两者都有其它位置两者都有平均动能平均动能kETttmA0222)d(sin21T1222121mAE21平均势能平均势能pETttkA022)d(cos21T122121kA 平均动能与平均势能相等平均动能与平均势能相等，均为总能量的一半均为总能量的一半E21222

13、1mATttT02)d(sin121一一 同方向同频率简谐振动的合成x1 = A1cos (t +)1x2 = A2cos (t +)2用振幅矢量法来求合成用振幅矢量法来求合成 设设x = x1 + x29 - - 5 谐振动的谐振动的合成合成xOA11A22A12x2x1x2xA1 和和 A2 间的夹角间的夹角)cos(tAxx = x1 + x2)(cos2122122212AAAAA)cos(212212221AAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAA)cos(tAx)cos(212212221AAAAA讨论：)cos(212212

14、221AAAAA1. 相位差相位差 ，210212kk2122212AAAAA2. 相位差相位差 ，）（2101212kk2122212AAAAA=A1 A2合振动振幅取值为合振动振幅取值为 A( A1+ A2 ) A1 A221AA 二二 同方向不同频率简谐振动的合成 拍 )cos(1111tAx)cos(2222tAxx = x1 + x2 )cos(111tA假定分振动的振幅和初相位都相等假定分振动的振幅和初相位都相等 ，分别为分别为 A,上式为上式为coscos1tAx和和sinsin1tAcoscos2tAsinsin2tA)cos(222tA 9 - - 5 谐振动的谐振动的合成合

15、成ttA2cos2cos21212合振动不再是简谐振动合振动不再是简谐振动。振幅为振幅为,2cos212tA是周期性变化的是周期性变化的讨论：1 和和 2 都较大都较大 ，但相差甚微但相差甚微 2 1 2 + 1 ，tA2cos212随时间的变化比随时间的变化比t2cos12随时间的变化来要随时间的变化来要慢得多慢得多 。 可把合振动看作是振幅为可把合振动看作是振幅为,2cos212tA圆频率为圆频率为212的谐振的谐振。振幅缓慢周期性变化振幅缓慢周期性变化，发生振幅发生振幅时大时小时大时小，即振幅时强时弱的现象即振幅时强时弱的现象，把这把这种现象叫作种现象叫作 “ 拍拍 ” 。拍振幅的周期拍

16、振幅的周期122T拍频拍频12122fff拍频为两分振动频率之差拍频为两分振动频率之差拍的图示拍的图示三三 垂直方向同频率简谐振动的合成振动位移方程振动位移方程)cos(11tAx)cos(22tAy合振动的轨迹方程合振动的轨迹方程212Ax1. 012222Ay)cos(21221AAxy)(sin122椭圆方程椭圆方程 9 - - 5 谐振动的谐振动的合成合成212AxxAAy12 t 时刻时刻，质点离开质点离开平衡位置的位移平衡位置的位移22yxs222Ay212AAxy0)(cos)(cos222221tAtAxyOsxy2221AA 振幅振幅 结论结论 : 合振动仍是简谐振动，频率与

17、分振动合振动仍是简谐振动，频率与分振动 的频率相同的频率相同2221AA )cos(t2.12212Ax222Ay212AAxy0 xAAy12 合振动仍是同频合振动仍是同频 率的简谐振动率的简谐振动3.212212Ax222Ay1xyO 质点运动的轨迹是一个正椭圆质点运动的轨迹是一个正椭圆, 振动点是振动点是 顺时针方向运动的顺时针方向运动的4.2312212Ax 轨迹不变，其运动方向为逆时针方向轨迹不变，其运动方向为逆时针方向若若 A1 = A2 两个频率相同的互相垂直的简谐振动合两个频率相同的互相垂直的简谐振动合 成后合振动在一直线、椭圆或圆上进行成后合振动在一直线、椭圆或圆上进行222

18、Ay1 x2 + y2 = A12李萨茹图形李萨茹图形（ Lissajous，figures ）频率的比与切点数的比成反比频率的比与切点数的比成反比xyyxNNffl傅里叶分解傅里叶分解(Fourier analysis) 任何一个周期任何一个周期 性的振动性的振动, , 都都 可以分解成频可以分解成频 率等于基频整率等于基频整 数倍的一些列数倍的一些列 谐振动的和，谐振动的和， 这就是傅里叶这就是傅里叶 分解分解矩形周期振动矩形周期振动的傅里叶分解的傅里叶分解一一 阻尼振动振幅随时间而减小的振动称为振幅随时间而减小的振动称为 阻尼振动阻尼振动。阻尼振动也就是能量不断减少的振动阻尼振动也就是能

19、量不断减少的振动。阻力阻力 F 与速度与速度 v 成正比成正比，方向与速度的方向相反方向与速度的方向相反 F = Cv运动方程为运动方程为txCdd( damped vibration ) 9 - - 6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振令,20mkmC20dd2dd2022xtxtx由系统本身由系统本身性质决定性质决定与系统本身的性质以及与系统本身的性质以及介质的性质都有关系介质的性质都有关系 0dddd22txmCxmktxtxCkxdd22ddtxm固有频率固有频率阻尼因数阻尼因数x = Ae -tcos (t +)220周期周期2T2202当阻尼系数较小当阻尼系数较小，即即

20、2 02 时时受迫振动受迫振动： 在外来周期性力的持续作用下在外来周期性力的持续作用下, 振动系统所发生的振动称为受迫振动系统所发生的振动称为受迫 振动振动。周期性的力称为强迫力周期性的力称为强迫力。强迫力强迫力tFtxCkxtxmp22cosdddd令令mFfmCmk ,2 ,20二二 受迫振动 ( forced vibration )共振共振 ( resonance )F cospt 9 - - 6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振根据微分方程理论根据微分方程理论，解为解为)cos()cos(ep0tAtAxt 振动系统在强迫力作用下振动系统在强迫力作用下，经过一段时间后经过一段时间后 即达到稳定的振动状态即达到稳定的振动状态。tfxtxtxp2022cosdd2dd阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动)cos(ptAx当强迫力的圆频率当强迫力的圆频率 p 接近振动系统的固有接近振动系统