定角夹定高学生版

1、定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值（定人高），/BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯一乐模型。/卜、我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，/BAC是一个定角，'/过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。/0南BDc从动态图中（定角定高动态图.gsp）定角定高动态图乎鼠们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。

2、我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA,OB,0C,过0点作OHLBC于H点.（如图1）显然OA+OHAD,当且仅当A,O,D三点共线时取“="。由于/BAC的大小是一个定值，而且它是圆。的圆周角，因此它所对的圆心角/AOB的度数，也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和。的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD,就可以求得圆O半径的最小值。简证：OA+OHADO

3、EDH为矩形，OH=ED,在RtAOE中，AO>AE,.AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD【总结】:1 .定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。2 .定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解直角三角形。3 .定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积例1（旋转全等构造）：（2017曲江区模拟&巧学数学）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4,AD/BC,/B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且/EAF

4、=60°,则AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。E例2:(巧学数学)已知等边ABC,点P是其内部一个动点，且AP=10,M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.【解题步骤】：1 .作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长;2 .根据“半径+弦心距之定高”求r的取值范围；3 .用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【简单探照灯】1 .如图，在ABC中，ZACB=60°,CD为AB边上的高，若CD=4,试判断ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求

5、出面积最小值；若不存在，请说明理由2 .(高新一中6模)问题提出：(1)如图，已知/AOB=45°，点P在/AOB内部，且OP=10,若点M、N分别在射线OA、OB上运动,则PMN周长的最小值为(2)如图，在ABC中，AB=AC,AD±BC,ZBAC=45°,AD=2痘.请计算BC的长。（3）某市成功跻身国家中心城市的行列，该市拟在如图所示的区域，建造城市最大的文化生态公园。已知在四边形ABCD中，/ABC=60°,公园的设计师想在园中距离点B为100米的点P处修一休息室，同时在AB上选点M,在边BC上选点N,分别连接P、M、N,使PMN在周长最短的情况

6、下，景观绿化区四BMPN面积的最大值，若不能,边形BMPN的面积最大。设计师的想法能实现吗？如果能，请求出四边形说明理由。3 .如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别在BC、CD上，且/EAF=45°,则线段EF的最小值为;CEF面积的最大值为;四边形AECF面积的最大值为.（可将“/EAF=45°”更改为“/DAE=/FEA”同题5）4 .如图，四边形ABCD中，AD/BC,ZD=90°,BC=CD=4,E为CD边上任意一点，连接AE、BE,若ZEAB=ZCBA,ABE的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。（也可半角模型旋转全等

7、）C5 .（难）如图，等边4ABC边长是1,O是外心，过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将4BDE沿直线DE折叠，得到八BDE,若BE交AC于点F.试求EF的最小值，ACEF面积的最大值6 .（旋转全等转化）在四边形ABCD中，AB=AD,/BAD=60°,/ADC=150°,过点D作DHXBC,垂足为H,若DH=2,求AC的最小值.BH【定角定高求周长最小】1.(探照灯问题由来)问题探究：(1)如图1,已知等边ABC,边长为4,则的外接圆的半径长为.(2)如图2,已知在矩形ABCD中，AB=4,对角线BD与边BC的夹角为30°,点E在为边BC上且B

8、E=1BC,4点P是对角线BD上的一个动点，连接PE、PC,求PEC周长的最小值.问题解决：(3)为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60。，如图3,若将两根管线(AB、AC)和光线与城墙的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为ABC,那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.图12.在ABC中，/BAC=60°,高AD=30，求周长的最小值。3.在ABC中，/BAC=90°,高AD=u5,求ABC周长的最小值A【旋转全等构造探照灯】1 .正4ABC边长为2+赤，

9、PBXAB,PCXAC,M,N分别在PB、PC上,ZMAN=30°,则S,amn最小时，MN=U在四边形ABCD中，ZBAD=452 .如图，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。ZB=ZD=90°,CB=CD=672点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CEXCF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。3 .如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3,ZBAD=120°,/B=ZD=90°,且/EAF=60°,点E、F分别在BC、CD上，则AEF面积的最小值是多少？4 .如

10、图，四边形ABCD中，AB=AD=4夜，ZB=45°,/D=135°,点E,F分别是射线CB、CD上的动点,并且/EAF=ZC=60°,求AEF的面积的最小值F5 .（初中数学优质资源中心20190619）如图，有一块四边形ABCD板材，AD=4073cm,ZC=60°,AD/BC,AB±BC,工人师傅想从四边形ABCD的板材中截出一个四边形FMCN部件，且满足F在AB上，BF=80cm,AF=40cm,点M在CD上，点N在BC,/MFN=90°,这个四边形FMCN部件的面积是否存在最大值？若存在，求出面积最大值；若不存在，请说明理由

11、。6 .如图，O是正方形ABCD的中心，OEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形,S,求S的取值范围。OE=AB=4,OEF绕点O旋转，设它与正方形ABCD的重叠部分的面积为7 .如图，四边形ABCD边长为6的菱形，其中，A60,E、F分别在射线AB、BC上，/EDF=90°,求EDF面积的最小值.ABF8 .（2019?碑林区校级模拟）（1）如图1,已知ABC是边长为4的等边三角形，点D为AB的中点，E,F分别为边AC,BC上的动点，连接EF,DE,DF,请直接写出ABC的面积；若/EDF=120°，请求出CEF周长的最小值；（2）如图2,已知四边形ABCD中，AD=J3,

12、AB=2,BC=4,ZB=60°,/D=90°,E为BC边上一个动点，点F在直线CD上，且满足EAXAF,连接EF.试探究AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由.【旋转位似构造探照灯】1 .（陕西初中数学学堂一一定角三角形研究二）如图，正ABC边长为3,D、E、F分别在边BC、AB、AC上，BD=2CD,ZEDF=60°,求：DEF面积的最小值2 .（陕西初中数学学堂一一定角三角形研究二）（旋转全等）ABC,/A=120°,AB=AC=1,D是BC中点，/EDF=120°,求：DEF面积的最小值3 .（陕西初中

13、数学学堂一一定角三角形研究二）在4ABC中，/A=120°,AB=AC,D是BC上一点，CD=k?BD,ZEDF=120°，求：DEF面积的最小值4 .（陕西初中数学学堂一一定角三角形研究二）在4ABC中，A,AB=AC,D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，CDkBD,EDF（1800）,求ADEF面积的最小值.（化简需用到高中诱导公式）5 .如图，四边形ABCD中，ZA=135°,/B=60°,/D=120°,AD=5,AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点，/EAF=45°,求4AEF面积的最小值.6 .如图，四边形A

14、BCD中，/B=ZD=60°,/C=90°,AD=2AB=2,M、N分别在直线BC、CD边上，/MAN=60°,求4AMN面积最小值.MC7 .如图，ZMEN=90°,其顶点E为正方形ABCD边BC的中点，正方形的边长为4,将/MEN绕点E旋转,边EM与正方形的边交于点F,边EN与正方形的边交于点G,求EFG面积的取值范围.（/MEN为其他角度。）【8字相似构造探照灯】1 .已知矩形ABCD,AB=10,AD=18,BE:EA=2:3,F、G分别是BC、AD上的动点，满足/FEG=60°,求EFG面积的最小值。2 .（平几大典）/BAM=ZAB

15、N=90°,/MPN=60°,AP=2PB=2,求Spmn的最小值【变式】定周长；定角；定旁切圆。知二推一，求面积最大值1 .（定周长+定角定旁切圆）如图，已知ABC的周长为6,/A=120°,求ABC面积的最大值2 .（定周长+定角定旁切圆）【发现问题】如图1,已知ABC,试确定一点P,使其到ABC三边距离相等。【问题探究】如图2,已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在DC、CB上，且/EAF=45°,G为FC的中点，求四边形AEGF的面积.【问题解决】河北公园要围一个三角形花圃。如图3,结合各项实际因素，将这个三角形花圃（ABC）的一个内角（/A）设计为120。，并使其面积最大。现用于围花圃的栅栏有20m,则这个计划是否可行？若可行，求出边BC的长度（结果保留根号）；若不可行，请说明理由。图3ACIE3 .（定旁切圆+定周长定周长）如图，在ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,点D、点E分别在边AC、BC上，且DE恒过ABC的内心I.点C关于DE的对称点为点C',DC'、EC'分别交AB于点F、点G,则FC'GC'的最大值是【定角夹定角分线】1 .(2019定角夹定角分线)如图，在同一平面内的ABC与CDE均为等边三角形