基本不等式复习

1、基本不等式知识点梳理一、几个重要的均值不等式JI-1人.©a2+b2>2ab<=>ab<-(a、b£R),当且仅当a=b时，号成立;a+b>2Vab<>ab<（a、bcR*）,当且仅当a=b时，"金，弓成立;若x>0,则x+N2（当且仅当x=l时取“二”）；X若x<0,则x+L«-2（当且仅当x=-l时取“二”）X若X#0,则X4-1>2X若ab>0,则色+匕22（当且仅当a=b时取“二”）ba若abxO,则（当且仅当a=b时取二”）ba注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正，

2、二”定）三“等”:熟悉一个重要的不等式链：yY<>/b<-+-ab二、函数f(x)=ax+?(a、b>0)图象及性质X函数f(x)=ax+2(ab>0)图象如图：x(2)函数f(x)=ax+P(a>b>0)性质：x值域：(-s,-2U2>/ab,-Ho):单调递增区间：（-CO-J-单调递减区间：（O考题剖析题型一:利用不等式求最值（凑项）4已知x>2,求函数y=2x4+的最小值:2x-4变式1：已知x>2,求函数y=2x+-的最小值;2x-4变式2：已知x<2,求函数y=2x+-的最大值;2x-4?的最大值;题型二：利用不等式

3、求最值（凑系数）求函数y=J2x-1+求-2x（；<x<（提示；中方，利用基本不等式）变式：求函数y=j4x-3+Jll-4xg<x<”）的最大值:题型三：巧用“1”的代换求最值问题己知a,b>0,a+2b=1,求1=+的最小值:ab变式1：已知a,b>0,a+2b=2,求1=+的最小值:ab28变式2：已如羽y>0,+=1,求xy的最小值:xy变式3：己知x,y>0,且一+巳=9,求x+y的最小值。xy变式5：若a,b,x,yeR+且2+9=1，求x+y的最小值;xy变式6：已知正项等比数列aj满足：a?=a6+2a5,若存在两项am通使得/久

4、=44，求的最小值;题型四：分禹换元法求最值1、求函数y=x-+7x+io（xf_i）的值域:X+1变式：求函数y=±（xl）的值域:X-1Jx+22、求函数y=l_的最大值：（提示：换无法）2X+5变式：求函数y=在亘的最大值:4x+9题型五：基本不等式的综合应用1、已知log2a+log?bN1,求30+9b的最小值2、（2009天津）已知a,b>0,求+1+2而的最小值:ab变式1：（2010四川）如果ab>0,求关于a,b的表达式a2+J-+-的最小值:aba（a-b）变式2：（2012湖北）已知，当a>0,awl时，函数丫=1。&（乂-1）+1的图

5、像恒过定点A.若点A在直线mx-y+n=0±,求41tt+2'的最小值；3、己知x,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y最小值:变式1：已知a,b>0,满足ab=a+b+3,求ab范围:变式2：（2010山东）已知x,y>0,一+一=9，求xy最大值：（提示：通分或三角换元）2+x2+y3变式3：（2011浙江）已知x,y>0,x2+y2+xy=l,求xy最大值:4、（2013年山东（理）设正实数x,y,z满足犬-3对+4yLz=0,则当至取得最大值时，4+工一白的最大值为zxyz9A.OB.IC.-D.34（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数

6、求最值）XZ变式：设x,y,z是正数，满足x-2y+3z=0,求上的最小值;题型六：利用父本不等式求参数范围1a1、（2012沈阳）已知y>0,且（x+y）（+）29恒成立，求正实数a的最小值:xy2、己知x>y>z>0且一+一一之二一恒成立，如果nwN+,求n的最大值：（参考：4）x-yy-zx-z（提示：分离参数，换元法）14变式：已知a,b>0满则一+=2,若a+bNc恒成立，求c的取值范围:ab课后强化1、求函数y=的值域。VX2+42、若实数满足a+b=2,则3'+3b的最小值是.3、已知x,y为正实数，且一+-=1,求4+y'的最大值.

7、4、已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=2的最小值.5、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数火=正+弧的最值.96、已知x>0,y>0且一+=1,求使不等式x+yNm恒成立的实数m的取值范围。xy7、a>b>1,P=Vlgalgb,Q=i(1ga+Igb),R=Ig(),则P,Q,R的大小关系是.228、求卜列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.x-+3x+l/八、.1(1)y=,(x>0)(2)y=2x+xx-3,x>3(3)y=2sinx+,xe(0,7t)siiix9 .己知O<X<1,求函数y=Jx(lx)的最

8、大值.；10 .0<x<-,求函数y=Jx(2-3x)的最大值.3111、若x+lo菖4y=2,求X1的最小值.并求的值y12、若a,x,yeR+,且正+百Wajx+y恒成立,(A)272(02则a的最小值是(D)l13、设a,buR+,则下列不等式中不成立的是()(A)(a+b)(+)>4(B)a>2yababJab(C)Vab+=>2Vab14、设a,bwR+且2a+b=l,S=2相一4/一1)2的最大值是()(A)VI-1(B)也匚(C)Vl+1(D)交里2215、若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.16、若x,ycR”,且2x+y=l,则

9、巳+工的最小值为.xy17、若0vavLOvbvL且a工b,则a+l2jE,a2+b22ab中最大的是.详细解析1、解:令&+4=t(t22),则y-f+5=：=t+-(t>2)77+4Vx2+4t因t>O,t-；=l,但t=；解得t=±l不在区间2,+S),故等号不成立，考虑单调性。因为y=t+1在区间L+S)单调递增，所以在其子区间2,9)为单调递增函数，故yN2。t2所以，所求函数的值域为I上,+81。2、分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3*+3bN2jF于=2，产=6当3a=3。

10、时等号成立，由a+b=2及3&=3、得a=b=1即当a=b=1时，3'+3b的最小值是6.3、分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式o同时还应化简/l+y'中/前面的系数为：，xy/1+v2=乂212y=/x+卜面将x,J+巧分别看成两个因式：x+即即丁=币4三币4、分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，时本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。730-2b

11、法一=与不丁3O-2bab=TTF令t=b+l,ab=-2t2+34t-31=-2(t+竿)+34Vt+y16=8:.ab<18y2白当且仅当t=4,即b=3,a=6时，等号成立。lo法二：由已知得：30-ab=a+2bVa+2b22心ab令11=4则u2啦U-30W0,-5镜WuW3也：yabW3yli,abW18,/30ab22y12ab5、解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+b-a.+b.w,本题很简单0+的木7（弧）'+（匹）”=yf2,3x+2y=2乖解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0>W=3x2y2yf3=10+2，.«10+(低)2(2?)'=10+(3x+2y)=:.归而=2小206、解：令x+y=k,x>0,y>0,L2=i,.3+