解析几何中的探究型存在性问题28教案29

1、解析几何中的存在性问题【教学目的】1.掌握解决探究型存在性问题的几种方法；2.提高逻辑推理能力与运算求解能力，培养解决解析几何问题的自信;3.体会从特殊到一般的数学思想方法.【教学重难点】1 .重点：解决探究型存在性问题的几种方法.2 .难点：代数运算求解.【教学过程】一、方法回顾与归纳回顾学生曾经做过的探究型存在性问题，归纳解题方法.问题1已知点A(1,0),B(1,0)，直线I：y=x2上是否存在点P,使得PA+|PB=4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.分析满足PA+PB=4的点P的轨迹是以点A(1,0),B(1,0)为焦点，长轴长为4的22椭圆直线Hy=x-2过椭圆的右顶

2、点(2,0)，与椭圆相交.解方程组y=x-2,22£上二143得P(2,0)或P(|,号).由此，我们可以归纳出解决存在性问题的第一种方法构造轨迹求交点：在探究点的存在性时，可以从该点满足的部分条件入手，构造该点所在的轨迹曲线，再研究这些曲线的交占八、2问题2已知双曲线x2y-=1的左顶点为A，右焦点为F,B是双曲线在第一象限内的任3就是倾斜角正切值，只需验证tan/BFA=tan2/BAF即可(须注意tan/BFA=kBF).解当BF垂直于x轴时，B(2,3).此时，/BFA=90°/BAF=45°/BFA=2/BAF.当22y°BF不垂直于x轴时，设

3、B(xo,yo)，因为点B在双曲线上，所以X)-=1.因为3所以tan/BFA=kBF=y-xo2，tan/BAF=kBA=1tan2._BAF二2tan/BAF21-tan_BAF2y-x-1y-S+1y-X-2二tan._BFA.综上，存在n=2,使得/BFA=n/BAF恒成立.由此，我们可以归纳出解决存在性问题的第二种方法一一先猜后证：从特殊情况入手,从图形的对称性入手，先猜出结果，再证明.对于存在性问题，更一般的做法是假设检验(反证)法：先假设对象存在，假设结论的某一方面成立，在此假设条件下，进行合理的演绎推理和计算.若得出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，并验证其他条件准确无误，即

4、可肯定假设.但是这种做法一般运算量会稍微大一点，所以建议学生如果能先猜后证的话，尽量采用先猜后证法.、典型例题2例1(2008广东文理18)设A、B分别是椭圆寸=1长轴的左、右端点，试探究在抛2物线x2二8(y-1)上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).分析若A为直角顶点，有一个；若B为直角顶点，也有一个；若P为直角顶点，考虑特以AB为直径的圆，因为抛物线的顶点在圆的内部，所以抛物线与圆有2个交点.综上，总共有4个点符合题目要求.例2x轴上是否存在异于点P(2,0)定点M，使得以椭圆E:x2+3y2=4的任意一条过点M的

5、弦AB为直径的圆都过点P?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析考虑特殊情况：当弦AB垂直于x轴时，与x轴的交点为(1,0).只需要验证(1,0)是否符合题目要求.解法一(先猜后证法)当且仅当PA丄PB时，AB为直径的圆点P.当弦AB垂直于x轴时，由椭圆的对称性可知kPA=1,直线PA的方程为y=x2.与椭圆方程联立，消去y,解得x=1以下只需要验证M(1,0)是否符合题目要求即可.设Ag,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为x=ky+1与椭圆方程联立，消去x，整理得2k3(k2+3)y2+2ky3=0.根据韦达定理，有y1+y2=k丁3，y1y2=k"匚3.因为T

6、T卩人=(凶-2,%),PB=(X2-2,y2),所以TTPAPB-2)(X2-2)yy=(k%-1)(ky2T)yy=(k21)y1y2-k(y1y2)1223(kJ.卫_k23k23=0.因此，存在符合条件的点M，其坐标为M(1,0).解法二(假设验证法)假设存在这样的点M.设M(m,0)(mz2)A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为x=ky+m.与椭圆方程联立，消去x，整理得(k2+3)y2+2kmy+m24=0.根2/有y1+y2=-3，y2=学亠3因为k十3k十3据韦达定理，PA=(x-2,yi),PB=(x2-2,y2),所以PAPB二(X1-2)(X2-2)妙2=

7、(k%m-2)(ky?m-2)22=(k-1)y°2k(m-2)(力y?)(m-2)(m2-4)(k21)2k2m(m-2)2+(m_2)k234(m-1)(m-2)k23k23当m=1时,PA=0恒成立因此，存在符合条件的点M，其坐标为M(1,0).解法三当且仅当PA丄PB时，AB为直径的圆点P.设A(Xi,yi),B(X2,Y2)，直线PA的1方程为x=ty+2,则直线PB的方程为x=y+2.不妨设t>0.联立直线FA的方程与椭圆的4t6o-2方程，消去x,整理得(t23)y24ty=0,解得y1=2十3,X1=ty12=2十3.同理可得y2t十3t十3t6t?23-277，X1=3-27.当t=1时，A(1,1),B(1,1),此时直线AB的方程为x=1,过x轴3t31上的点(1,0).当tMl时，直线右(x-涪)，整理得AB的斜率为k=y2x1=2,故直线AB的方程为y+；2X2x13(tl)t十34ty=2(x1).所以，直线AB恒过定点M(1,0).3(t1丿因此，存在符合条件的点M，其坐标为M(1,0).三、小结事实上，存在性问题