解题思路的探索与解题过程的改进一例中学数学杂志1999年第6期

1、解题思路的探索与解题过程的改进一例兀C题目：给定函数f(x)二3sin(2x)1是方程f(x)=O的两个不3等实根，且，：(0/)，求tanC1)的值i、解题思路的探索分析1:/是方程f(x)二0的根，如果能够求出:-/-的值，那么二-及tan(-：、)均可求出。解法i方程f(x)=0可整理为sin(2x3)1.由于/(0,二)，所3jiji+乏(一2兀3(3,2ji目，所以312:一二3arcsin23JI一=2二31.arcsin,(取：:：1)，所以31 arcsin321arcsin27兀所以：6，所以tan£。tan：tan:分析2由于tanC1)，若能求出tan，tan1

2、或1-tan。tanPtantan：、tantan：，则能求出tan)。那么就必须把f(x)=0转化为tanx的方程，而万能公式可以办到。2解法2方程f(x)=0可化为、3cos2xsin2x0cosx二031-tan2x不满足方程，所以cosx=0.由于cos2x-,1+tanx.2tanxsin2x，代入方程整理得1+tanx(2-33)tan2x6tanx332=0(*)由于:-是方程f（x）=O在（0严）上的两个根，所以tana,tan0是关于n-6tanx的一元二次方程（*）的两根，从而tantan：2 -3J33 J3+2tan：*tan.所以tan（:2-3丁32、解题过程的改进

3、对解法1的过程如下两点思考:思考(1)是否一定要解方程(2)中的arcsin1在：3-中相消是否为一种巧合？于问题的本质是否有关?分析.1arcsin既然在3中消去，说明它是非本质的。事实上要求的是整体二b的正切值，也就可以考虑直接求-：，；'，而不必解方程.。如何从两个孤立的量解法3Jisin(2)cos(:亠亠呢，于是从方程组f(:)因:/是f（x）=0的两根,-sin(2：=0即:ji严）=0，=0,fO=0入手。f（：）=f（,0，整理得:/-(0,二)且=知0，所以sin（-）=0，故有cos(:3RV3tan()=2。H1)=0即cos()-3235sin（：）=0所以思考

4、二对解法2是否一定要将f（X）二0转化为关于tanx的方程呢?分析由于解法2是运用万能公式转化为tanx的方程，事实上f（x）二0也可转化为关于怡呛6)的方程，从而得到一种解法。解法4方程即sin(2x§)兰-1:-，运用万能公式整理得关于tan(x)的362TL兀方程：tan(x)6tan(x)66=0(*)由于是方程f(x)=0在(0,兀)上的两个不等实根，所以tan©tan(：)是关于tan(x)的方程(*)的二不等实根，由韦达定理知66tan(：JIc兀兀C兀)+tan()=6且tan()tan()=1，所以666671tan(：ji6)°，tan(：JI

5、訐0ji且tan(訐CW(0,二)，所以31+6JI(,：)，从而23ji27.3兀所以tan徑+P)=。6331P+-63、解题过程的再改进纵观解法1至解法4都是从方程根的数量特征进行分析探索而产生的，那么方程的根在其几何形式上有什么样的解释呢？，所以事实上由于方程的根的几何意义，又有下面的解决方法。JI分析1sin(2x)二1的根3实质上是函数y=sin(2x)的图像匕1与y的交点的横坐标，因此从图像3上观察可以得到一种直观解法。3JT解法5作函数y=sin(2x)1在(0,二)上的图像，于是它们有两1_17个不同的交点A、B，依题可知AC,-),B(-)。显然这两点关于直线x-3312对

6、称，从而:-=-，如图1,所以tan(二匸)6分析2本题既然是考察三角函数值，而三角函数值又可以用单位圆中的有向线段表示，所以可以考虑用单位圆解决。解法6方程f(X)二0即为JIf(x)=0在(0,二)上的两个不等实根，所以232是sint二31-3的在(3,23)内的两个不等的实根，如图2OA,OB分313的终边，显然OA，OB关于y轴负半轴对称，所以-372：3+2：丁2h即：=6二，所以tan(»71JT分析3f(x)=0既然可以整理成关于sin2x,cos2x的方程3cos2xsin2x2=o，若用新变量s,t替换sin2x,cos2x则方程为3st2=0,它3表示直角坐标平面sot内的一条直22线，而st二1则表示单位圆，于是可以用直线与圆的位置关系来解。解法7f(x)=O可整理成3cos2x+sin2x+s=co2s,t=si2n，则3st-=0，且s2t2=1。3于是直线3s13222-,2的终边,如图3。过AB中点D作AB的垂线交单位圆于M,N。那么0M是2：2的终边，而此时