第三章_存储论

1、第三章 储存论 3.1 存贮问题及其基本概念 3.2 确定型存贮模型 3.3 单周期的随机型存贮模型 3.4 其它的随机型存贮模型3.1 存贮问题及其基本概念？ 存贮系统存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的现实运行系统。环节紧密构成的现实运行系统。 需求需求: 由于需求，从存贮中取出一由于需求，从存贮中取出一定的数量，使存贮量减少，这是定的数量，使存贮量减少，这是存贮的输出。存贮的输出。 需求类型：需求类型：间断的间断的, 连续的连续的; 确定性的确定性的, 随机性的随机性的 QTWS间断需求间断需求QTWS间断需求间断需求QTWS连续需求连续需求

2、补充补充( (订货和生产订货和生产) )：由需求存货减少，由需求存货减少， 必须加以补充，这是存贮的输入。必须加以补充，这是存贮的输入。 拖后时间拖后时间( (订货时间订货时间):): 补充存贮的时间补充存贮的时间 或备货时间或备货时间 订货时间：订货时间：可长，可短，可长，可短， 确定性的确定性的, 随机性的随机性的 存储费：存储费： C1 订货费订货费: 订购费用订购费用(固定费用固定费用) C3 , 进货成本进货成本(可变费用可变费用) KQ. (k(k为货物单价，为货物单价，Q Q为货物数量）为货物数量） 生产费用生产费用: ( (与订货费相似与订货费相似) ) 缺货费缺货费: C2

3、( ( 缺货损失缺货损失) ) 单位存储费用单位存储费用 C1 缺货费用缺货费用 C2 订购费用订购费用C3 货物单价货物单价 K 需求速度需求速度 R 需求概率分布需求概率分布 P (r) 订货数量订货数量 Q 定货时间间隔定货时间间隔 t 总平均费用总平均费用 C(t)存储策略的类型：存储策略的类型：t0 -循环策略循环策略: 每隔每隔 t0补充固定存储量补充固定存储量 Q。(s, S )策略策略: 当存量当存量 x s 时不补充时不补充, 当存量当存量 x s 时不补充时不补充, 当存量当存量 x = s 时时, 补充补充量量 Q = S - x。S称为订货点称为订货点（安全存贮量）（安

4、全存贮量）确定性存储模型确定性存储模型随机性存储模型随机性存储模型 模型1：不允许缺货，生产时间很短不允许缺货，生产时间很短 模型2：不允许缺货、生产需一定时间（不允许缺货、生产需一定时间（非即时补充的经济批量模型）非即时补充的经济批量模型） 模型3：允许缺货(缺货需补足)，生产时间很短。 模型4: 允许缺货(缺货需补足)，生产需要一定时间。 价格有折扣的存贮问题模型模型1: 不允许缺货，不允许缺货， 生产时间很短生产时间很短 ）假设假设缺货费用无穷大；缺货费用无穷大；当存贮降至零时，可以得到立即补充；当存贮降至零时，可以得到立即补充；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变

5、，订购费用不变（每次每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；生产量不变，装配费不变）；单位存贮费不变。单位存贮费不变。平均平均存贮量存贮量QQ2 t0接收接收订货订货存贮消耗存贮消耗 (需求率为需求率为)存存贮贮状状态态图图tt0 -循环策略循环策略假定每隔假定每隔t t时间补充一次存贮时间补充一次存贮 R - R - 单位时间的需求量单位时间的需求量 Rt - t Rt - t时间内的总需求量时间内的总需求量 Q = Rt - Q = Rt - 订货量订货量订货费订货费C C3 3 - - 订购费，订购费，K - K - 货物单价货物单价订货费为订货费为: : C C3

6、3 + KRt+ KRt存储费存储费平均存储量平均存储量 : : Rt/2Rt/2单位时间内单位存贮物存储费单位时间内单位存贮物存储费: : C C1 1t t时间内存储费时间内存储费: : C C1 1t t（Rt/2Rt/2）t t时间内平均总费用：时间内平均总费用：RtCKRtCtC1321)(订货费为订货费为: C3 + KRt 021)(123RCtCdttdCRCCt130213002CRCRtQ RCCRCCRCCRCCtC31131313022212)(RCCtRtCtCtC130132 21)(经济订购批量经济订购批量Q与与K无关，有无关，有时可省略。时可省略。(+KR)An

7、nual cost (dollars)Lot Size (Q)Figure 13.3RCCtRtCtCtC130132 21)(Annual cost (dollars)Lot Size (Q)Holding cost (HC)Figure 13.3Annual cost (dollars)Lot Size (Q)Holding cost (HC)Ordering cost (OC)Figure 13.3Annual cost (dollars)Lot Size (Q)Ordering cost (OC)Holding cost (HC)Total cost = HC + OCFigure 1

8、3.3 最佳生产批量最佳生产批量 例例1 :某厂按合同每年需提供某厂按合同每年需提供 D 个产品，个产品，不许缺货。假设每一周期工厂需装配费不许缺货。假设每一周期工厂需装配费 C3 元。存贮费每年每单位产品为元。存贮费每年每单位产品为 C1 元，元，问全年应分几批供货才能使装配费、存问全年应分几批供货才能使装配费、存贮费两者之和最少。贮费两者之和最少。 最佳生产批量最佳生产批量解解: 设全年分设全年分 n 批供货，每批生产量批供货，每批生产量 QDn，周期为周期为 1/n 年年(即每隔即每隔 1/n 年供年供货一次货一次)。 每个周期内平均存贮量为每个周期内平均存贮量为(1/2)Q， 每个周期

9、内的平均存贮费用为每个周期内的平均存贮费用为 2 12111nQCnQC 最佳生产批量最佳生产批量全年所需存贮费用全年所需存贮费用 全年所需装配费用全年所需装配费用 2 211QCnnQCQDCn33 C 最佳生产批量最佳生产批量全年总费用全年总费用(以年为单位的平均费用以年为单位的平均费用)，为求出为求出 C()的最小值，把看作连续的变量的最小值，把看作连续的变量QDCC31 2Q C(Q)130231231 20210 CDCQQDCCQDCCdQdC(Q) 最佳生产批量最佳生产批量最佳批次最佳批次最佳周期最佳周期 2 31CDCQDn00 2 13DCCt0平均平均存贮量存贮量QQ2 t

10、0接收接收订货订货存贮消耗存贮消耗 (需求率为需求率为)图图 133存存贮贮状状态态图图t存贮量存贮量tt0模型模型2: 不允许缺货、生产需一定时间不允许缺货、生产需一定时间 （非即时补充的（非即时补充的 货物并非一次运到；货物并非一次运到； 通过内部生产来实现补充；通过内部生产来实现补充；假设假设缺货费用无穷大；缺货费用无穷大；不能得到立即补充，生产需一定时间；不能得到立即补充，生产需一定时间；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；生产量不变，装配费不变）；单位存贮费不变。单位存贮费不变。图图

11、 135天数天数存贮量存贮量图图 135天数天数存贮量存贮量图图 135天数天数存贮量存贮量tt假设：假设：Q - Q - 生产批量生产批量 T - T - 生产时间生产时间P = Q/T - P = Q/T - 生产速度生产速度 R - R - 需求速度需求速度 ( (R P)R P)P - R - P - R - 存贮速度存贮速度( (生产时，同时也在消耗生产时，同时也在消耗) )天数天数存贮量存贮量tt斜率 = -R斜率 = P-R图图 135天数天数存贮量存贮量tt斜率斜率 = -R决策变量决策变量: : 和（或）和（或）Q Q 在在0,0,tt区间内区间内 生产量：生产量：Q = P

12、TQ = PT即即 PT = RtPT = Rt，所以所以 斜率斜率 = P-R图图 135天数天数存贮量存贮量tt斜率斜率 = -R存贮状态存贮状态: : 每一期的存贮量每一期的存贮量: :每一期的存贮费每一期的存贮费: :斜率斜率 = P-Rt t T T, ,T T) )- -R R( (- -R R) )T T- -( (P PT T 0 0, ,R R) )- -( (P P I I( () )R R) )T Tt t- -( (P P2 21 1I I( () )d dt t0 0R R) )T Tt t- -( (P PC C2 21 11 1图图 135天数天数存贮量存贮量tt

13、斜率 = -R斜率 = P-R生产费生产费( (订货费订货费) )：不考虑变动费不考虑变动费: : C C3 3 单位时间总平均费用单位时间总平均费用 图图 135天数天数存贮量存贮量tt斜率 = -R斜率 = P-R生产费生产费( (订货费订货费) )：不考虑变动费不考虑变动费: : C C3 3 单位时间总平均费用单位时间总平均费用 t tC CP PRtRtR)R)(P(PC C2 21 1t tC CR)TR)T(P(PC C2 21 1) )C CR)TtR)Tt(P(PC C2 21 1( (t t1 1C(t)C(t)3 31 13 31 13 31 1 最佳周期最佳周期 最佳批

14、量最佳批量 0)(21)(231tCRPRCPdttdC)(2130RPRCPCtR R) )( (P PC CR RP P2 2C CR Rt tQ Q1 13 30 00 0 最佳费用最佳费用最佳生产时间最佳生产时间 库存的最高量库存的最高量P PR R) )( (P PR RC C2 2C C) )C C( (t t3 31 10 0R R) )P P( (P PC CR R2 2C CP PR Rt tT T1 13 30 00 0P PC CR R) )R R( (P P2 2C CR RT TQ QS S1 13 30 00 00 0 P PR R) )( (P PR RC C2

15、2C C) )C C( (t t3 31 10 0当当1 1R RP PP P: :P PR RP PP P与模型与模型1比较，多一个因子：比较，多一个因子：RCCtC3102)(RCCt1302)(2130RPRCPCt 例例3：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为件，每月生产率为500 件，每批装配费用为件，每批装配费用为5元，每月每件产品存元，每月每件产品存贮费用为贮费用为0.4元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.45 56 61 10 00 0) )( (5 50 00 00 0.

16、.4 45 50 00 01 10 00 05 52 2Q Q0 01 17 7. .8 89 95 50 00 01 10 00 0) )( (5 50 00 01 10 00 05 50 0. .4 42 2) )C C( (t t0 0R R) )( (P PC CR RP P2 2C CQ Q1 13 30 0P PR R) )( (P PR RC C2 2C C) )C C( (t t3 31 10 0 例例4：某商店经售甲商品，成本单价某商店经售甲商品，成本单价500元。年存贮费用为成本的元。年存贮费用为成本的20%，年，年需求量需求量365件，需求速度为常数甲商件，需求速度为常数

17、甲商品的定购费为品的定购费为20元，提前期为十天，元，提前期为十天，求求 E.O.Q及最低费用。及最低费用。 图图 136天数天数存贮量存贮量t1ttt1 图图 136天数天数存贮量存贮量t1ttt1解：此例应与模型一相同，只需在解：此例应与模型一相同，只需在存贮降至零时提前十天订货即可保存贮降至零时提前十天订货即可保证需求。证需求。 由于提前期为由于提前期为1010天，天，1010天内的需求为天内的需求为1010单位甲商品，因此单位甲商品，因此只要当存贮降至只要当存贮降至1010就要订货。一般就要订货。一般设设 t t1 1为提前期，为提前期，R R为需求速度，当为需求速度，当存贮降至存贮降

18、至 L = RtL = Rt1 1 时订货时订货 L L称为称为“ 订 购 点订 购 点 ” ( ( 或 称 订 货 点或 称 订 货 点 ) )模型模型3: 允许缺货允许缺货(缺货需补足缺货需补足)，生产，生产时间很短。时间很短。 把缺货损失定量化；把缺货损失定量化； 企业在存贮降至零后，还可以再等一段时间企业在存贮降至零后，还可以再等一段时间然后订货这就意味着企业可以少付几次订贷然后订货这就意味着企业可以少付几次订贷的固定费用，少支付一些存贮用；的固定费用，少支付一些存贮用； 本模型的假设条件除允许缺贷外，本模型的假设条件除允许缺贷外， 其余条件其余条件皆与模型一相同皆与模型一相同假设假设

19、允许缺货；允许缺货；立即补充定货，生产时间很短；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；单位存贮费不变。图图 137天数天数存贮量存贮量图图 137天数天数存贮量存贮量图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1t假设：假设：C C1 1 单位存贮费用单位存贮费用 （单位时间单位存贮物）（单位时间单位存贮物）C C2 2 - -单位缺货费单位缺货费C C3 3 - - 每次订购费用每次订购费用R - R - 需求速度需求速度S S - - 最初存贮量最初存贮量天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1图图 137天数天数存贮量存贮量t1

20、tt1tSR(t-t1)S =Rt1 决策变量决策变量: : S S 和和 t t存储费存储费t t时间平均储量时间平均储量: : t t时间的存储费时间的存储费: : 天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1 决策变量决策变量: : S S 和和 t t存储费存储费t t时间平均储量时间平均储量: : t t时间的存储费时间的存储费: : ）因RStRSCStC12111( 2121S21图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1 缺货费缺货费平均缺货量平均缺货量: :t t时间内的缺货费时间内的缺货费)(211ttRRSRtCttttRC2

21、2112)(21)(21图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1 订货费：订货费：C C3 3t t期间内的平均总费用期间内的平均总费用上式对上式对t t和和S S求偏导：求偏导： )2)(2(1),(32221CRSRtCRSCttSC0),(0),(ttSCStSC 对对S S和和t t求偏导求偏导, , 令其等于零令其等于零, , 求解得求解得: : 212130)(2RCCCCCt)(2211230CCCRCCS)(2)(212310CCCRCCtC 与模型一比较，最佳周期与模型一比较，最佳周期 t t0 0是模型一的最是模型一的最佳周期佳周期 t t

22、的的 倍，倍，又由于又由于 ，所以两次订货时间延长了。，所以两次订货时间延长了。1 1C CC CC C时时, ,当当C C) )C C( (C CC C: :仅仅差差因因子子与与模模型型一一比比较较, ,2 21 12 22 22 21 12 22 22 21 1C C) )C C(C(C 1 1C C) )C C( (C C2 22 21 1 不允许缺货量，订货量为不允许缺货量，订货量为最大缺货量为：最大缺货量为：2 22 21 11 13 32 21 12 21 13 30 00 0C C) )C C(C(CC C2RC2RCRCRCC C) )C C(C(C2C2CR RRtRtQ Q

23、) )C C( (C CC CC C2 2R RC C) )C C( (C CC CC CC C2 2R RC C) ) )C C( (C CC CC C) )C C( (C C( (C C2 2R RC C) )C C( (C CC CC C2 2R RC CC C) )C C( (C CC C2 2R RC CS SQ Q2 21 12 21 13 32 21 12 21 11 13 32 21 12 22 22 21 11 13 32 21 12 21 13 32 22 21 11 13 30 00 0 模型一、二、三模型一、二、三 比较比较最佳生产间隔期最佳生产间隔期最佳生产批量最佳生

24、产批量最大存储量最大存储量2 22 21 11 13 31 13 31 13 30 0C CC CC CR RC C2 2C C R RP PP PR RC C2 2C C R RC C2 2C Ct t2 22 21 11 13 31 13 31 13 30 0C CC CC CC CR R2C2C R RP PP PC CR R2C2C C CR R2C2CQ Q2 21 12 21 13 31 13 31 13 30 0C CC CC CC CR R2C2C P PR RP PC CR R2C2C C CR R2C2CS S图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S

25、=Rt1 图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1 例例4：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，件，每月生产率为每月生产率为500 件，每批装配件，每批装配费用为费用为5元，每月每件产品存贮元，每月每件产品存贮费用为费用为0.4元，缺货费用为元，缺货费用为0.15元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，) )C C( (C CC CC C2 2R RC CS S2 21 11 12 23 30 0) )C C( (C CC CR RC C2 2C C

26、) )C C( (t t2 21 12 23 31 10 0图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1 例例4：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，件，每月生产率为每月生产率为500 件，每批装配件，每批装配费用为费用为5元，每月每件产品存贮元，每月每件产品存贮费用为费用为0.4元，缺货费用为元，缺货费用为0.15元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，) )C C( (C CC CC C2 2R RC CS S2 21 11 12 23 30 0)

27、)C C( (C CC CR RC C2 2C C) )C C( (t t2 21 12 23 31 10 02 26 60 0. .1 15 5) )( (0 0. .4 40 0. .4 45 50 0. .1 15 51 10 00 02 2S S0 0图图 137天数天数存贮量存贮量t1tt1tSR(t-t1)S =Rt1 例例4：某厂每月需甲产品：某厂每月需甲产品100件，件，每月生产率为每月生产率为500 件，每批装配件，每批装配费用为费用为5元，每月每件产品存贮元，每月每件产品存贮费用为费用为0.4元，缺货费用为元，缺货费用为0.15元，求元，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。

28、解：解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4， C2 = 0.15，) )C C( (C CC CC C2 2R RC CS S2 21 11 12 23 30 0) )C C( (C CC CR RC C2 2C C) )C C( (t t2 21 12 23 31 10 02 26 60 0. .1 15 5) )( (0 0. .4 40 0. .4 45 50 0. .1 15 51 10 00 02 2S S0 01 10 0. .4 46 60 0. .1 15 50 0. .4 40 0. .1 15 51 10 00 05 50 0. .4 42

29、 2) )C C( (t t0 0模型模型4: 4: 允许缺货允许缺货( (缺货需补足缺货需补足) )，生产需要一定时间。生产需要一定时间。允许缺货；允许缺货；不能立即补充定货，生产需要一定时间；不能立即补充定货，生产需要一定时间；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；产量不变，装配费不变）；单位存贮费不变。单位存贮费不变。 假设：假设：C C1 1 - - 单位存贮费用单位存贮费用 C C2 2 - - 单位缺货费单位缺货费C C3 3 - - 每次订购费用每次订购费用R - R - 需求速

30、度需求速度P - P - 生产速度生产速度天数天数存贮量存贮量tt1t2t30天数天数存贮量存贮量tt1t2t30取取 0, t 为一个周期，设为一个周期，设 t1时刻开始生产。时刻开始生产。 0, t2 时间内存贮为零，时间内存贮为零，B为最大缺货量。为最大缺货量。t1, t2 满足需求及满足需求及 0, t1 内的缺货。内的缺货。t2, t3 满足需求，存贮量满足需求，存贮量以以P-R速度增加。速度增加。 t3时刻达到时刻达到最大。最大。t3, t 存贮量以需求速度存贮量以需求速度R减少。减少。BP - RRS图图 133天数天数存贮量存贮量tt1t2t30缺货费用：缺货费用：最大缺货量：

31、最大缺货量：B = Rt1 = (P - R)(t2 - t1)平均缺货量：平均缺货量：(1/2)Rt1得：得： 0, t 内缺货费用：内缺货费用： BP - RRS2 22 22 22 21 12 2t tP PR RP PR RC C2 21 1 t tR Rt tC C2 21 1 21tPRPt图图 133天数天数存贮量存贮量tt1t2t30BP - RRS存贮费用：存贮费用：最大存贮量：最大存贮量：S = R(t - t3 ) = (P - R)(t3 - t2)平均缺货量平均缺货量: (1/2)(P - R)(t3 - t2)得：得： 0, t 内缺货费用：内缺货费用： 图图 13

32、3天数天数存贮量存贮量tt1t2t30BP - RRS存贮费用：存贮费用：最大存贮量：最大存贮量：S = R(t - t3 ) = (P - R)(t3 - t2)平均存贮量平均存贮量: (1/2)(P - R)(t3 - t2)得：得： 0, t 内存贮费用：内存贮费用： )1 (23tPRtPRt2 22 21 12 22 23 31 1) )t t( (t tP PR RR R) )( (P PC C2 21 1 ) )t t) )( (t tt tR R) )( (t t( (P PC C2 21 1装配费用：装配费用：C3t 时间内总平均费用：时间内总平均费用：上式对上式对 t和和

33、t2 求偏导数得：求偏导数得：t tC C t tt t) )C C( (C Ct t2 2C Ct t C CP PR RR R) )( (P P2 21 1) )C Ct tP PR RR R) )( (P PC C2 21 1) )t t( (t tP PR RR R) )( (P PC C2 21 1( (t t1 1 ) )t tC C( (t t, ,3 32 22 22 21 12 21 11 13 32 22 22 22 22 21 12 2t tC C t tt t) )C C( (C Ct t2 2C Ct t C CP PR RR R) )( (P P2 21 1) )C

34、 Ct tP PR RR R) )( (P PC C2 21 1) )t t( (t tP PR RR R) )( (P PC C2 21 1( (t t1 1 ) )t tC C( (t t, ,3 32 22 22 21 12 21 11 13 32 22 22 22 22 21 12 2最佳生产间隔期最佳生产间隔期 最佳生产批量最佳生产批量2211302CCCRPPRCCt2 22 21 11 13 30 0C CC CC CR RP PP PC CR R2 2C CQ Q最大存储量：最大存储量： 最大缺货量：最大缺货量：2 21 12 21 13 30 0C CC CC CP PR R

35、P PC CR R2C2CS SP PR RP P)C)CC C(C(CR RC C2C2CB B2 22 21 13 31 10 0最小费用：最小费用： 2 21 12 23 31 10 02 20 0C CC CC CP PR RP PR RC C2 2C CC C) )t t, ,m mi in nC C( (t t2.5 价格有折扣的存贮问题价格有折扣的存贮问题 货物价格随订购量的变化而变化；货物价格随订购量的变化而变化； 一般情况下，购买数量越多，商品单价越低；一般情况下，购买数量越多，商品单价越低； 少数情况下，商品限额供应，超过限额部分的商少数情况下，商品限额供应，超过限额部分的

36、商品单价要提高；品单价要提高； 本模型的假设条件除单价随购物数量而变化外，本模型的假设条件除单价随购物数量而变化外，其余条件皆与模型一相同其余条件皆与模型一相同假设假设不允许缺货；不允许缺货；立即补充定货，生产时间很短；立即补充定货，生产时间很短；需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变；每次订货量不变，订购费用不变；单位存贮费不变。单位存贮费不变。单价随购物数量而变化。单价随购物数量而变化。图图 1319单价单价 K(Q)123Q1Q2记货物单价为 K(Q)，设K(Q)按三个数量级变化：Q QQ QK KQ QQ QQ QK KQ QQ Q0 0K KK(Q)

37、K(Q)2 23 32 21 12 21 11 1图图 1319123Q1Q2 C(Q)平均单平均单位费用位费用当订购量为当订购量为 Q Q 时，一个时，一个周期内所需费用为：周期内所需费用为：K K( (Q Q) )Q QC CR RQ QQ QC C2 21 13 31 1图图 1310Q C(Q)平均单平均单位费用位费用0Q1Q2C1(Q)C2(Q)C3(Q)当订购量为当订购量为 Q Q 时，一个时，一个周期内所需费用为：周期内所需费用为：K K( (Q Q) )Q QC CR RQ QQ QC C2 21 13 31 1图图 1310Q C(Q)平均单平均单位费用位费用0Q1Q2C1(

38、Q)C2(Q)C3(Q)当订购量为当订购量为 Q Q 时，一个周时，一个周期内所需费用为：期内所需费用为：Q QK KC CR RQ QQ QC C2 21 1Q QQ QQ QK KC CR RQ QQ QC C2 21 1) )Q Q, , Q QQ QQ QK KC CR RQ QQ QC C2 21 1) )Q Q 0 0, ,Q QK K( (Q Q) )Q QC CR RQ QQ QC C2 21 13 33 31 12 22 23 31 12 21 11 13 31 11 13 31 1图图 1310Q C(Q)平均单平均单位费用位费用0Q1Q2C1(Q)C2(Q)C3(Q)平均

39、每单位货物所需费用为：平均每单位货物所需费用为：2 23 33 31 13 32 21 12 23 31 12 21 11 13 31 11 1Q QQ QK KQ QC CR RQ QC C2 21 1(Q)(Q)C C) )Q Q, ,QQQ QK KQ QC CR RQ QC C2 21 1(Q)(Q)C C) )Q Q0,0,Q QK KQ QC CR RQ QC C2 21 1(Q)(Q)C C价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1 1、对、对 C C1 1(Q(Q1 1) )（不考虑定义域）求得极值点为不考虑定义域）求得极值点为 Q Q0

40、 0：2 2、对对 Q Q0 0 Q Q1 1，计算，计算 价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1 1、对、对 C C1 1(Q(Q1 1) )（不考虑定义域）求得极值点为不考虑定义域）求得极值点为 Q Q0 0：2 2、对对 Q Q0 0 Q Q1 1，计算，计算 3 32 23 32 21 12 23 32 21 13 31 11 11 12 21 10 03 30 01 10 01 1K KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC C

41、R RQ QC C2 21 1) )( (Q QC C价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1 1、对、对 C C1 1(Q(Q1 1) )（不考虑定义域）求得极值点为不考虑定义域）求得极值点为 Q Q0 0：2 2、对对 Q Q0 0 Q Q1 1，计算，计算 由由 得到单位货得到单位货物最小费用的订购批量物最小费用的订购批量 Q Q* *3 32 23 32 21 12 23 32 21 13 31 11 11 12 21 10 03 30 01 10 01 1K KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC

42、CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC CK KQ QC CR RQ QC C2 21 1) )( (Q QC C ) )( (Q QC C) ), ,( (Q QC C) ), ,( (Q Qm mi in n C C2 23 31 12 20 01 1价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：3 3、对、对 Q Q1 1= = Q Q0 0 Q Q2 2，由由 得到单位货物最小费用的订购批量得到单位货物最小费用的订购批量 Q Q* *4 4、对对 Q Q2 2 Q Q0 0，则取，则取 Q Q* * = = Q Q0 0。上述步骤易于推广

43、到单价和折扣分上述步骤易于推广到单价和折扣分 m m 个等级的情况。个等级的情况。)(),(min2302QCQC上述步骤易于推广到单价和折扣分上述步骤易于推广到单价和折扣分 m m 个等级的情况。个等级的情况。如订购量为如订购量为Q Q，其单价为其单价为K(Q)K(Q)， Q QQ QK K. . . . . . .Q QQ QQ QK K. . . . . . .Q QQ QQ QK KQ QQ Q0 0K KK K( (Q Q) )1 1m mm mj j1 1j jj j2 21 12 21 11 1上述步骤易于推广到单价和折扣分上述步骤易于推广到单价和折扣分 m m 个等级的情况。个

44、等级的情况。平均每单位货物所需费用为：平均每单位货物所需费用为：m m, ,. . . .2 2, ,1 1, ,j jK KQ QC CR RQ QC C2 21 1( (Q Q) )C Cj j3 31 1j j上述步骤易于推广到单价和折扣分上述步骤易于推广到单价和折扣分 m m 个等级的情况。个等级的情况。平均每单位货物所需费用为：平均每单位货物所需费用为：对对 C C1 1(Q)(Q)求得极值点为求得极值点为Q Q0 0。若若 Q Qj-1j-1= Q= Q0 0 Q Qj j，求求 得到得到单位货物最小费用的订购批量单位货物最小费用的订购批量 Q Q* *m m, ,. . . .2

45、 2, ,1 1, ,j jK KQ QC CR RQ QC C2 21 1( (Q Q) )C Cj j3 31 1j j ) )( (Q QC C. . . ., ,) ), ,( (Q QC C) ), ,( (Q Qm mi in n C C1 1m mm mj j1 1j j0 0j j例例4：某厂每年需某种元件：某厂每年需某种元件5000个，每次订购费用为个，每次订购费用为50元，元，每年每件产品存贮费用为每年每件产品存贮费用为1元，元件单价随采购数量的变元，元件单价随采购数量的变化如下：化如下：求求E.O.Q及最低费用。及最低费用。解：解：R = 5000, C3 = 50, C

46、1 = 1， 利用利用E.O.Q.公式计算：公式计算： ) )( (Q QC C. . . ., ,) ), ,( (Q QC C) ), ,( (Q Qm mi in n C C1 1m mm mj j1 1j j0 0j j7 70 07 71 15 50 00 00 05 50 02 2C CR R2 2C CQ Q1 13 30 0因因 Q0 = 707 1500，分别计算分别计算每次订购每次订购707个和个和1500个元件所个元件所需平均单位元件费用：需平均单位元件费用：因因 Q0 = 707 1500，分别计算分别计算每次订购每次订购707个和个和1500个元件所个元件所需平均单位

47、元件费用：需平均单位元件费用：2.08332.08331.91.915001500505050005000150015001 12 21 1C(1500)C(1500)2.14142.14142 27077075050500050007077071 12 21 1C(707)C(707)因因 Q0 = 707 1500，分别计算分别计算每次订购每次订购707个和个和1500个元件所个元件所需平均单位元件费用：需平均单位元件费用：因因C(1500) C(707)知最佳订购知最佳订购批量批量 Q = 1500。2 2. .0 08 83 33 31 1. .9 91 15 50 00 05 50

48、05 50 00 00 01 15 50 00 01 12 21 1C C( (1 15 50 00 0) )2 2. .1 14 41 14 42 27 70 07 75 50 05 50 00 00 07 70 07 71 12 21 1C C( (7 70 07 7) )因因 Q0 = 707 1500，分别计算分别计算每次订购每次订购707个和个和1500个元件所个元件所需平均单位元件费用：需平均单位元件费用：因因C(1500) C(707)知最佳订购知最佳订购批量批量 Q = 1500。2.08332.08331.91.915001500505050005000150015001 1

49、2 21 1C(1500)C(1500)2.14142.14142 27077075050500050007077071 12 21 1C(707)C(707)Q Q150015001.91.915001500Q Q2.02.0K(Q)K(Q)m m, ,. . . .2 2, ,1 1, ,j jK KQ QC CR RQ QC C2 21 1( (Q Q) )C Cj j3 31 1j j ) )( (Q QC C) ), ,( (Q Qm mi in n C C1 12 20 01 1？ 需求为随机的，其概需求为随机的，其概率或分布为已知率或分布为已知 例：商店对某种商品例：商店对某种商

50、品进货进货300300件，这件，这300300件商件商品可能在一个月内售完品可能在一个月内售完，也有可能在两个月之，也有可能在两个月之后还有剩余。后还有剩余。 策略策略1 1：定期订货：订货数量需要与上一个周定期订货：订货数量需要与上一个周期末剩下货物的数量来决定订货量。期末剩下货物的数量来决定订货量。 策略策略2 2：定点订货：存贮降到某一确定的数量定点订货：存贮降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。时即订货，不再考虑间隔的时间。 策略策略3 3：定期订货与定点订货的综合，隔一定定期订货与定点订货的综合，隔一定时间检查一次存贮，如果存贮数量高于一个数时间检查一次存贮，如果存贮数量高

51、于一个数值值s s，则不定货。小于则不定货。小于s s时则订货补充存贮，订时则订货补充存贮，订货量要使存贮量达到货量要使存贮量达到S S，这种策略可以简称为这种策略可以简称为( (s s，S)S)存贮策略。存贮策略。订货点订货点 与确定性模型不同的特点：与确定性模型不同的特点：不允许缺货不允许缺货的条件只能从概率的意义方面理解，如的条件只能从概率的意义方面理解，如不缺货的概率为不缺货的概率为0.90.9等等。等等。 存贮策略的优劣：存贮策略的优劣：以赢利或损失的期以赢利或损失的期望值的大小作为衡量的标准。望值的大小作为衡量的标准。例例7 7 某商店拟在新年期间出售一批日历画片。某商店拟在新年期

52、间出售一批日历画片。每售一千张可赢利每售一千张可赢利7 7百元。如果在新年期间不能百元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损价，一定可以售完，此时每千张赔损4 4百元。市百元。市场需求的概率见下表每年只订一次货，问应场需求的概率见下表每年只订一次货，问应订购多少张使利润的期望值最大？订购多少张使利润的期望值最大？需求量 r (千张)012345概率 P(r)0.050.100.250.350.150.10501)(rrp解：如果订货解：如果订货4 4千张，获利的可能数值为：千张，获利的可能数值为： 当

53、市场需求为当市场需求为0 0时获利为时获利为 - -4 44 = -164 = -16 当市场需求为当市场需求为1 1时获利为时获利为 - -4 43 + 3 + 7 7 = -5 = -5 当市场需求为当市场需求为2 2时获利为时获利为 - -4 42 + 2 + 7 72 = 62 = 6 当市场需求为当市场需求为3 3时获利为时获利为 - -4 41 + 1 + 7 73 = 173 = 17 当市场需求为当市场需求为4 4时获利为时获利为 - -4 4O O + + 7 74 = 24 = 23 3 当市场需求为当市场需求为5 5时获利为时获利为 - -4 40 + 0 + 7 74

54、= 24 = 23 3 解：如果订货解：如果订货4 4千张，获利的可能数值为：千张，获利的可能数值为： 当市场需求为当市场需求为0 0时获利为一时获利为一4 44 = -164 = -16 当市场需求为当市场需求为1 1时获利为一时获利为一4 43 + 7 = -53 + 7 = -5 当市场需求为当市场需求为2 2时获利为一时获利为一4 42 + 72 + 72 = 62 = 6 当市场需求为当市场需求为3 3时获利为一时获利为一4 41 + 71 + 73 = 173 = 17 当市场需求为当市场需求为4 4时获利为一时获利为一4 4O O + 7+ 74 = 24 = 23 3 当市场需

55、求为当市场需求为5 5时获利为一时获利为一4 40 + 70 + 74 = 24 = 23 3 订购量为订购量为4 4千张时获利的千张时获利的期望值期望值EC(4) =(-EC(4) =(-16)16)0.050.05 +(-5) +(-5)0.10 0.10 + 6 + 60.2 0.2 + 17 + 170.35 0.35 + 2 + 23 3O.15 O.15 + + 2 23 3O.10 O.10 = 13.15( = 13.15(百元百元) ) 本例还可以从相反的角度考虑求解。本例还可以从相反的角度考虑求解。当订货量为当订货量为 Q Q 时，时， 供过于求的情况，可能发生滞销赔损；供

56、过于求的情况，可能发生滞销赔损； 求过于供的情况，可能发生因缺货而失去销求过于供的情况，可能发生因缺货而失去销售机会的损失。售机会的损失。 把这两种损失合起来考虑，取把这两种损失合起来考虑，取所对应的所对应的 Q Q 值为最佳订货量。值为最佳订货量。 当该店订购量为当该店订购量为2 2千张时，计算其损失的可能值千张时，计算其损失的可能值 当市场需求量为当市场需求量为O O时滞销损失为时滞销损失为(-4)(-4)2 2- -3 3 当市场需求量为当市场需求量为l l时滞销损失为时滞销损失为(-4)(-4)1 1-4-4 当市场需求量为当市场需求量为2 2时滞销损失为时滞销损失为 0 0 ( (以

57、上三项皆为供货大于需求时滞销损失以上三项皆为供货大于需求时滞销损失) ) 当市场需求量为当市场需求量为3 3时缺货损失为时缺货损失为(-7)(-7)l l-7-7 当市场需求量为当市场需求量为4 4时缺货损失为时缺货损失为(-7)(-7)2 2-14-14 当市场需求量为当市场需求量为5 5时缺货损失为时缺货损失为(-7)(-7)3 3-21-21 ( (以上三项皆为供货小于需求时，失去销售机以上三项皆为供货小于需求时，失去销售机会而少获利的损失会而少获利的损失) )当该店订购量为当该店订购量为2 2千张时，计算其损失的可能值千张时，计算其损失的可能值 当市场需求量为当市场需求量为O O时滞销

58、损失为时滞销损失为(-4)(-4)2 2- -3 3 当市场需求量为当市场需求量为l l时滞销损失为时滞销损失为(-4)(-4)1 1-4-4 当市场需求量为当市场需求量为2 2时滞销损失为时滞销损失为 0 0 ( (以上三项皆为供货大于需求时滞销损失以上三项皆为供货大于需求时滞销损失) ) 当市场需求量为当市场需求量为3 3时缺货损失为时缺货损失为(-7)(-7)l l-7-7 当市场需求量为当市场需求量为4 4时缺货损失为时缺货损失为(-7)(-7)2 2-14-14 当市场需求量为当市场需求量为5 5时缺货损失为时缺货损失为(-7)(-7)3 3-21-21 ( (以上三项皆为供货小于需

59、求时，失去销售机以上三项皆为供货小于需求时，失去销售机会而少获利的损失会而少获利的损失) )订购量为订购量为2 2千张时缺货和千张时缺货和滞销两种损失的期望值滞销两种损失的期望值EC(2) =(-3EC(2) =(-3) )0.050.05 +(-4) +(-4)0.10 0.10 + 0 + 00.25 0.25 +(-7) +(-7)0.35 0.35 +(-14) +(-14)O.15 O.15 +(-21) +(-21)O.10 O.10 = -7.45( = -7.45(百元百元) )报童问题报童问题：报童每天报童每天售报是售报是 个随机变量。个随机变量。报童每售出一份报纸赚报童每售

60、出一份报纸赚 k k 元，报纸未能售出，元，报纸未能售出，每份赔每份赔 h h 元。每日售元。每日售出报纸份数的概率为出报纸份数的概率为 P P，问报童每日最好准备多问报童每日最好准备多少份报纸。少份报纸。1 1、损失期望值最小法、损失期望值最小法 设售出报纸数量为设售出报纸数量为r r，其概率为其概率为P(r)P(r)，设报童订购报纸数量为设报童订购报纸数量为Q Q， 供过于求供过于求( (r=Q)rQ)rQ)，报纸因缺货的损失的期望值报纸因缺货的损失的期望值01rp(r)QrrprQh0)()(1)()(QrrpQrk1 1、损失期望值最小法、损失期望值最小法 设售出报纸数量为设售出报纸数