晶体的宏观对称

1、课课件及相关件及相关软件软件邮箱邮箱Code:leixinrong一、晶体结构基础一、晶体结构基础(一）一） 晶体的宏观对称晶体的宏观对称重点：国际符号重点：国际符号1. 对称要素对称要素2. 对称要素组合定律对称要素组合定律3. 国际符号国际符号(中低级晶族中低级晶族)4. 高级晶族的对称型及国际符号高级晶族的对称型及国际符号1 对称要素对称要素1）对称对称面面(symmetry plane) 对称型符号：对称型符号：P国国际符号际符号： m (mirror)图图形符号形符号： 3P 5P 9P2）对称对称轴轴(symmetry axis)对称型符号：对称型符号： L1，L2，L3，L4，L

2、6 其中其中L1，L2为为低低次轴，次轴，L3，L4，L6为为高高次轴。次轴。国际符国际符号：号：1，2，3，4，6 ； 图形符号是图形符号是:对称轴的写法：对称轴的写法：1个：个：L3；4个个: 4L3。观察如下图形分别具有几个几次对称轴：长方体、四方体3L2L44L2思考：六方柱具有几个几次对称轴、几个对称面？各在什么方位？六方柱对称轴的轴次及分布六方柱对称轴的轴次及分布 L66L2六方柱对称面的分布六方柱对称面的分布 7P六方柱对称轴、对称面的分布六方柱对称轴、对称面的分布 L66L27P(C)3）对称中）对称中心心(center of symmetry) 对称型符号：对称型符号： C国

3、国际符际符号：号：-1图图形符形符号号: o4) 旋转反伸轴旋转反伸轴(rotary inversion axis) Li 1= C Li 2= P对称型符号：对称型符号： Li1，Li2，Li3，Li4，Li6。国国际符际符号：号：-1, -2, -3, -4, -6图图形符形符号号: Li 3（= L3C）菱面体菱面体 Li 4四方四面体四方四面体 Li 6 （= L3P）三方双锥三方双锥 当晶体中同时存在当晶体中同时存在L3和和C时，只能写成时，只能写成Li3，而非而非L3C ；L3+P只能写成只能写成Li6，而非，而非L3P。2 对称要素的组合定理对称要素的组合定理 定理定理 1. L

4、n L2 = LnnL2，L22L2L33L2L44L2L66L2逆定理：如果两个逆定理：如果两个L2相交，则在交点上垂直于相交，则在交点上垂直于L2必产生一个必产生一个Ln基转角为基转角为两个两个L2夹角的两倍。夹角的两倍。 定理定理2. L2n P = L2nPC, L2PCL4PCL6PC逆定理：逆定理： L2+C=L2PC P+C=L2PC 定理定理3. . P/ Ln = LnnP/L22PL33PL44PL66P逆定理：两个逆定理：两个P相交，则交线为对称轴，基转角相交，则交线为对称轴，基转角=两个两个P夹角的两倍。夹角的两倍。例：两个例：两个P互相垂直，则交线为互相垂直，则交线为

5、L2； 两个两个P夹角夹角45，则交线为，则交线为L4。定理定理4：Lin P/ =Lin L2 Li33L23PLi33L23PLi42L22PLi63L23PLi63L23P定理定理4：Lin P/ =Lin L2 Li33L23PLi42L22PLi63L23PLi42L22P定理定理4：Lin P/ =Lin L2 Li33L23PLi42L22PLi63L23P附加：附加：Ln与垂直的与垂直的P及包含的及包含的P的组合的组合 n为偶数为偶数 n=2 L22L23PC=3L23PC n=4 L44L25PC n=6 L66L27PC n为奇数为奇数n=1 L22Pn=3 L33L24P

6、Li63L23P3 晶体定向晶体定向三轴坐标体系三轴坐标体系单位晶胞单位晶胞右手坐标系右手坐标系增加一个辅助轴增加一个辅助轴U立方晶系立方晶系（cubic）（等轴晶系 isometric）以互相垂直的以互相垂直的3L4、3Li4或或3L2为为X，Y，Z轴轴abc； 90六方晶系及三方晶系六方定向六方晶系及三方晶系六方定向（hexagonal & Trigonal hexagonal） 以唯一的高次轴为以唯一的高次轴为Z轴，以夹角为轴，以夹角为120的的3L2或或3P的法线方向为的法线方向为X，Y，U轴轴abc ； 90， 120三方晶系菱面体定向三方晶系菱面体定向 （trigonal

7、rhombehedral）选取以选取以3次轴为对称的次轴为对称的3个个L2, 3个个P的法线或的法线或3个个主要晶棱方向为主要晶棱方向为X，Y，Z轴轴abc ； 90四方晶系四方晶系 （tetragonal）以唯一的高次轴为以唯一的高次轴为Z轴，以互相垂直的轴，以互相垂直的L2或或P的法线方向或两个互相垂直的的法线方向或两个互相垂直的主要晶棱方向为主要晶棱方向为X，Y轴轴abc ； 90斜方晶系（斜方晶系（orthohombic）以以3个互相垂直个互相垂直L2的或的法线为的或的法线为X，Y，Z轴轴abc； 90单斜晶系单斜晶系 （monoclinic）以以L2或或P的法线为的法线为Y轴，以垂直

8、于轴，以垂直于Y的两个主要晶棱方向为的两个主要晶棱方向为X，Z轴轴abc； 90， 90三斜晶系（三斜晶系（triclinic）以不在同一平米的三个主要晶棱方向为以不在同一平米的三个主要晶棱方向为X，Y，Z轴轴abc； 903 点群的国际符号点群的国际符号(中低级晶族中低级晶族) 国际符号（国际符号（International Symbol），它是由），它是由Hermann 与与Mauguin创立的，因此也称创立的，因此也称HM符号。符号。 书写原则：书写原则：按方位书写按方位书写：沿某方位，：沿某方位，有对称要素就写出来有对称要素就写出来，无就空着或写为无就空着或写为1。 写各个方位对称要素

9、时：写各个方位对称要素时：(1) 平行于平行于该方位只有对称轴该方位只有对称轴n，写，写n (1,2,3,4,6,-3,-4,-6)； 垂直于垂直于该方位只有对称面，写该方位只有对称面，写m。(2) 该方位有该方位有n+P，记为，记为n/m(代表一个方位代表一个方位)。 如如2/m，4/m, 6/m。(偶次轴偶次轴+P，隐含了对称中心，隐含了对称中心C) 问：晶体结构中是否存在问：晶体结构中是否存在3/m? 可以存在，但必须写为可以存在，但必须写为-6。1） 三斜晶三斜晶系系(triclinic) abc; 90 无方位：无方位： (1) 1 (2) -11 L1-1 Li1=C国际符号只有国

10、际符号只有1位，且无位，且无P无对称轴无对称轴2） 单斜晶单斜晶系系(monoclinic) abc; =90 90方位：方位：b （b轴方向为唯一轴：与轴方向为唯一轴：与L2或或与与P重合）重合）国际符号只有国际符号只有1位，位，2或或/及及m (3) 2 (4) m (5) 2/m对成型对成型L2PL2PC3）斜方晶系）斜方晶系(正交晶系正交晶系)(orthohombic) abc; =90方位：方位：a、b、c国际符号多于国际符号多于1位，每位只能是位，每位只能是2或或/及及m (6) 222 (7) mm2 (8) mmm2mm? m2m?对成型对成型3L2L22P3L23PC4）四方

11、晶系）四方晶系 (tetragonal) a=bc; =90方位：方位：c、a、a+b国际符号第一位为国际符号第一位为4或或-4，第二位不是，第二位不是3 (9) 4 (10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m4）四方晶系）四方晶系 (tetragonal) a=bc; =90方位：方位：c、a、a+b国际符号第一位为国际符号第一位为4或或-4，第二位不是，第二位不是3 (9) 4 (10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m-4m24）四方晶系）四方晶系 (t

12、etragonal) a=bc; =90方位：方位：c、a、a+b国际符号第一位为国际符号第一位为4或或-4，第二位不是，第二位不是3 (9) 4 (10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m对成型对成型 L4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22P三方及六方晶系三方及六方晶系a=bc; =90 =120方位：方位：c、a、2a+b5）三方晶）三方晶系系(tigonal or rhombohedral) a=bc; =90 =120方位：方位：c、a、2a+b国际符号第一位为国际符号第一位为3或或-3 (

13、16) 3 (17) 32 (18) -3 (19) 3m (20) -3m5）三方晶系）三方晶系 a=bc; =90 =120方位：方位：c、a、2a+b (16) 3 (17) 32 (18) -3 (19) 3m (20) -3m国际符号第一位为国际符号第一位为3或或-3 L3 L33L2 Li3 L33P Li33L23P321312-3m1-31m6）六方晶系）六方晶系 a=bc; =90 =120方位：方位：c、a、2a+b (21) 6 (22) 622 (23) 6/m (24) 6mm (25) 6/mmm (26) -6 (27) -62m国际符号第一位为国际符号第一位为6或或-6 L6 L66L2 L3PC L36P L66L27PC Li6 Li63L23P-6m2-62m6mm, 3m, -6, -62m, -3m1, mm2,1, 2, 222, 422, -3, 6/mmm,4/m, mmm, 312, 6/m, -4m2, 321,-6m2, 4, 6, m, 2/m, 4mm-31m, -1, 4/mmm, -42m, -4 7）立方晶系立方晶系 a=b=c; =90方位：方位：c，a+b+c, a+b国际符号特点：第国际符号特点：第2位为位为3或或-3。亦可理解为：亦可理解为： 轴