第三章(第3节)单自由度系统的强迫振动

1、任意激励任意激励列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力；列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反座力；火炮在发射时作用于支承结构的反座力；地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用；地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用； 在许多实际问题中，在许多实际问题中，激励并非是周期性函数，而是激励并非是周期性函数，而是任意的时间函数，任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。或者是在极短时间间隔内的冲击作用。精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变。精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变。 系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作

2、用停止后的自由振动，称为止后的自由振动，称为任意激励的响应任意激励的响应。 简谐激励是周期激励的一种特例；周期激励是任意激简谐激励是周期激励的一种特例；周期激励是任意激励的一种特例。励的一种特例。求解系统任意激励响应的方法求解系统任意激励响应的方法 该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。实质上激励不再是周期性的。实质上激励不再是周期性的。 该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方

3、法，对具有任何非齐次项的微分方程，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都可以用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的都可以用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。傅里叶积分法傅里叶积分法卷积积分法卷积积分法1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的称为系统的脉冲响应脉冲响应。 宽度宽度T0，高度，高度1/T0的矩形脉冲，如图的矩形脉冲，如图3.3-1(a)所示。所示。这个矩形脉冲的面积为这个矩形脉

4、冲的面积为1。 为了得到单位脉冲，使脉冲宽度为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保接近于零，而保持面积为持面积为1。图 3.3-11 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲在极限情况下，单位脉冲的数学定义为在极限情况下，单位脉冲的数学定义为 这个脉冲发生在这个脉冲发生在t=0处，如图处，如图3.3-1(b)所示。如果单位脉冲发生在所示。如果单位脉冲发生在t=a处，处，则它可由下式定义则它可由下式定义 1d)()00)(tttt（(3.3-1) 1d)()0)(tatatat（(3.3-2)注意，注意，(t-a)是一个沿着时间轴的正向移动了是一个沿着时间轴的正向移动了a时间的单时间的单位脉冲。

5、位脉冲。 图 3.3-11 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 数学上，单位脉冲必须数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现。实现。 在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期系统的固有周期(T=1/f )相比时非常的短，则激励就可相比时非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。以考虑为一个脉冲。 函数的单位为函数的单位为s-1，在其它方面的情况，在其它方面的情况，函数将有函数将有不同的量纲。不同的量纲。 具有上述特性的任

6、何函数具有上述特性的任何函数( (并不一定是矩形脉冲并不一定是矩形脉冲) )，都可用来作为一个脉冲，而且称为都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。函数。1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 如果在如果在t=0与与t=a处分别作用有瞬时冲量处分别作用有瞬时冲量 ，则对应，则对应的的脉冲力脉冲力可方便地写成可方便地写成F式中式中 的单位为的单位为Ns。F 单自由度阻尼系统对脉冲力单自由度阻尼系统对脉冲力 的响应，的响应，系统振动微分方程为系统振动微分方程为 )()(tFtF假定系统在作用脉冲力假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即之前处于静止，即 )()0()(atatFttFtF(3.3-3

7、)(tFkxxcxm (3.3-4)0)0()0(xx(3.3-5)由于由于F(t)作用在作用在t=0处，对于处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。用，但其影响依然存在。1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 把求解单自由度阻尼系统对脉冲力把求解单自由度阻尼系统对脉冲力F(t)的响应问题的响应问题变换为系统对于零初始条件的响应问题变换为系统对于零初始条件的响应问题，将变成将变成t=0+处处的初始条件引起的自由振动。的初始条件引起的自由振动。 为了找出为了找出t=0+的初始条件，对方程的初始条件，对方程(3.3-4)在区间在区间0-t 0+上积分两次，有上积

8、分两次，有 000000ddd)0()0(ttkxtcxxxmtttFdd)(0000 (3.3-6)因为因为常量FttFttFttFd)(d)(d)( 0 0 (3.3-7)则方程则方程(3.3-6)中中的左端第二项、第三项、右端项的积分的左端第二项、第三项、右端项的积分值均为无限小量，可以略去不计。值均为无限小量，可以略去不计。1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应根据式根据式(3.3-6),考虑到考虑到x(0-)=0，则有，则有也就是说，在脉冲力也就是说，在脉冲力 作用的极短时间内，质量作用的极短时间内，质量m还还来不及发生位移来不及发生位移。)(tFx(0+)= 0(3.3-8) 对方程

9、对方程(3.3-4)在区间在区间0-t 0+上积分一次，有上积分一次，有ttFtkxxxcxxmd)(d)0()0()0()0(0000_(3.3-9)同理，得同理，得mFx)0(3.3-10)若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时变化，可以认为在变化，可以认为在 t=0 时作用的脉冲力等效于时作用的脉冲力等效于初始速度初始速度 mFv01 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 方程方程(3.3-4)等价于初始速度引起的自由振动，即等价于初始速度引起的自由振动，即mFxxkxxcxm)0(, 0)0(0 (3.3-11)其解为其解为)0(

10、0)0( 1 , sine)(2tttmFtxnddtdn(3.3-12)令令 ，则系统受单位脉冲力，则系统受单位脉冲力 F(t)=(t) 的的作用，其响作用，其响应称为应称为脉冲响应脉冲响应。1F1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应为脉冲响应为)0( 0)0(sin1)(tttemthdtdn(3.3-13)2 卷积积分卷积积分 利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数F(t)的响的响应，把应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励似地代替激励F(t )。 如图如图3.3-2所示，在任意时刻所

11、示，在任意时刻t=处，相应的时间增量为处，相应的时间增量为，由，由一个大小为一个大小为F()的脉冲，相应的脉冲，相应的力可以用数学表示为的力可以用数学表示为 tF因为在因为在t= 处对脉冲响应为处对脉冲响应为h(t-)，所以此脉冲的响应为其所以此脉冲的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即 thF图 3.3-22 卷积积分卷积积分)()()(thFtx(3.3-14) 通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为为令令0，并取极限，上式表示为积分形式，并取极限，上式表示为积分形式tthFtx 0 d)()()(3.

12、3-15)上式称为上式称为卷积积分卷积积分，又称为，又称为杜哈梅杜哈梅(Duhamel)积分积分，它，它将响应表示成脉冲响应的叠加。将响应表示成脉冲响应的叠加。tdtdteFmtxn 0 )(dsin)(1)(3.3-16)代入代入h(t-)的表达的表达式式(3.3-13)，得到，得到2 卷积积分卷积积分 若在若在t=0时，任意激励时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始作用的瞬时，系统的初始位移和初始速度为位移和初始速度为 000 ,0 , 0 xxxxt则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即即tdtdddndtteFmtxxtx

13、etxnn 0 )(000d)(sin)(1sincos)(3.3-17)它表示它表示单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初始条件单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初始条件和任意激励的响应。和任意激励的响应。2 卷积积分卷积积分 令令t-=u，则，则-d=du，此外考虑，此外考虑(3.3-15)中的积分限中的积分限界，当界，当=0时时，u=t，当，当=t时时, ,u=0，将其代入式，将其代入式(3.3-15)，得到得到上式为上式为卷积积分的另一种表达形式卷积积分的另一种表达形式。 式式(3.3-15)中的中的 和式和式(3.3-18)中的中的u只是积分变量，只是积分变量，可见卷积积分对于激励可见

14、卷积积分对于激励F(t)和脉冲响应和脉冲响应h(t)是对称的，即是对称的，即tuuhutFtx 0 d)()()(3.3-18)tthtFthFtx 0 0 d)()(d)()()(3.3-19) 卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。虽虽然然Duhamel积分积分不便于笔算，但是用电子计算机就可容不便于笔算，但是用电子计算机就可容易地进行计算。易地进行计算。 2 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-1） 例例3.3-1 设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：如下：)0( 0)0(sin)(0tttFtF试用

15、卷积积分计算其响应。试用卷积积分计算其响应。解：解：在方程在方程(3.3-16)中，令中，令=0，d=n，则则tnntFmtx 0 d)(sin)(1)(tnntmF 0 0d)(sinsinttkFnnnsinsin11202 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-1）因为当因为当t0时没有激励，所以其响应应该写成下面的形时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式式)0( 0)0( sinsin)/(1)(20ttttkFtxnnn上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率进行进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减；第二项的稳态运动，即使振动系统有

16、阻尼也并不衰减；第二项是按固有频率是按固有频率n进行的自由振动，只要振动有极微小进行的自由振动，只要振动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。 应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动同时得出。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动同时得出。 2 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-2） 例例3.3-2 试确定单自由度试确定单自由度无阻尼系统在零初始条件下对无阻尼系统在零初始条件下对图图3.3-3中激励函数的响应。中激励函数的响应。解：解：由图可得激励函数为由图可得激励函数为 )()0 ( )(211221111tttttttFttttFtF当当0tt1时，时，

17、 时，由方程时，由方程(3.3-17)得到得到11)(ttFtF111 0 11sind)(sin)(ttttkFttmFtxnntnn图 3.3-32 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-2）1221)(ttttFtF当当t1tt2时，有时，有1122121121sin)()(sin)()(sinttttttttttttkFnnnnnn1 0 11d)(sin)(tnnttmFtx21 1221d)(sinttnnttttmF3 单位阶跃响应单位阶跃响应 如图如图3.3-4所示的单所示的单位阶跃函数在数学上可位阶跃函数在数学上可以定义为以定义为单位阶跃函数单位阶跃函数是无量纲的函数。是无量纲

18、的函数。显然，函数在显然，函数在t=a处有一处有一突变，其值从突变，其值从0跳到跳到1。 )(0)(1)(atatatu(3.3-20) 如果突变发生于如果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写处，那么这一函数可以简单地写成成u(t)，其在数学上可以定义为其在数学上可以定义为)0(0)0(1)(tttu图 3.3-43 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃函数单位阶跃函数 当一个任意函数当一个任意函数F(t)与单位阶跃函数与单位阶跃函数u(t-a)相乘时，相乘时，F(t)u(t-a)相对于相对于ta的部分则的部分则不受影响，即不受影响，即)( 0)()()()(atattFatutF(3.3

19、-21) 单位阶跃函数单位阶跃函数u(t-a)与脉冲函数与脉冲函数(t-a)之间存在着密之间存在着密切的积分关系，即切的积分关系，即taatu d)()(3.3-22)反过来，则反过来，则(t-a)可以视为可以视为u(t-a)对时间导数，即对时间导数，即tatuatd)(d)(3.3-23)3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应 当初始条件为零时，系统对在当初始条件为零时，系统对在t=0处所作用的单位处所作用的单位阶跃函数阶跃函数u(t)的响应，称为系统的的响应，称为系统的单位阶跃响应单位阶跃响应，用，用g(t)表示。表示。 将将F()=u()代入卷积积分，可得单位阶跃响应，有代入卷积积分，可得单位阶跃响应，有tthutg 0 d)()()(d)(sin1 0 )(temdttdn(3.3-24)考虑到考虑到)(i)(ieei 21)(sinttdddt(3.3-25)因而积分因而积分(3.3-24)可以改写成可以改写成令令t-=，d=-d，并互换积分的限界后，积分，并互换积分的限界后，积分(3.3-26)成为成为ttttdddnemtg 0 )(i)(i)(deei 21)(3.3-26)tdndndtddndnddnmmtg0)i()i( 0 ii)i(e