点集拓扑学拓扑空间与连续映射

1、会计学1点集拓扑学拓扑空间与连续映射点集拓扑学拓扑空间与连续映射 第二章 拓扑空间与连续映射本章教学基本要求 掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关概念.重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射2.3 拓扑空间的其他概念一. 导集，闭集，闭包 1. 导集 定义2.11. 设 为拓扑空间, ,如果点xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点

2、集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A) ),( XXA 如果xA并且x不是A的凝聚点，则称x为A的一个孤立点 说明凝聚点可以属于A,也可以不属于A 例2.4. 离散空间中集合的凝聚点和导集 d(A) 例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集 的元素多于一个的元素多于一个AXxAAXAAd )(0 )(,)(xAUUUAdxx )(,)(xAUUUAdxx定理2.12设X是一个拓扑空间， 则: XA (1) )(d(2) )()(BdAdBA (3) )()()(BdAdBAd (4) )()(AdAAdd 证明(3)必要性: 如果 )()()()(BdxAdxBdAdx综上所述

3、，可见(3)必要性成立 证明(4)设：(4) )()(AdAAdd 由此(4)成立2. 闭集 定义2.12. 设X是一个拓扑空间， ,如果A的每一个凝聚点都属于A，即: ,则称A是拓扑空间X中的一个闭集 XA AAd )(说明离散空间中的任何一个子集都是闭集平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集 定理2.13设X是一个拓扑空间，XA 则A是一个闭集，当且仅当A的补集 是开集.cA证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集例2.6实数空间R中作为闭集的区间设a,bR，ab闭区间a,b是实数空间R中的一个闭集. (-,a，b,)都是闭集，(-,)R显然更是一个闭集 （a，b，a，b）

4、是否闭集? 回答: 不是定理2.14. 设X是一个拓扑空间记F为所有闭集构成的族则：(1) FX ,(3) 若 . 则 FF 11FBB F(2) 若A, B . 则ABFF有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集其余情形不一定有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集其余情形不一定3. 闭包 定义2.13. 设X是一个拓扑空间， ,集合A与A的导集d(A)的并Ad(A)称为集合A的闭包,记作: XA A定理2.15拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是 AA 证明: 集合A为闭集当且仅当d(A) A 而这又当且仅当A=Ad(A) 定理2.16设X是一个拓扑空间,则对于任意 A,BX,有：AA

5、 (2) , )1(AABAA (4) , B )3( 定理2.17拓扑空间X的任何一个子集A的闭包 都是闭集.A 定理2.18设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一个子集A，有BAFBBA . 定理2.19设X和Y是两个拓扑空间，f :XY则以下条件等价：(l) f 是一个连续映射(2) Y中的任何一个闭集B的原象 是闭集 )(1Bf (3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象 包含于A的象的闭包，即)()(AfAf (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭 包含于B的闭包的原象，即 )()(11BfBf 则 是一个开集，因此根据 (1) cB

6、ccBfBf)()(11 是X中的一个开集，因此 是X中的一个闭集 )(1Bf 证明(1)蕴涵(2)设 是闭集YB (2)蕴涵(3). 设 ,XA 由于f(A)根据(2)， 成立 (3)蕴涵(4)设 集合 ,YB XBf )(1应用(3)即得:(4)蕴涵(l)设U是Y中的一个开集 则 是Y中的一个闭集对此集合应用(4)可见:cU)()()(111cccUfUfUf 而:)()()()(1111ccccUfUfUfUf XccUfUfF )()( 11XUf )( 1二. 内部与边界 定义2.14. 设X是一个拓扑空间， ,称含于A的所有开集的并称为集合A的内部,记为:AXA A, VAVXVV

7、AVV 是含于A里的最大开集A 定理2.19. 设X是一个拓扑空间， ,则A是开集的充分必要条件是 A= .AXA 定理2.20 . 对AX, ,ccAA)( ccAA)( 证明: 任取 则 ,从而 .,Ax cAx c) (cAx 任取 ,则 ,c) (cAx cAx 所以, ,所以,所以,存在 的邻域V,使得:x ccAVxAVAV .Ax 定理2.20 对A, BX, 有(1) X=X;(2) AA;(3) (AB) =AB;(4) A=A. 定义2.15. 设X是一个拓扑空间， ,如果任意的 中既含有A中的点,又含有中的点,则称点 为A的边界点, A的边界点之集称为边界, 记为A. X

8、A Xx xUU cAx2.4 拓扑基与邻域基 定义2.16. 设 为拓扑空间, B ,如果任意的 ,都存在B1 B,使的:),( X V 1B BBV 则称B是拓扑 的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基 离散空间的一个基由所有的单点子集构成 度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间作为拓扑空间时的一个基则B是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一个xX和x的每一个邻域 , 存在 使得: 定理2.21设B是拓扑空间 的一个开集族),( XB BxUU UBx 证明:必要性,如果B是X的一个基,则对于每一个和每一个 ,都存在 ,使得:Xx xxUU XxWx xxUW 由于B是基,所以存在

9、,使得BB 11B AxAWx1B AAx所以,存在某个 ,使得1B A Ax 充分性: 对于 ,和每一个 ,xU Ux UVxtsVxx .B 于是:UVxUUxxUx UxxVU 定理2.22设X是一个集合，B是集合X的一个子集族,如果B满足条件：(1) XBB B(2)如果 则对任何的 ,21B BB21BBx 21 .,BBBxtsB B则X的子集族 .,11BBB BBUtsXU 是集合X的惟一的一个以B为基的拓扑 定义2.17. 设 为拓扑空间, , 如果 的所有有限非空子族之交构成的集族,即),( X , 2 , 1,21niSSSSin B 是拓扑 的一个基，则称集族 是拓扑

10、的一个子基 定理2.23设X和Y是两个拓扑空间，f :XY则以下条件等价：(1) f 连续；(2) 拓扑空间Y有一个基B，使得对于任何一个 BB， 是X中的一个开集；)(1Bf (3) 拓扑空间Y有一个子基 ，使得对于任何 , 是X中的一个开集； S)(1Sf 定义2.18设X是一个拓扑空间，xX记 为x的邻域系 的子族 如果满足条件：对于每一个 ,使得 ,则称 是点 的一个邻域基.xUxUxVxxVUVU ,UVx xVx 的子族 如果满足条件： 每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即 xUxWxW, 2 , 1,21niWWWWxin W 是x的一个邻域基，则称此是点x的邻域系的一个子

11、基，或简称为点x的一个邻域子基定理2.24设X和Y是两个拓扑空间，f : XY，xX则以下条件等价：（1）f 在点x 处连续；（2）f(x)有一个邻域基 ,使得对于任何 V ,原象 是x的一个邻域；)(xfV)(xfV)(1Vf （3）f(x)有一个邻域子基 ,使得对于任何 V ,原象 是x的一个邻域；)(xfW)(xfW)(1Vf 定理2.25设X是一个拓扑空间，xX则（1）如果B是X的一个拓扑基，则是点x的一个邻域基；=BB |xBxB（2）如果 是X的一个子基，则 SxSx 是点x的一个邻域子基 补充：覆盖：设B是拓扑空间X的子集族，若满足：XC CB则称B是X的一个覆盖粘接引理： 设

12、是X的一个有限闭覆盖，如果映射： 在每个 上的限制都是连续的，则 是X到Y的连续映射,21nAAAYXf:iAf粘接引理： 设 是X的一个有限闭覆盖，如果映射： 在每个 上的限制都是连续的，则 是X到Y的连续映射,21nAAAYXf:iAf证明：只需验证Y的每个闭集的原像是闭集。设B是Y的闭集，记 是 在 上的限制。则iAffiAniAniiBfABfBfi11111)()()( 由于每个 都是连续的，因此 是 的闭集。iAf)(1BfiA iA所以，有限个闭集的并仍为闭集又因为 是X的闭集，所以 也是X的闭集iA)(1BfiA 2.5 拓扑空间中的序列和其它概念 定义2.19. 设 为拓扑空

13、间,每个映射 ),( XXZ : 叫做X中的一个序列记为: Ziix 定义2.20. 设 是拓扑空间X中的一个序列 ,xX如果对于x的每一个邻域U，存在 ,使得当iM 时,有 Ziix Uxi ZM 则称点x是序列 的一个极限点 ,也称序列 ,收敛于x .记作 : Ziix Ziix xxii lim 如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列 定义2.11. 设 为拓扑空间, ,如果点xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A) ),( XXA Ziix (1) 如果 是一个常值序列，即对于某一个

14、xX，有 ,则 定理2.26设 有是X中的一个序列,则 : Ziix xxi xxii lim(2) 如果序列 收敛于xX，则序列 的每一个子序列也收敛于x Ziix Ziix 定理2.27 设X是一个拓扑空间， ,如果有一个序列 在 中，并且收敛于x，则x是集合A的一个凝聚点XA Xx xA Ziix 极限点必为凝聚点,反之未必. 第二章 拓扑空间与连续映射则 是一个开集，因此根据 (1) cBccBfBf)()(11 是X中的一个开集，因此 是X中的一个闭集 )(1Bf 证明(1)蕴涵(2)设 是闭集YB (2)蕴涵(3). 设 ,XA 由于f(A)根据(2)， 成立 2.4 拓扑基与邻域基 定义2.16. 设 为拓扑空间, B ,如果任意的 ,都存在B1 B,使的:),( X V 1B BBV 则称B是拓扑 的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基 离散空间的一个基由所有的单点子集