数值计算方法习题 2013

1、计算方法 第七章 习题复习与思考题1设f ÎC a , b，写出三种常用范数及。2f , g ÎC a , b，它们的内积是什么？如何判断函数族j 0, j 1, , j nÎC a , b在a ,b上线性无关？3什么是函数f ÎC a , b在区a , b上的n 次最佳一致逼近多项式？4什么是f 在a , b 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据的最小二乘曲线拟合？ 5什么是 a , b 上带权r (x)的正交多项式？什么是 -1, 1 上的勒让德多项式？它有什么重要性质？6什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？7用切比雪夫多项式零点做插值得到的插

2、值多项式与拉格朗日插值有何不同？8什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时为什么不直接求解法方程？9哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？10判断下列命题是否正确？（1）任何f (x) ÎC a , b都能找到n次多项式Pn (x) Î Hn，使| f (x) - Pn (x) | £ e ( e 为任给的误差限)。（2）是f (x)在 a , b上的最佳一致逼近多项式，则对成立。（3）f (x) ÎC a , b在a , b上的最佳平方逼近多项式Pn (x) Î Hn则。（4）是首项系数为1的勒让

3、德多项式，Qn (x) Î Hn是任一首项系数为1的多项式，则。（5）是-1 , 1上首项系数为1的切比雪夫多项式。Qn (x) Î Hn是任一首项系数为1的多项式，则（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。11证明函数1, x, , xn线性无关。12证明 | f g | | f | - | g | .13对f (x), g (x) ÎC 1 a , b，定义（1）；（2）。问它们是否构成内积。14对权函数r (x) = 1 + x2，区间-1 , 1，试求首项系数为1的正交多项式jn (x), n = 0, 1, 2, 3.15试证明第二类切比雪夫多项式

4、族un (x)是-1,1上带权的正交多项式。16证明对每一个切比雪夫多项式Tn (x)，有。17用T3 (x)的零点做插值点，求f (x) = ex在区间-1, 1上的二次插值多项式，并估计其最大误差界。18设，试求f (x)在0, 1上关于r (x) = 1，F = span1, x的最佳平方逼近多项式，若取F = span1, x, x2，那么最佳平方逼近多项式是什么？19求f (x) = x 3在-1 , 1上关于r (x) = 1的最佳平方逼近二次多项式。20求函数f (x)在指定区间上对于F = span1, x的最佳平方逼近多项式；（1）； （2）；（3）； （4）。上机实习题1求

5、下表数据的1, 2, 3次最小二乘多项式i012345xi00.150.310.50.60.75yi1.0001.0041.3011.1171.2231.422哪一种拟合曲线的误差最小？2由实验给出数据表x0.00.10.20.30.50.81.0y1.00.410.500.610.912.022.46试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。3一种抽样调查表明，某地的鱼的数量与种类的关系如下表xyxyxy13112912601415103014622116113116642121123617702422124013721

6、723134214100232513552213034表中x为鱼的数量，y为鱼的种类，求此问题的线性一次最小二乘解。4用最小二乘法求一形如y = a + bx2 的多项式，使之与下列数据相拟合：xi1925313844yi19.032.349.073.397.85用最小二乘法求一如R = bWa的经验公式（a, b为待定参数），使之与下列数据相拟合Wi1248163264Ri4.224.023.853.593.443.022.59若在形如lnR = lnb + alnW的基础上，加上一个二次项e (lnW)2，求形如的最小二乘拟合曲线。6已知一组实验数据如下xi0.00.91.93.03.95.0yi0.010.030.050.080.0110.0利用构造正交多项式jk (x)的办法求最小二乘二次曲线拟合。7使用快速傅里叶变换确定函数在上的16次三角插值多项式。8观测物体的直线运动，得出以下数据：时间 t / s00.91.93.03.95.0距离s / m010305080110求运动方程。9已知实验数据如下：xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y = a + bx 2的经验公式，并计算均方程误差。10在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系