无界函数广义积分

1、第2节 无界函数的广义积分定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .一、无界函数广义积分的概念类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点

2、而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义

3、 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分. badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinl

4、im0aa .2 例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因因此此当当1 q时时广广义义积积分分收收敛敛，其其值值为为q 11；当当1 q时时广广义义积积分分发发散散. 101dxxq例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3

5、032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x柯西收敛准质柯西收敛准质 定定理理( (柯柯西西准准则则) ) 瑕瑕积积分分 badxxf)(（瑕瑕点点为为 a a）收

6、收敛敛的的充充要要条条件件是是：任任给给0 ，存存在在0 ，只只要要),(,21 aauu，总总有有 2112)()()(uububudxxfdxxfdxxf 二、瑕积分的性质二、瑕积分的性质 性性质质1 1 设设函函数数1f与与2f的的瑕瑕点点同同为为ax ， ,为为任任意意常常数数，若若 badxxf)(1与与 badxxf)(2都都收收敛敛，则则 badxxfxf)()(21 也也收收敛敛，且且 bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121 性性质质3 3 设设函函数数f瑕瑕点点为为ax ， 在在任任何何有有限限区区间间, bu上上可可积积，则则当当 badxxf|

7、)(|收收敛敛，则则 badxxf)(也也收收敛敛，且且 babadxxfdxxf| )(|)(| 比较判别法的不等式形式比较判别法的不等式形式: :三、瑕积分的判别法三、瑕积分的判别法比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式: :柯西判别法的不等式形式柯西判别法的不等式形式: :发散。那么如果绝对收敛。那么的奇点，如果为设bapbapdxxfpcaxcxfdxxfpcaxcxfxfax| )(|, 1, 0,)(| )(|)(, 1, 0,)(| )(|)(柯西判别法的极限形式柯西判别法的极限形式: :发散。那么内的符号不改变，在区间且如果绝对收敛。那么如果设babapaxdxxfbaxfp

8、kdxxfpkkxfax)(,()(, 1,0)(, 1,0,| )(|)(lim例例6.ln31的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xdx解解的的左左邻邻域域内内无无界界被被积积函函数数在在点点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根据柯西极限判别法根据柯西极限判别法,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例7.1sin31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解也也收收敛敛从从而而dxxx 101sin收敛，收敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较判别原理根据比较判别原理,例：例

9、：讨论下列瑕积分的收敛性：2110ln)2(ln1dxxxdxxx；）（解解:(1)xxxxxln 1 , 0 (, 0ln，所以考虑由于的瑕点是所以再因为xxxxxxln0,)ln(lim00)4(limlnlim)ln(lim410410430 xxxxxxxxx由于,ln, 04310是收敛的所以，此时dxxxp,lnln1010是同敛散的与而dxxxdxxx是收敛的。所以dxxx10ln(2)，2, 1 (, 0lnxxx的瑕点是所以因为xxxxxxln1,lnlim11ln1limln) 1(lim11xxxxxxx由于是发散的。所以，此时dxxxp21ln, 11称此极限为广义积分

10、的柯西主值称此极限为广义积分的柯西主值,记为记为1.1.瑕积分的柯西主值瑕积分的柯西主值 四四. .柯西主值柯西主值 2.2.无穷积分的柯西主值无穷积分的柯西主值 注注: :若广义积分收敛若广义积分收敛, ,则它的柯西主值存则它的柯西主值存在在, ,但反之不一定成立但反之不一定成立. . 五五. .狄利克雷判别法与阿贝尔判别法狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 阿贝尔判别法阿贝尔判别法 例例2 2 考察广义积分的敛散性考察广义积分的敛散性221.321dxxxx解解,1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的的瑕瑕点点为为xfx 2120123lim xxxdx原原式式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 六、两类反常积分的转换六、两类反常积分的转换法法与与分分部部积积分分法法，对对于于广广义义积积分分也也有有换换元元dtttftxdxxfaa 20111 1 )(.11)( )(11210012）（