高等数学第4章导数的应用ppt课件

1、第四章第四章 导数的运用导数的运用4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.4 洛比达法那么洛比达法那么4.5 运用与实际运用与实际4.6 拓展与提高拓展与提高一一 知识构造知识构造第四章第四章 导数的运用导数的运用二二 教学根本要求和重点、难点教学根本要求和重点、难点1. 教学根本要求教学根本要求1拉格朗日中值定理；2利用洛必达法那么求函数极限的方法；3极值的概念，极值存在的必要条件；4判别函数单调性，判别极值的方法；第四章第四章 导数的运用导数的运用5曲线凹凸性判别方法与拐点的求法

2、；6求函数最大值最小值的方法；7求函数渐近线，描画简单函数图形；8边沿与弹性概念，边沿分析、弹性分 析与优化分析。第四章第四章 导数的运用导数的运用 1重点 用导数判别函数单调性，函数图形的凹向与拐点，经济函数的优化分析。 2难点 用导数判别函数单调性，描画函数图形及在经济方面的运用。2. 教学重点与难点教学重点与难点第四章第四章 导数的运用导数的运用4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性( )( )tanf bf abaabafbff)()()(第四章第四章 导数的运用导数的运用4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.1 拉格

3、朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理4.1设函数设函数f(x)满足条件满足条件(1)在闭区间在闭区间a, b上延续；上延续；(2)在开区间在开区间(a, b)内可导。内可导。那么在那么在(a, b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 ( )( )( )f bf afabba，( )( )( )()f bf afbaab，4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性 例例1 验证函数验证函数f(x)=ln(x+1)在在0, 1上能否满上能否满足拉格朗日中值定理的三个条件，如满足求出足拉格朗日中值定理的三个条件，如满足求出 。 解：解： f(x)=ln(x+1)在在

4、0, 1上延续，在上延续，在(0, 1)内内可导，满足拉格朗日中值定理，从而存在一点可导，满足拉格朗日中值定理，从而存在一点 ，使使 )01)()0() 1 (fff)01)(1ln2lnf12ln14.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.2 函数的单调性函数的单调性4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性1函数单调性的必要条件函数单调性的必要条件 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a, b上延续，在开区间上延续，在开区间(a, b)内可导内可导. 假设假设f(x)在在a, b单调添加单调添加(减少减少)，那么在那么在(a, b

5、)内内 。 ( )0( )0fxfx（）4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性2函数单调性断定法函数单调性断定法定理定理4.2 4.2 设函数设函数f(x)f(x)在区间在区间(a, b)(a, b)内可导，内可导，(1)(1)假设在区间假设在区间(a, b)(a, b)内有内有 ，那么，那么f(x)f(x)在在 (a, b)(a, b)内单调添加。内单调添加。(2)(2)假设在区间假设在区间(a, b)(a, b)内有内有 ，那么，那么f(x)f(x)在在 (a, b)(a, b)内单调减少内单调减少0)( xf0)( xf4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性

6、拉格朗日中值定理与函数的单调性例例2 讨论函数讨论函数f(x) = ln x - x的单调性。的单调性。解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 。 ), 0( xxxxf111)(0)( xf11x函数的定义域分成两个区间： (0,1)(1,)， 当0 x1时， ，故f(x)在(0,1)内单调添加；0)( xf当 时， ，故f(x)在 内单调减少。 x10)( xf), 1 ( 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.2.1 函数的极值：函数的极值：1. 极值的定义极值的定义 定义定义4.1 设函数设函数f(x)在点在点x0的某邻域内有定的某邻域内有定义，假设对该邻域内任一点义，假设对该

7、邻域内任一点x(xx0)，都有，都有f(x)f(x0)，那么称，那么称f(x0)为函数的极大值或为函数的极大值或极小值，极小值，x0为函数的极大值点极小值点。为函数的极大值点极小值点。第四章第四章 导数的运用导数的运用4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值 定理定理4.3 极值的必要条件极值的必要条件假设函数假设函数f(x)在在x0处获得极值，且导数存在，那么必有处获得极值，且导数存在，那么必有0)(0 xf定理定理4.3的逆定理不成立的逆定理不成立 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值2

8、. 极值判别法极值判别法 判别法判别法1 设函数设函数f(x)在点在点x0的某邻域内可导，的某邻域内可导，假设假设 或在点或在点x0处导数不存在但在处导数不存在但在x0处延续。处延续。 0)(0 xf(1)当x逐渐增大的经过点x0时，假设导数值由正变负，那么函数f(x)在点x0处取极大值f(x0)；假设导数值由负变正，那么函数f(x)在点x0处取极小值f(x0)。(2)当x逐渐增大的经过点x0时，假设导数值不变号，那么x0不是函数f(x)的极值点。 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值求函数极值的普通解题步骤为：(1)求出导数；(2)求出函数的可疑极值点；(3)用极值判别法1断定以上的点能

9、否为极值点；(4)求出极值点处的函数值，即为极值。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值例例3 求函数的单调区间和极值。求函数的单调区间和极值。593)(23xxxxf解：函数解：函数f(x)的定义域为的定义域为, 133963)(2xxxxxf0)( xf得到驻点 31x12x-14.2 函数的极值与最值函数的极值与最值判别法判别法 2：假设：假设 ， 存在，存在， 0)(0 xf)(0 xf (1)假设 ，那么f(x0)为极小值。0)(0 xf(2)假设 ，那么f(x0)为极大值。 0)(0 xf4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值例例4 求函数求函数 的极值。的极值。xxxfln)

10、(2解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 ), 0( ) 1ln2(ln21ln2)(2xxxxxxxxxxf121( )0efxx3ln2)( xxf02)(1 xf因此函数f(x)在x1处获得极小值 11()2ef x 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.2.2 函数的最值函数的最值 定义定义4.2 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间I上延续，假设上延续，假设x0I，且对一切，且对一切xI ，都有，都有f(x0)f(x)(或或f(x)f(x)，那么称那么称f(x0)为函数为函数f(x)的最大值或最小值。的最大值或最小值。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值 实践问题求解最

11、值的普通解题步骤为： (1)分析问题，建立目的函数 把问题的目的作为因变量，把它所依赖的量作为自变量，建立二者的函数关系，即目的函数，并确定函数的定义域。 (2)解极值问题 确定自变量的取值，使目的函数到达最大值或最小值。例例5 5 堆料场的资料运用问题堆料场的资料运用问题 欲围建一个面积为288平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三面墙壁新建，现有一批高为假设干、总长度为50米的用于围建围墙的建筑资料，问这批建筑资料能否够用？ 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值解：设场地的宽为解：设场地的宽为x x ，为使场地面积为，为使场地面积为288 288 平平方米，那么场地的长应为

12、方米，那么场地的长应为 288/x 288/x假设以 l 表示新建墙壁总长度，那么目的函数为 xxxl2882)(), 0( x1求导数： 22882)(xxl 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值2求驻点和不可导点：令02882)(2xxl得驻点为x=12 3求二阶导数： 325762882)(xxxl0576)12(123xxl所以， x=12是极小值点。 即当宽12米，长为24米时，用料最少。 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.1 曲线的凹凸及其判别法曲线的凹凸及其判别法 定义4.3 假设曲线弧位于其每一点切线的上(下)方，那么称

13、曲线弧是凹(凸)的。第四章第四章 导数的运用导数的运用4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 假设曲线是凹的，那么其切线的倾斜角随假设曲线是凹的，那么其切线的倾斜角随x的增大而增大。的增大而增大。 4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 假设曲线是凸的，那么其切线的倾斜角随假设曲线是凸的，那么其切线的倾斜角随x的增大而减少。的增大而减少。4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点曲线凹凸的断定法曲线凹凸的断定法 设设f(x)在在(a, b)内具有二阶导数内具有二阶导数(1)假设在(a, b)内有 ，那么曲线在(a, b) 内是凹的；0)( xf(2)假设在(a, b)内有 ，那么曲线在(a,

14、 b) 内是凸的。0)( xf4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.2 曲线的拐点曲线的拐点 普通地延续曲线凹凸两段弧的分界点称为曲线的拐点。 求延续曲线的拐点步骤如下：(1)求出函数f(x)的 或 不存在的点。(2)在求出点的左、右两边，假设 异号，那么该点就是拐点，否那么，就不是拐点。0)( xf)(xf )(xf 4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点例例6 求曲线的凹向区间与拐点。求曲线的凹向区间与拐点。 1arctan234xxy解：解： 2364xxy) 1(1212122xxxxy1201xx，41arctan0 xy141arctan211xy拐点为 和 )4, 0

15、() 14, 1 (4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.3 曲线的渐近线曲线的渐近线 假设曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某直线L的间隔趋于零，那么L称为该曲线的渐近线。 渐近线分为三类：程度渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。 4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点1. 垂直渐近线垂直渐近线 假设 ，那么c是f(x)的垂直渐近线。 )(limxfcx( )lnsinf xx4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点2. 程度渐近线程度渐近线 bxfx)(lim，那么y=b是f(x)的程度渐近线。( )1xf xxx=-1为垂直渐近线为垂直渐近线 y=1为程度渐

16、近线为程度渐近线 4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.4 作函数图形的普通步骤作函数图形的普通步骤1确定函数的定义域、延续点；2确定函数的特性，如奇偶性、周期性等；3求出函数的一二阶导数，确定极值点、拐点；4确定曲线的渐近线；5计算一些特殊点的坐标；6延续点、极值点与拐点把定义域分为假设干区间，列表阐明这些区间上函数的增减性与凹凸性；7作图。4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点例例6 作出函数作出函数 的图形。的图形。xxy3解解: 函数的定义域为函数的定义域为 ，非奇非偶函数，非奇非偶函数，没有渐近线没有渐近线 ；3 ,(xxxxxy32363230 y2x又x=3时一阶导数

17、不存在 0)3(443322323)3236(23 xxxxxxxxy4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.4 洛比达法那么洛比达法那么1. 型未定式型未定式 00法那么法那么1 设函数设函数f(x)和和g(x)满足条件：满足条件：第四章第四章 导数的运用导数的运用(2)在点a的某个空心邻域内， ， 存在，且 ；)(xf ( )g x0)( xg0)(lim)(limxgxfaxax(1)()(limxgxfax(3) 存在或为 )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax4.4 洛比达法那么洛比达法那么例例 7 22322000tansec11tan1limlimlim333x

18、xxxxxxxxx2222222222tansec()sec11limlimlim444422tansec()secxxxxxxxxxxx2. 型未定式型未定式 法那么法那么2 设函数设函数f(x)和和g(x)满足条件：满足条件：(2)在点a的某个空心邻域内， ， 存在，且 ；)(xf ( )g x0)( xglim( )lim ( )xaxaf xg x (1)()(limxgxfax(3) 存在或为 )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax4.4 洛比达法那么洛比达法那么4.4 洛比达法那么洛比达法那么例例 8 200001lnsinlimlimlimlim sin0cotcs

19、cxxxxxxxxxxx 22356561limlimlim621122122xxxxxxxxx4.5 运用与实际运用与实际第四章第四章 导数的运用导数的运用4.4.1 运用运用1边沿分析边沿分析 00limlimxxC xxC xCMCCxxx 边沿本钱边沿本钱)(xRdxdRMR边沿收入边沿收入边沿利润边沿利润)(xLdxdLML4.5 运用与实际运用与实际 例例 9 某糕点厂消费某种糕点的收入函数为某糕点厂消费某种糕点的收入函数为 (千元千元)，本钱函数为，本钱函数为 (千元千元)，x的单位是百公斤问应消费多少公斤糕点才不的单位是百公斤问应消费多少公斤糕点才不赔钱？赔钱？ ( )R xx

20、3( )1xC xx解：利润函数解：利润函数 3( )( )( )1xL xR xC xx4.5 运用与实际运用与实际当x=9百公斤时，L(x)=0，不赔钱。当x9百公斤时，L(x)9百公斤时，L(x)0，赚钱。 边沿利润 ，阐明多消费可以提高总利润 。22( )0(1)MLL xxx 当边沿利润大于零时，仅阐明总利润在递当边沿利润大于零时，仅阐明总利润在递增，并不阐明赚钱。增，并不阐明赚钱。 4.5 运用与实际运用与实际 例例10 假设某产品每天消费假设某产品每天消费x单位时，总本钱单位时，总本钱函数函数 元，销售单价为元，销售单价为25元。元。设产品能全部售出，问每天消费多少单位时，才设产

21、品能全部售出，问每天消费多少单位时，才能获得最大利润。能获得最大利润。 2C( )0.2510 xxx解：总收益函数解：总收益函数 xpx25R(x)总利润函数 2( )( )( )15 -0.25L xR xC xxx4.5 运用与实际运用与实际( )150.50L xx30 x 由于L(x)是单峰曲线， x=30就是L(x)的最大值点，最大值为L(30)=225元。所以产量为30单位时，能获得最大利润225元。 为获得最大利润，应将产量调整到边沿收益为获得最大利润，应将产量调整到边沿收益等于边沿本钱的程度。等于边沿本钱的程度。 4.5 运用与实际运用与实际 例例11 设每月产量为设每月产量

22、为x吨时，总本钱函数吨时，总本钱函数 元。求元。求(1)最低平均本钱；最低平均本钱；(2)相应产量的边沿本钱。相应产量的边沿本钱。21( )849004C xxx解：解：(1)平均本钱函数为平均本钱函数为 ( )1490084C xACxxx 4.5 运用与实际运用与实际2490041xCA0CA140 x此时 ，所以AC最小，最小值为78元。0 CA (2)边沿本钱函数为 ，当产量为140吨时，边沿本钱为78(元。1( )82MCC xx最低平均本钱与相应产量的边沿本钱相等。最低平均本钱与相应产量的边沿本钱相等。 4.5 运用与实际运用与实际2弹性分析弹性分析 用需求弹性去分析总收益或市场销

23、售总额的变化。 总收益R是商品价钱p与销售量Q的乘积，即R=pQ ，那么(1)(1)ppRQp QQQQQ4.5 运用与实际运用与实际 例例12 设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为Q=2-0.1p(Q是是需求量，需求量，p是价钱，是价钱，(1)求需求弹性；求需求弹性；(2)讨论讨论需求弹性的变化对总收益的影响。需求弹性的变化对总收益的影响。解：解： (1)需求弹性为需求弹性为0.120.120pppQQpp 4.5 运用与实际运用与实际 (2) 令 ，得p=10。1p 当0p10时， 低弹性，此时应采用提高价钱的手段使总收益添加；1p 当10pvalue 在指定区间上按选项定义值同时画出

24、多个函数在直角坐标系中的图形，其格式如下：Plotf1 ， f2， f3， x，xmin，xmax，option-value 4.5 运用与实际运用与实际例例13 描画描画 函数的图像。函数的图像。29623xxxy解：解： In1: _:= 36 292f xxxxIn2: Plot , ,0.1,3.8f xxOut2Graphics Out2Graphics 4.6 拓展与提高拓展与提高第四章第四章 导数的运用导数的运用1. 用函数单调性的断定法证明不等式用函数单调性的断定法证明不等式例例14 试证：当试证：当x0时，有时，有 xln(1+x)。 4.6 拓展与提高拓展与提高2. 利用极

25、值判别法利用极值判别法1和极值判别法和极值判别法2在判别极值在判别极值为极大值还是极小值时，应留意以下原那么：为极大值还是极小值时，应留意以下原那么： (1)(1)假设较假设较 简单，那么极值判别法简单，那么极值判别法2 2更方便些；更方便些；反之，那么应选用极值判别法反之，那么应选用极值判别法1 1。 )(xf (2)(2)假设假设 ，那么极值判别法，那么极值判别法2 2失效，须用极失效，须用极值判别法值判别法1 1判别。判别。0)(0 xf4.6 拓展与提高拓展与提高例例15 求函数求函数 的极值。的极值。322)2()(xxxf解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为 ),(3231223)1 (4)22()2(32)(xxxxxxxf 函数在x=1处导数等于零，在x=0，x=2处导数不存在。列表如下： 4.6 拓展与提高拓展与提高3. 斜渐近线斜渐近线 ，那么y=ax+b是f(x)的斜渐近线。lim