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文档简介

1、例例 1 设方程设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数为常数)确定函确定函数数 y = y(x), .ddxy求求解解 在方程两边求微分,在方程两边求微分,d(x2 + y2 ) = dR2,即即2xdx + 2ydy = 0.由此,当由此,当 y 0 时解得时解得,yxxy dd或或.yxyx 例例 2 设方程设方程 y + x exy = 0 确定了函数确定了函数 y = y(x),.xy 求求解解 方程两边求微分,得方程两边求微分,得d(y + x exy) = d0,即即dy + dx - dexy = 0,dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0.当当 1 - x

2、exy 0 时,解得时,解得,xyxyxyxye11edd 即即.e11exyxyxxyy 例例 3 求曲线求曲线 x2 + y4 = 17 在在 x = 4 处对应于曲处对应于曲线上的点的切线方程线上的点的切线方程.解解 方程两边求微分,得方程两边求微分,得2xdx + 4y3dy = 0,得得).0(2dd3 yyxxy 即对应于即对应于 x = 4 有两个纵坐标,这就是说曲线上有两个点有两个纵坐标,这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和和 P2(4, - 1).将将 x = 4 代入方程,得代入方程,得 y = 1.在在 P1 处的切线斜率处的切线斜率 y|(4,1)= - 2,y

3、 1 = - 2(x - 4) 即即 y + 2x 9 = 0在点在点 P2 处的切线方程为处的切线方程为y + 1 = 2(x - 4),即,即 y - 2x + 9 = 0 在在 P2 处切线的处切线的斜率斜率 y|(4, - 1) = 2.所以,在点所以,在点 P1 处的切线方程为处的切线方程为补证反三角函数的导数公式:补证反三角函数的导数公式:设设 y = arcsin x,那么,那么 x = sin y,两边求微分,得,两边求微分,得dx = cos ydy,.cos1yy 时时,因因为为22 ycos y 取正号,取正号,.1sin1cos22xyy 所所以以.11)(arcsin

4、2xx 类似可证明类似可证明;11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xxarc 参数方程,它的普通方式为参数方程,它的普通方式为. )()(Ittfytx区区间间, 对方程对方程 两边求微分,得两边求微分,得dy = f (t)dt,同样对方程同样对方程 两边求微分,得两边求微分,得dx = (t)dt,得得时,时,当当0)( t ,d)(d)(ddttttfxy 所以所以即即.)()(ttfyx ,)()(ddttfxy 例例 4设参数方程设参数方程 tbytaxsincos , ( (椭圆方程椭圆方程) )确确定了函数定了函数 y = y(x)y =

5、y(x),.ddxy求求解解 dx = - a sin tdt, dy = bcos tdt ,所以所以.cotdsindcosddtabttattbxy 3 t解解 与与 对应的曲线上的点为对应的曲线上的点为 ,21,233 aaP dy = asin t dt , dx = a(1 cos t)dt ,例例 5求摆线求摆线 (a 为常数为常数) 在对应于在对应于 时曲线上点的切线方程时曲线上点的切线方程 . )cos1( )sin(tayttax,3 t点点 P 处的切线方程为处的切线方程为. 233321 aaxay所以所以. 3dd,cos1sindd3 txyttxy例例 6 设炮弹

6、与地平线成设炮弹与地平线成 a 角,初速为角,初速为 v0 射出,射出,假设不计空气阻力,以发射点为原点,假设不计空气阻力,以发射点为原点, 地平线为地平线为 x 轴,过原点垂直轴,过原点垂直 x 轴方向上的直线为轴方向上的直线为 y 轴轴(如图如图).由物理学知道它的运动方程为由物理学知道它的运动方程为 .21sin,cos200gttvytvx 求求(1)炮弹在时辰炮弹在时辰 t 时的速度大小与方向,时的速度大小与方向, (2)(2)假设假设中弹点与以射点同在一程度线上,求炮弹的射程中弹点与以射点同在一程度线上,求炮弹的射程. . yOx中弹点中弹点xvyv解解 (1)炮弹的程度方向速度为

7、炮弹的程度方向速度为 .cosdd0 vtxvx 炮弹的垂直方向速度为炮弹的垂直方向速度为,gtvtyvy sindd0yOx中弹点中弹点 vxvy所以,在所以,在 t 时炮弹速度的大小为时炮弹速度的大小为,2202022sin2|tggtvvvvvyx 它的位置是在它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上,且沿炮时所对应的点处的切线上,且沿炮弹的前进方向,其斜率为弹的前进方向,其斜率为(2)(2)令令 y = 0 y = 0,得中弹点所对应的时辰,得中弹点所对应的时辰 ,gvt sin200 .2sin200 gvxt 所所以以射射程程.cossindd00 vgtvxy 解两边取对数,得解两边取对数,得, )2ln()1ln()1ln(231ln xxxy两边求微分,两边求微分, xxxxxxyyd21d11d11231d1例例 7 设设.,)2)(1()1(2yxxxy 求求3所以所以.21111231dd xxxyxyy.211112)2)(1()1(3132 xxxxxx例例 8设设 y = (tan x)x,求,求 y .解解lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)xxxxxxyyd)cos

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