数学归纳法探究学案 (2)

1、数学归纳法探究学案 授课人 高一数学组：甘宗平教学目标：1、知识目标：（1）了解数学推理的常用方法归纳法；（2）了解数学归纳法的原理及使用范围；（3）掌握数学归纳法证明命题的两个步骤一个结论，会用数学归纳法证明简单的恒等式。2、能力目标：由数学归纳法证明简单恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳猜想证明”这一探索发现的思维方法。教学重点：1、理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤；2、能用数学归纳法证明一些简单的恒等式。教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。教学过程：一、 导入探究1：请看下面两个例题，它们的结论是否正确？1、如果等差数列an的首项是a1，公差是d，我们根据等差数列的定

2、义，可以得到 a2= a1 +d a3= a2 +d= a1 +2d a4= a3 +d= a1 +3da5= a4 +d= a1 +4d 由此，猜想 an= a1 +（ ）d2、数列an满足an=(n2-5n+5)2,容易验证a1 =_, a2=_, a3=_, a4 =_。猜想：对n N+,都有an =_.很显然，第一个结论是正确的，第二个结论是错误的，它们都是采用不完全归纳法，得出结论容易，但结论不一定可靠。那么，怎样判断用归纳方法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢？ 接下来我们就一起学习这种方法数学归纳法。二、讲授新课。1、多米诺骨牌实验探究2：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部

3、倒下的条件是什么？（1）_ （奠基作用）（2）_ （递推作用）2、数学归纳法的定义 我们对某些与正整数n有关的数学命题，常常用下面的方法来证明：先验证当n取第一个值n0时命题成立，然后在当n=k(kN+,kn0)时命题成立的假设下，证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做数学归纳法3、探究3：你认为用数学归纳法证明等差数列的通项公式an= a1 +（n-1）d这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？3、数学归纳法的证题步骤用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的两个步骤是：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0 (n0N+)时结论成立；（2）（归纳

4、递推）假设当n=k(kN+,kn0)时结论成立，证明当n=_时结论也成立。4、典例探究例：用数学归纳法证明：2+4+6+ +2n=n(n+1) (nN+)三、当堂训练用数学归纳法证明:(1)1+3+5+7+ +（2n-1）=n2 (nN+)(2) 2+2×3+2×32 +2×3n-1 = 3n-1 (nN+) 注意：（1）数学归纳法只适用与正整数有关的命题；（2）n0不一定取1，根据题中情况有时可取2、3等；（3）在证明“当n=k+1时结论成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时结论成立”这一条件；（4）、数学归纳法的两个步骤缺一不可。四、课后训练1、用数学归纳法证明:（1）1×4+2×7+3×10+ n(3n+1)= n(n+1)2(2)首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 (nN+)(3)凸n边形的对角线的条数为 f(n)=n(n-3)/2 (n4)2、数列an满足sn =2n-an（1）、计算a1、a2、a3、a4，并由此猜想通项公式an（2）、用数学归纳法证明（1）中的猜想。五、课堂小结：1、用数学归纳法证明命题的关键在于正确理解数学归纳法的两个步骤，其中，第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两个步骤缺一不可。2、应用数学归纳法不但可以证明恒等式，还可以证