第六章_隧道衬砌计算课件

1、第六章第六章 隧道衬砌结构计算隧道衬砌结构计算n概述概述n隧道结构上的荷载类型及其组合隧道结构上的荷载类型及其组合 n半衬砌计算半衬砌计算n曲墙式衬砌计算曲墙式衬砌计算4.1 引言引言n隧道结构工程特性、设计原则和方法与地面结构隧道结构工程特性、设计原则和方法与地面结构完全不同，完全不同，隧道结构是由周边围岩和支护结构两隧道结构是由周边围岩和支护结构两者组成共同的并相互作用的结构体系者组成共同的并相互作用的结构体系。各种围岩。各种围岩都是具有不同程度自稳能力的介质，都是具有不同程度自稳能力的介质，周边围岩在周边围岩在很大程度上是隧道结构承载的主体，其承载能力很大程度上是隧道结构承载的主体，其承

2、载能力必须加以充分利用必须加以充分利用。隧道衬砌的设计计算必须结。隧道衬砌的设计计算必须结合围岩自承能力进行，对隧道衬砌的要求除必须合围岩自承能力进行，对隧道衬砌的要求除必须保证有足够的保证有足够的净空净空外，还要求有足够的外，还要求有足够的强度强度，以，以保证在使用年限内结构物有可靠的安全度。保证在使用年限内结构物有可靠的安全度。n隧道建筑虽然是一种古老的建筑结构，但其结构计算理论隧道建筑虽然是一种古老的建筑结构，但其结构计算理论的形成却较晚。从现有资料看，最初的计算理论形成于十的形成却较晚。从现有资料看，最初的计算理论形成于十九世纪九世纪 。最初的隧道衬砌使用砖石材料，其结构型式通。最初的

3、隧道衬砌使用砖石材料，其结构型式通常为拱形。采用的截面厚度常常很大，所以结构变形很小，常为拱形。采用的截面厚度常常很大，所以结构变形很小，可以忽略不计。因为构件的刚度很大，故将其视为刚性体，可以忽略不计。因为构件的刚度很大，故将其视为刚性体，计算时按静力学原理确定其承载时计算时按静力学原理确定其承载时压力线压力线位置，检算结构位置，检算结构强度。强度。n在十九世纪末，混凝土已经是广泛使用的建筑材在十九世纪末，混凝土已经是广泛使用的建筑材料，它具有整体性好，可以在现场根据需要进行料，它具有整体性好，可以在现场根据需要进行模注等特点。这时，隧道衬砌结构是作为超静定模注等特点。这时，隧道衬砌结构是作

4、为超静定弹性拱计算的，但仅考虑作用在衬砌上的围岩压弹性拱计算的，但仅考虑作用在衬砌上的围岩压力，而未将围岩的弹性抗力计算在内，忽视了围力，而未将围岩的弹性抗力计算在内，忽视了围岩对衬砌的约束作用。岩对衬砌的约束作用。其计算原理和地面结构一其计算原理和地面结构一样。样。 由于把衬砌视为自由变形的弹性结构，因而，由于把衬砌视为自由变形的弹性结构，因而，通过计算得到的衬砌结构厚度很大，过于安全。通过计算得到的衬砌结构厚度很大，过于安全。 n进入二十世纪后，通过长期观测，发现围岩不仅进入二十世纪后，通过长期观测，发现围岩不仅对衬砌施加压力，同时还约束着衬砌的变形。围对衬砌施加压力，同时还约束着衬砌的变

5、形。围岩对衬砌变形的约束，对改善衬砌结构的受力状岩对衬砌变形的约束，对改善衬砌结构的受力状态有利，不容忽视。衬砌在受力过程中的变形，态有利，不容忽视。衬砌在受力过程中的变形，一部分结构有离开围岩形成一部分结构有离开围岩形成“脱离区脱离区”的趋势，的趋势，另一部分压紧围岩形成所谓另一部分压紧围岩形成所谓“抗力区抗力区”，如图，如图6-1所示。在抗力区内，约束着衬砌变形的围岩，相所示。在抗力区内，约束着衬砌变形的围岩，相应地产生被动抵抗力，即应地产生被动抵抗力，即“弹性抗力弹性抗力”。n因围岩性质、围岩压力大小和结构变形的不同而因围岩性质、围岩压力大小和结构变形的不同而异。但是对这个问题有不同的见

6、解，即局部变形异。但是对这个问题有不同的见解，即局部变形理论和共同变形理论。理论和共同变形理论。 图4-1 抗力区和脱离区 局部变形理论局部变形理论n局部变形理论是以温克尔（局部变形理论是以温克尔（E.Winkler）假定为基）假定为基础的。它认为应力（础的。它认为应力（i）和变形（）和变形（j）之间呈线性）之间呈线性关系，即关系，即i=ki，k为独立岩柱的弹性抗力系数，为独立岩柱的弹性抗力系数，见图见图4-2a。这一假定，相当于认为围岩是一组各。这一假定，相当于认为围岩是一组各自独立的弹簧，每个弹簧表示一个小岩柱。自独立的弹簧，每个弹簧表示一个小岩柱。 4-2a 独立的弹簧独立的弹簧 共同变

7、形理论 n共同变形理论把围岩视为弹性半无限体，考虑相共同变形理论把围岩视为弹性半无限体，考虑相邻岩柱之间变形的相互影响，即考虑独立岩柱之邻岩柱之间变形的相互影响，即考虑独立岩柱之间的联系。它用纵向变形系数间的联系。它用纵向变形系数E和横向变形系数和横向变形系数表示地层特征，并考虑粘结力表示地层特征，并考虑粘结力C和内摩擦角和内摩擦角的影的影响。但这种方法所需围岩物理力学参数较多，计响。但这种方法所需围岩物理力学参数较多，计算相对复杂。算相对复杂。 ii 4-2b 联合的弹簧联合的弹簧 国际隧道协会国际隧道协会(ITA)在在1987年成立了隧道结构年成立了隧道结构设计模型研究组，收集和汇总了各会

8、员国采用的设计模型研究组，收集和汇总了各会员国采用的地下结构设计方法。经过总结，国际隧道协会认地下结构设计方法。经过总结，国际隧道协会认为，目前采用的地下结构设计方法可以归纳为以为，目前采用的地下结构设计方法可以归纳为以下下4种设计模型：种设计模型：n以参照过去隧道工程实践经验进行工程类比为主以参照过去隧道工程实践经验进行工程类比为主的经验设计法；的经验设计法；n以现场量测和试验为主的实用设计方法；以现场量测和试验为主的实用设计方法；n荷载荷载结构模型。将围岩对结构的作用简化为荷结构模型。将围岩对结构的作用简化为荷载作用于结构上进行计算；载作用于结构上进行计算；n连续介质模型，将围岩和结构作为

9、整体进行计算。连续介质模型，将围岩和结构作为整体进行计算。包括解析法和数值法，数值计算法目前主要是有包括解析法和数值法，数值计算法目前主要是有限单元法，也可利用各种有限元软件来计算。限单元法，也可利用各种有限元软件来计算。n从各国的地下结构设计实践看，主要采用上述从各国的地下结构设计实践看，主要采用上述后后两类计算模型两类计算模型，荷载，荷载-结构计算模型主要适用于围结构计算模型主要适用于围岩因过分变形而发生松弛和崩塌，支护结构主动岩因过分变形而发生松弛和崩塌，支护结构主动承担围岩承担围岩“松动松动”压力的情况。压力的情况。利用这类模型进利用这类模型进行隧道支护结构设计的关键问题，是如何确定作

10、行隧道支护结构设计的关键问题，是如何确定作用在支护结构上的主动荷载，其中最主要的是围用在支护结构上的主动荷载，其中最主要的是围岩所产生的松动压力，以及弹性支承给支护结构岩所产生的松动压力，以及弹性支承给支护结构的弹性抗力。的弹性抗力。一旦这两个问题解决了，剩下的就一旦这两个问题解决了，剩下的就只是运用普通结构力学方法求出超静定结构的内只是运用普通结构力学方法求出超静定结构的内力和位移了。属于这一类模型的计算方法有：力和位移了。属于这一类模型的计算方法有：弹弹性连续框架（含拱形）法、假定抗力法和弹性地性连续框架（含拱形）法、假定抗力法和弹性地基梁（含曲梁和圆环）法基梁（含曲梁和圆环）法等都可归属

11、于荷载等都可归属于荷载-结构结构法。法。 第六章第六章 隧道衬砌结构计算隧道衬砌结构计算n概述概述n隧道结构上的荷载类型及其组合隧道结构上的荷载类型及其组合 n半衬砌计算半衬砌计算n曲墙式衬砌计算曲墙式衬砌计算4.2荷载类型荷载类型n公路隧道设计规范公路隧道设计规范（JTG D70-2004）中在对隧道结构进行计算时，列出了荷载中在对隧道结构进行计算时，列出了荷载类型，如表类型，如表4-1所示，并按其可能出现的最所示，并按其可能出现的最不利组合考虑。不利组合考虑。 n围岩压力与结构自重力是隧道结构计算的围岩压力与结构自重力是隧道结构计算的基本荷载。明洞及明挖法施工的隧道，填基本荷载。明洞及明挖

12、法施工的隧道，填土压力与结构自重力是结构的主要荷载土压力与结构自重力是结构的主要荷载。 表表4-1 作用在隧道结构上的荷载作用在隧道结构上的荷载编号编号荷载类型荷载类型荷荷 载载 名名 称称1 1永久荷载永久荷载（恒载）（恒载）围岩压力围岩压力2 2结构自重力结构自重力3 3填土压力填土压力 水压力水压力4 4混凝土收缩和徐变影响力混凝土收缩和徐变影响力5 5可可变变荷荷载载基本基本可变可变荷载荷载公路车辆荷载，人群荷载公路车辆荷载，人群荷载6 6立交公路车辆荷载及其所产生的冲击力和土压力立交公路车辆荷载及其所产生的冲击力和土压力7 7 立交铁路列车活载及其所产生的冲击力和土压力立交铁路列车活

13、载及其所产生的冲击力和土压力8 8其它其它可变可变荷载荷载立交渡槽流水压力立交渡槽流水压力9 9温度变化的影响力温度变化的影响力1010冻胀力冻胀力 施工荷载施工荷载1111偶然偶然荷载荷载落石冲击力落石冲击力1212地震力地震力荷载组合：荷载组合：n结构自重围岩压力附加恒载（结构自重围岩压力附加恒载（基本基本）n结构自重土压力公路荷载附加恒载结构自重土压力公路荷载附加恒载n结构自重土压力附加恒载施工荷载结构自重土压力附加恒载施工荷载n 温度作用力温度作用力n结构自重土压力附加恒载地震作用结构自重土压力附加恒载地震作用n附加恒载：伴随隧道运营的各种设备设施附加恒载：伴随隧道运营的各种设备设施的

14、荷载等。的荷载等。 作用在隧道结构上的荷载，按其性质作用在隧道结构上的荷载，按其性质也可以区分为也可以区分为主动荷载主动荷载和和被动荷载被动荷载。n主动荷载是主动作用于结构、并引起结构主动荷载是主动作用于结构、并引起结构变形的荷载；变形的荷载； n被动荷载是因结构变形压缩围岩而引起的被动荷载是因结构变形压缩围岩而引起的围岩被动抵抗力，即弹性抗力，它对结构围岩被动抵抗力，即弹性抗力，它对结构变形起限制作用。变形起限制作用。n主动荷载包括主动荷载包括主要荷载主要荷载（指长期及经常作用的荷（指长期及经常作用的荷载，有围岩压力、回填土荷载、衬砌自重、地下载，有围岩压力、回填土荷载、衬砌自重、地下静水压

15、力等）和静水压力等）和附加荷载附加荷载（指非经常作用的荷载，（指非经常作用的荷载，有灌浆压力、冻胀压力、混凝土收缩应力、温差有灌浆压力、冻胀压力、混凝土收缩应力、温差应力以及地震力等），计算时应根据这两类荷载应力以及地震力等），计算时应根据这两类荷载同时存在的可能性进行组合。同时存在的可能性进行组合。在一般情况下可仅在一般情况下可仅按主要荷载进行计算。按主要荷载进行计算。特殊情况下才进行必要的特殊情况下才进行必要的组合，并选用相应的安全系数检算结构强度。组合，并选用相应的安全系数检算结构强度。n被动荷载主要指，围岩的弹性抗力它只产生在被被动荷载主要指，围岩的弹性抗力它只产生在被衬砌压缩的那部分

16、周边上。衬砌压缩的那部分周边上。其分布范围和图式一其分布范围和图式一般可按工程类比法假定，通常可作简化处理般可按工程类比法假定，通常可作简化处理。第六章第六章 隧道衬砌结构计算隧道衬砌结构计算n概述概述n隧道结构上的荷载类型及其组合隧道结构上的荷载类型及其组合 n半衬砌计算半衬砌计算n曲墙式衬砌计算曲墙式衬砌计算n拱圈直接支承在坑道围岩侧壁上时，称为拱圈直接支承在坑道围岩侧壁上时，称为半衬砌，如图半衬砌，如图4-3所示。常适合于坚硬和较所示。常适合于坚硬和较完整的围岩（完整的围岩（IIII级）中，或用先拱后墙级）中，或用先拱后墙法施工时，拱圈也处于半衬砌工作状态。法施工时，拱圈也处于半衬砌工作

17、状态。图图4-3 半衬砌半衬砌4.3.1计算图式、基本结构及正则方程计算图式、基本结构及正则方程 基本假定基本假定 n在垂直荷载作用下拱圈向隧道内变形为自由变形，在垂直荷载作用下拱圈向隧道内变形为自由变形，不产生弹性抗力不产生弹性抗力 ；n拱脚产生角位移和线位移，并使拱圈内力发生改拱脚产生角位移和线位移，并使拱圈内力发生改变，计算中除按固端无铰拱考虑外，还必须考虑变，计算中除按固端无铰拱考虑外，还必须考虑拱脚位移的影响拱脚位移的影响 n拱脚没有径向位移，只有切向位移；拱脚没有径向位移，只有切向位移；n对称的垂直分位移对拱圈内力不产生影响；对称的垂直分位移对拱圈内力不产生影响；n拱脚的转角和切向

18、位移的水平分位移是必须考虑拱脚的转角和切向位移的水平分位移是必须考虑的的 图中所示为正号方向，即水平分位移向外为正，转角与正弯矩方向相图中所示为正号方向，即水平分位移向外为正，转角与正弯矩方向相同时为正。采用力法计算时，将拱圈在拱顶处切开，取基本结构如图同时为正。采用力法计算时，将拱圈在拱顶处切开，取基本结构如图4-4b所示。固端无铰拱为三次超静定，有三个多余未知力，即弯矩所示。固端无铰拱为三次超静定，有三个多余未知力，即弯矩X1，轴向力轴向力X2和剪力和剪力X3。结构对称和荷载对称时。结构对称和荷载对称时X30，变成二次超静定，变成二次超静定结构。按拱顶切开处的截面相对变位为零的条件，可建立

19、如下正则方结构。按拱顶切开处的截面相对变位为零的条件，可建立如下正则方程式：程式：21qkokL/2kqooyfxxx uu u a 半衬砌的计算简图半衬砌的计算简图 b 半衬砌计算的基本结构半衬砌计算的基本结构图图4-4 半衬砌基本结构及约束半衬砌基本结构及约束式中：式中： 单位变位，即在基本结构上，因单位变位，即在基本结构上，因 作用时作用时 ，在，在 方向上所产生的变位；方向上所产生的变位； 荷载变位，即基本结构因外荷载作用，荷载变位，即基本结构因外荷载作用，在在 方向的变位；方向的变位； f拱圈的矢高；拱圈的矢高； 拱脚截面的最终转角和水平位移。拱脚截面的最终转角和水平位移。01122

20、111apXX02222211aapufXXik1kXiXipiXaau,（4-1） 4.3.2单位变位及荷载变位的计算单位变位及荷载变位的计算 式中： 基本结构在 作用下所产生的弯矩； 基本结构在 作用下所产生的弯矩； 基本结构在外荷载作用下所产生的弯矩； EJ结构的刚度。 由结构力学求变位的方法（轴向力与剪力影响忽略不计）知道：由结构力学求变位的方法（轴向力与剪力影响忽略不计）知道：dsEJMMkiikdsEJMMpiip0iM1iXkM1kX0pM（4-2） Mp0p0pu0101M=11x1u1+1+V12+u21ux2=1图图4-5 单位荷载和外荷载作用下的内力图单位荷载和外荷载作用

21、下的内力图n在进行具体计算时，由于结构对称、荷载在进行具体计算时，由于结构对称、荷载对称，只需计算半个拱圈。在很多情况下，对称，只需计算半个拱圈。在很多情况下，衬砌厚度是改变的，给积分带来不便，这衬砌厚度是改变的，给积分带来不便，这时可将拱圈分成偶数段，用抛物线近似积时可将拱圈分成偶数段，用抛物线近似积分法代替，式（分法代替，式（4-2）可以改写为：）可以改写为：利用式（利用式（4-3），参照图），参照图4-5容易求得下列变位：容易求得下列变位：4.3.3拱脚位移计算n（1）单位力矩作用时）单位力矩作用时单位力矩作用在拱脚围岩上时，拱脚截面绕单位力矩作用在拱脚围岩上时，拱脚截面绕中心点中心点a

22、转过一个角度转过一个角度 ，如图，如图4-6所示，所示，拱脚截面仍保持为平面，其内（外）缘处拱脚截面仍保持为平面，其内（外）缘处围岩的最大应力围岩的最大应力 和拱脚内（外）缘的最和拱脚内（外）缘的最大沉陷为大沉陷为 111216aaabhWM2116aaabhkkaaaaaJkbhkh11223110au= 0= 1u= 1i= 011 2Mh1 2hu2c o ss i n H1 2= 0= 1u= 1i= 011 2Mh1 2hu2c o ss i n H1 2图图4-6 拱脚截面在单位力矩下的变位关系拱脚截面在单位力矩下的变位关系 n(2)单位水平力作用时 单位水平力可以分解为轴向分力和

23、切向分力，计算时只需考虑轴向分力的影响，如图4-7所示。作用在围岩表面的均布应力和拱脚产生的均匀沉陷为：= 0= 1u= 1i= 011 2Mh1 2hu2c o ss i n H1 2图图4-7 单位轴向分力下的变位关系单位轴向分力下的变位关系 aabhcos2aaaabhkkcos22aaaabhku222coscos02n(3)外荷载作用时 在外荷载作用下，基本结构中拱脚点处产生弯矩 和轴向力 ，如图4-8所示，拱脚截面的转角 和水平位移 为：0apM0apN0ap0apu1020100apapapapMHMaaaapapapapbhkNuHuMucos020100（4-7） MVHPP

24、PP0Pu0h000图图4-8 外荷载下拱脚截面的变位关系外荷载下拱脚截面的变位关系n(4)拱脚位移 拱脚的最终转角 和水平位移 可分别考虑 和外荷载的影响，按叠加原理求得，可表示为： aau21,XX012211012211)()(apaapauu fuXuXufXX（4-8） 将式（4-7）和（4-8）代入正则方程（4-1）可得：0)()()(0)()()(002122122221121101121221111apappappufffu fuXfuXfXX4.3.4拱圈截面内力拱圈截面内力002022212110212111aXaXaaXaXa22112121012201122211212

25、201210221aaaaaaaXaaaaaaaX00220011011211212211212212222211111apappappufaafufaaffu fuaa其中：则任意截面处的内力为则任意截面处的内力为02021cosipiiipiiNXNMyXXMxy第四章第四章 隧道衬砌结构计算隧道衬砌结构计算n概述概述n隧道结构上的荷载类型及其组合隧道结构上的荷载类型及其组合 n半衬砌计算半衬砌计算n曲墙式衬砌计算曲墙式衬砌计算曲墙式衬砌计算曲墙式衬砌计算 n在衬砌承受较大的垂直方向和水平方向的在衬砌承受较大的垂直方向和水平方向的围岩压力时，常常采用曲墙式衬砌型式。围岩压力时，常常采用曲墙

26、式衬砌型式。它由它由拱圈拱圈、曲边墙曲边墙和和底板底板组成，有向上的组成，有向上的底部压力时设仰拱。底部压力时设仰拱。n曲墙式衬砌常用于曲墙式衬砌常用于IVVI级较差围岩中，级较差围岩中，拱圈和曲边墙作为一个整体按无铰拱计算。拱圈和曲边墙作为一个整体按无铰拱计算。n施工时仰拱是在无铰拱业已受力之后修建施工时仰拱是在无铰拱业已受力之后修建的，所以一般不考虑仰拱对衬砌内力的影的，所以一般不考虑仰拱对衬砌内力的影响。响。4.4.1计算图式计算图式 n在主动荷载作用不，顶部衬砌向隧道内变形而形在主动荷载作用不，顶部衬砌向隧道内变形而形成脱离区，两侧衬砌向围岩方向变形，引起围岩成脱离区，两侧衬砌向围岩方

27、向变形，引起围岩对衬砌的被动弹性抗力，形成抗力区。抗力图形对衬砌的被动弹性抗力，形成抗力区。抗力图形分布规律按结构变形特征作以下假定（见图分布规律按结构变形特征作以下假定（见图4-11）：）：图图4-11 按结构变形特征的抗力图形分布按结构变形特征的抗力图形分布n上零点上零点b（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂直对称中线的夹角假定为直对称中线的夹角假定为n下零点下零点a在墙脚。墙脚处摩擦力很大，无水平位移，在墙脚。墙脚处摩擦力很大，无水平位移，故弹性抗力为零。故弹性抗力为零。n最大抗力点最大抗力点h假定发生在最大跨度处附近，计算假定发生在最大跨度处附近，计

28、算时一般取时一般取 ，为简化计算可假定在分段的接缝，为简化计算可假定在分段的接缝上。上。n抗力图形的分布按以下假定计算：抗力图形的分布按以下假定计算：45babah32 拱部bh段抗力按二次抛物线分布，任一点的抗力与最大抗力的关系为：hhbibi2222coscoscoscos边墙ha段的抗力为：hhiiyy21n 忽略衬砌与围岩之间的摩擦力忽略衬砌与围岩之间的摩擦力n墙脚支承在弹性岩体上，可发生转动墙脚支承在弹性岩体上，可发生转动和垂直位移和垂直位移(无水平位移无水平位移)4.4.2主动荷载作用下的力法方程和衬砌内力主动荷载作用下的力法方程和衬砌内力 ppXX21,apapu,0022222

29、111122111apappppappppufXXXX图图4-13 曲墙衬砌的基本结构曲墙衬砌的基本结构式中式中 为墙底位移。为墙底位移。分别计算分别计算 和外荷载的和外荷载的影响，然后按照叠加原理相影响，然后按照叠加原理相加得到加得到ppXX21,012211)(apppapfXX0apu由于墙底无水平位移，故由于墙底无水平位移，故 0)()(0)()(2122221211111221111appppappppffXfXfXX式中：式中： 是基本结构的单位位移和主动荷载位移；是基本结构的单位位移和主动荷载位移； 是墙底单位转角；是墙底单位转角； 为基本结构墙底的荷载转角；为基本结构墙底的荷载

30、转角；f f 为为衬砌的矢高。衬砌的矢高。ipik,10ap求得求得 后，在主动荷载作用下，衬砌内后，在主动荷载作用下，衬砌内力即可计算：力即可计算：ppXX21,02021cosipipipipippipNXNMyXXM在具体进行计算时，还需进一步确定被动抗力在具体进行计算时，还需进一步确定被动抗力 的大小，这需要利用最大抗力点的大小，这需要利用最大抗力点h h处的变形协调处的变形协调条件。条件。 hhhphhhphkk1hhkhxh1hbhqabhhbaeeeeqq+=a 主动荷载和被动荷载共同作用主动荷载和被动荷载共同作用 b 主动荷载的作用主动荷载的作用 c 被动荷载的作用被动荷载的作

31、用图图4-14 主动荷载与被动荷载叠加主动荷载与被动荷载叠加4.4.3最大抗力值的计算最大抗力值的计算 n欲求欲求 则应先求出则应先求出 和和 。 n变位由两部分组成，即结构在荷载作用下变位由两部分组成，即结构在荷载作用下的变位和因墙底变位（转角）而产生的变的变位和因墙底变位（转角）而产生的变位之和。位之和。 hhphaahhaahhhapahhpapahhphpyJMMEsydsEJMMyJMMEsydsEJMM a 外载弯矩图外载弯矩图 b 抗力弯矩图抗力弯矩图 c 变位点单位力弯矩图变位点单位力弯矩图 d 墙脚变位引起的墙脚变位引起的h点位移点位移图图4-15指定点的内力与变位图指定点的

32、内力与变位图n h点所对应的点所对应的 ，则该点的径向位移约等于水平位移，则该点的径向位移约等于水平位移 n拱顶截面的垂直位移对拱顶截面的垂直位移对h点径向位移的影响可以忽略不计点径向位移的影响可以忽略不计按照结构力学方法，在按照结构力学方法，在h点加一单位力点加一单位力 ，可以求得，可以求得 和和 90h1phph)()()()(yyJMEsdsEJyyMyyJMEsdsEJyyMhhhhphphp图图4-16 外载及单位荷载的弯矩图外载及单位荷载的弯矩图4.4.4在单位抗力作用下的内力在单位抗力作用下的内力 将抗力图将抗力图 视为外荷载单独作用时，未知力视为外荷载单独作用时，未知力 及及 可以参照可以参照 及及 的求法得出的求法得出 1h1X2XpX1pX20)()(0)()(2122221211111221111aaffXfXfXX解出解出 及及 后，即可求出衬砌在单位抗力图为荷后，即可求出衬砌在单位抗力图为荷载单独作用下任一截面内力：载单独作用下任一截面内力：1X2X02021cosiiiiiiNXNMyXXM4.4.5衬砌最终内力计算及校核衬砌最终内力