电磁学第七次课1

1、静电场的能量密度静电场的能量密度2DEwe22E2d2eVWEvVEWe22 均匀电场均匀电场能量能量非均匀电场非均匀电场dvwdwe电容器中的静电能电容器中的静电能CQWe222QU22CU7.7 7.7 恒定电场恒定电场电流和电流密度电流和电流密度恒定电流与恒定电场恒定电流与恒定电场欧姆定律和电阻欧姆定律和电阻电动势电动势 有电动势的电路有电动势的电路 (不要求不要求) 一、电流和电流密度一、电流和电流密度 电流：电流：是导体中带电粒子（自由电子或是导体中带电粒子（自由电子或 正负离子，正负离子， 统称统称“载载 流子流子”）的定向流动。）的定向流动。规定规定:正电荷流动的方向为电流的方向

2、。正电荷流动的方向为电流的方向。 电流强度（电流）：电流强度（电流）：单位时间内通过任一截面的电量称为单位时间内通过任一截面的电量称为 通过该截面的电流强度，用通过该截面的电流强度，用 I 表示。表示。ddqIt对对细导线细导线用用电流强度电流强度的的概念就够了。概念就够了。对对大块导体大块导体，为描写导体内每一点的电为描写导体内每一点的电流情况流情况，还需还需引入引入“电流密度矢量电流密度矢量”形成电流的条件：有可以自由移动的电荷；存在电场。形成电流的条件：有可以自由移动的电荷；存在电场。I大块导体大块导体 单位：安培单位：安培 A（标量）（标量）方向：方向：对正载流子，与载流子的运动同向；

3、对正载流子，与载流子的运动同向； 对负载流子，对负载流子， 与载流子的运动反向。与载流子的运动反向。数值：数值：单位时间通过该点垂直于电荷运动方向的单位面积的电量。单位时间通过该点垂直于电荷运动方向的单位面积的电量。电流密度：电流密度： P 点的电流密度点的电流密度单位：单位：Am-2 SIjdddIdSPdv dtdSnIddddIjnqvSdddQItVd漂移速度漂移速度 n载流子密度载流子密度 q载流子所带电量载流子所带电量ddQnqv dtdS导体中任意一点处的电导体中任意一点处的电流密度大小等于载流密流密度大小等于载流密度、所带电量及漂移速度、所带电量及漂移速度的乘积度的乘积dnqv

4、 dSdIdSPSd SSjIdddcosdIJSJdsJSdddIjnqvS对导体内的任意截面对导体内的任意截面dS对于一个有限大的面积对于一个有限大的面积S：电流强度等于电流密度的通量。电流强度等于电流密度的通量。为形象描写电流分布，引入为形象描写电流分布，引入“电流线电流线”的概念：的概念：1）电流线上每点的切向与该点电流线上每点的切向与该点 的方向一的方向一致致 ；2）电流线的密度等于）电流线的密度等于 j，jSN ddINdd 电流线电流线 PjdNdS j（单位面积上电流线的条数）（单位面积上电流线的条数）对于一个封闭面对于一个封闭面S: ssJId净流出封闭面的电流为：净流出封闭

5、面的电流为：SqsdJ 根据电荷守恒定律根据电荷守恒定律，单位时间净流出封闭面的电量等于，单位时间净流出封闭面的电量等于单位时间内封闭面内减少的电量，所以单位时间内封闭面内减少的电量，所以tqsJsddd内内 电流的电流的“连续性方程连续性方程”它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。即单位时间内从封闭曲面向外流即单位时间内从封闭曲面向外流出的正电荷的电量出的正电荷的电量0 tqdd内内即即0 ssJd这称为这称为“恒定条件恒定条件”对任一封闭面：对任一封闭面：tqsJsddd内内 导体内各处电流密度导体内各处电流密度 不随时间变化的电流称不随时间变化的电流

6、称为为恒定电流恒定电流或或直流电直流电。J电流恒定电流恒定J不变不变运动的电荷空间分布不变运动的电荷空间分布不变j j 线不中断。线不中断。对于恒定电流：通过任意闭合曲面一侧流入对于恒定电流：通过任意闭合曲面一侧流入的电流的电流, ,必然等于另一侧流出的电流必然等于另一侧流出的电流稳恒电流的电流线一定闭合稳恒电流的电流线一定闭合恒定电流恒定电流:恒定电场恒定电场: 在恒定电流情况下，不随时间变化的电荷分布所产在恒定电流情况下，不随时间变化的电荷分布所产生的生的不随时间变化的电场不随时间变化的电场恒定电场恒定电场(1)恒定电场服从恒定电场服从高斯定理（高斯定理（任何电场都服从高斯定理任何电场都服

7、从高斯定理）恒定电场的基本性质：恒定电场的基本性质： )(01dSiSsqSE (2)恒定电场服从恒定电场服从环路定理环路定理（基本假定）（基本假定） LsrE0d电势和电势差概念仍然适用。电势和电势差概念仍然适用。电荷运动电荷运动伴随能量的转换伴随能量的转换0EEJ，导体内部恒定电场导体内部恒定电场恒定电场与静电场的区别：恒定电场与静电场的区别：二、欧姆定律的微分形式（恒定电场场强与电流密度的关系）二、欧姆定律的微分形式（恒定电场场强与电流密度的关系）在恒定电流的情况下，一段均匀金属导体：在恒定电流的情况下，一段均匀金属导体：slslR IRUab m 电阻率，单位电阻率，单位 单位：单位：

8、S/m 西门子每米西门子每米 1 电导率电导率 （单位（单位:1/ m)labISIjS abUEl ElIESR EjEj 上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式（点点对应）（点点对应）【例【例】在恒定电路中两柱状金属导体相接。比较交界面在恒定电路中两柱状金属导体相接。比较交界面两侧电流密度和电场的大小。两侧电流密度和电场的大小。J1J2 1 1 2 221 恒定电流：恒定电流：1212J SJ S ,JJ1122EE , 1212, EE电场在界面不连续，电场在界面不连续，界面上有电荷积累。界面上有电荷积累。流入流出流入流出

9、例例:半径为半径为r1 和和r2 的同心导体球壳之间充满电阻率为的同心导体球壳之间充满电阻率为的介质。的介质。（1 1）计算两球壳之间的电阻）计算两球壳之间的电阻（2 2）设两球壳间的电势差为）设两球壳间的电势差为U U，求在任意半径，求在任意半径r r处的电流密度。处的电流密度。1r2rdrr解：解：（1）在介质中取半径为）在介质中取半径为r厚度厚度为为dr的薄球层，其电阻为：的薄球层，其电阻为：24d dd drRr 212121 244d drr(rr )rRrrr （2）由欧姆定律）由欧姆定律1 222214rrUIIJSr(rr )r 1 2214 rr UUIR(rr ) 各个薄层

10、的电阻串联：各个薄层的电阻串联：24-7:圆柱形电容器，长为圆柱形电容器，长为L，内外极板半径为，内外极板半径为r1 、r2 ，两极板间充满非理想电介质，其电阻率为两极板间充满非理想电介质，其电阻率为，两极间加，两极间加电压电压U U，求，求（1 1）介质的漏电阻）介质的漏电阻R R；（；（2 2）漏电流）漏电流I I；（；（3 3）漏电流密度；（漏电流密度；（4 4）介质内各点的场强。）介质内各点的场强。L1r2r1r2rdrr解：解：（1）在介质中取半径为）在介质中取半径为r厚度厚度为为dr的薄圆柱层，其电阻为：的薄圆柱层，其电阻为：2ddddd dd drrRsrL 212122d dr

11、rrrRlnrLLr 单位长度漏电阻单位长度漏电阻12ln2rrR 各个薄层的电阻串联：各个薄层的电阻串联：212IIUJSrLr ln(r / r ) 212UULIRln(r / r ) L1r2r1r2rdrr21jUEr ln(r / r ) ABUUiAB非静电力：非静电力：把正电荷不断从低电把正电荷不断从低电势处运到高电势处。势处运到高电势处。提供非静电力的装置提供非静电力的装置电源：电源：非非F静静FRiAB电源电源在电源内在电源内, , F非非 F静静正电荷从负到正极正电荷从负到正极电源把其他形式的能量转化为电势能，有各种电源：化学电池，电源把其他形式的能量转化为电势能，有各种

12、电源：化学电池，发电机，太阳能电池等。发电机，太阳能电池等。电源有电源有正负正负两极。电源内部正负极两极。电源内部正负极之间的电路称为之间的电路称为内电路内电路，其余称为，其余称为外电路外电路外电路正电荷从外电路正电荷从正极到负极正极到负极三、电动势三、电动势电动势电动势：在电源内部，把单位正电荷从负极运到正极的：在电源内部，把单位正电荷从负极运到正极的 过程中，非静电力所作的功称为过程中，非静电力所作的功称为电动势电动势 qA非非 电动势是标量。电动势是标量。将电源内负极到正极的方向规定为电动势的方向。将电源内负极到正极的方向规定为电动势的方向。 常常把常常把非静电力非静电力的作用看成是一种

13、的作用看成是一种非静电场非静电场的作用，的作用，以以 表示非静电场的强度。表示非静电场的强度。非非E它定义为单位正电荷所受到的非静电力，即它定义为单位正电荷所受到的非静电力，即EF/ q 非非非非在电源内部，电荷在电源内部，电荷 q 从负极到正极，非静电力作的功从负极到正极，非静电力作的功 ddAqElqEl非非非代入电动势的定义式，代入电动势的定义式， lEd非非 qA非非 得得当电动势存在当电动势存在整个回路时：整个回路时： lEd非非 注意：电动势和电势异同：注意：电动势和电势异同： 单位都是伏特，定义都是与作功联系在一起的；单位都是伏特，定义都是与作功联系在一起的； 电动势电动势是是非

14、静电力非静电力的功，由电源自身性质决定，与外电路中的功，由电源自身性质决定，与外电路中是否有电流无关是否有电流无关 电势电势是是静电力静电力的功，与外电路有关。的功，与外电路有关。)(KEEj ddd0 KLLLjEllElI( Rr )UIr U 电源的端电压电源的端电压一一 . 简单闭合回路简单闭合回路IR+_ rU四、含源电路（含有电动势的电路）四、含源电路（含有电动势的电路）当非静电力和静电力同时存在时，恒定电流的电流密度当非静电力和静电力同时存在时，恒定电流的电流密度J应由非静电场应由非静电场Ek和恒定电场和恒定电场E决定，此时欧姆定律为：决定，此时欧姆定律为：恒定电场服从环路定理恒

15、定电场服从环路定理0LE dl)(dddrRISlISlJSlJLLL 总电动势总电动势KLEld()I R r全电路欧姆定律全电路欧姆定律二二 . 有多个回路的电路有多个回路的电路0iiiI R+沿电势降落方向为正。（沿电势降落方向为正。（L绕向与所设电流方向一致）绕向与所设电流方向一致）规定规定1111222233334444()()()()0 I RrIRrIRrIRr . 1 , r1R1I1.abI2R2R3I3 2 , r2 3 , r3 4 , r4L沿闭合回路一周的沿闭合回路一周的电势电势降落降落的代数和等于零。的代数和等于零。即绕回路一周应回到原即绕回路一周应回到原来的电势。

16、来的电势。根据这一规律列出一些方程，根据这一规律列出一些方程，称为回路电压方程，称为回路电压方程，也叫基尔霍夫第二方程也叫基尔霍夫第二方程 三三 . 一段含源电路一段含源电路baiiiUUIRbL. iRiIi.aUaUb例如，上面电路从例如，上面电路从 a、b 间断开：间断开： 一一 段含源电路段含源电路的欧姆定律的欧姆定律 终点终点b和起点和起点a之间的电位差，等于之间的电位差，等于a b两点间所有两点间所有电势升高与所有电势降落之差值电势升高与所有电势降落之差值五、五、匀速运动点电荷的电场匀速运动点电荷的电场运动电荷的电场强度仍然用下式表示：运动电荷的电场强度仍然用下式表示：oFEq01

17、iE dSE dSQ高斯定理对运动电荷的电场仍然成立：高斯定理对运动电荷的电场仍然成立：用带电平行板电容器做场源：用带电平行板电容器做场源： E K 系系0 E静电场静电场0lK系系 vEv220/1cvll220/1cvSS2222011QQSSv /cv /c 222211o oo oEEv / cv / c E QQ220/1cvllK系系 vEvEE 002211cv 在垂直电场运动的参考系测在垂直电场运动的参考系测 E 。电场与运动方向垂直时，电场增加电场与运动方向垂直时，电场增加K 系系 E 00EEQSK系系v E平行板沿垂直于板面的方向运动：平行板沿垂直于板面的方向运动：平行平

18、行电场运动的参考系测电场运动的参考系测 E 不变。不变。电场与运动平行时，电场不变电场与运动平行时，电场不变电场的变换：电场的变换：纵向场强不变，横向场强增加到纵向场强不变，横向场强增加到 倍。倍。zzyyxxEEEEEE ,结论：结论：2211cv K系系zzxExvE = ?求求K系电场系电场K系系xyzEE iE jE kv不变不变考察一根电力线考察一根电力线uK/EEE一个静止点电荷的电场。一个静止点电荷的电场。K增大增大在运动参考系观测电力线如何分布？在运动参考系观测电力线如何分布？E/EE 匀速直线运动点电荷的电场匀速直线运动点电荷的电场z x QE r z xE zE x S系系

19、O ),(tzyxP 2322020)(4cos4zxxQrQEx 2322020)(4sin4zxzQrQEz 23220)(4zxzQEEzz 23220)(4zxxQEExx 由电场的变换得由电场的变换得场点的变换场点的变换),(tzyx ),(tzyxxxEzQEOrzzEvtxvS系系 ),(tzyxP2222211xvttv x cx, zz, tv cv c 223 22223 20044zQ zQzE( xz)( xvt )z ) 223 22223 20044xQ xQ( xvt )E( xz)( xvt )z ) 2211vc 222zxEEE 222342220141Q

20、()() rsin 22223222204Q( xvt )z()( xvt )z v / c 22r( xvt )zsinz / r tgvtxzEExz E E 沿由点电荷指向沿由点电荷指向P P点的点的矢径方向。矢径方向。zxQEOrPzxEzEvtxvS系系 22223 20141QEr(sin) rv注意：注意： 是是 和和 的夹角的夹角 )1 (4220, 0 rQE212202)1 (14 rQEv+Qcv 若若 rrQE420 例题例题问：问：(1) 在在K系测系测各极板有多各极板有多少个电子？板间场强？少个电子？板间场强？(2)在在K 系测系测各板有多少各板有多少个电子？板间场

21、强？个电子？板间场强？ + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - -2cm20cm-2.5 10-9C+2.5 10-9C10cmKKcu8.0 解：解： (1) 199106 . 1105 . 2 eQN个个101056. 1 o Eo SQ 14104 . 1Vm(2) NN o E2 21 1 6.0 6 . 0EE 14103 . 2Vm方向方向rlIrlIJE22作业作业24-124-1：Il作业作业24-224-2：e02a610/vm sReveeTeI222作业作业24-324-3：yxzbacIoIIJSacJIEJac (1) (2)

22、 作业作业24-424-4：半径为半径为10cm10cm的金属球接上电源充电到的金属球接上电源充电到3000V3000V，求：，求：电场能量。电场能量。2012ewE220142eRRWwdVEr dr0044QUQRUR2204QURErr2501(4)5 102R UJ 22011422WCURU12252 314 885 10300050 10.J或：或：作业作业24-424-4：已知导线：已知导线：，d, Ld, L，两端电压，两端电压 U U求求（1 1）单位时间内流过导线横截面的自由电子数；）单位时间内流过导线横截面的自由电子数；（2 2）设导线中自由电子数为）设导线中自由电子数为

23、n,n,求电子平均漂移率。求电子平均漂移率。2(1)4UUdUILRLS(2)IUjSL24IdUneLeddUjnevvLne作业作业24-524-5：已知：已知：I=10A, I=10A, 横截面：横截面：a=1cma=1cm2 2, b=0.5cm, b=0.5cm2 2, c, c的法的法线与轴线夹角为线与轴线夹角为6060度，度，求求（1 1）三个面与轴线交点处的电流密）三个面与轴线交点处的电流密度；（度；（2 2）三个面上）三个面上单位面积单位面积上的电流密度通量上的电流密度通量dIdI。52110aIAJmS52110aAdIJm (1)(1) (2)5222 10bIAJmS

24、5232 10coscbIAJJmS 5222 10bAdIJm523cos60102ccJAdIJmabc作业作业24-5：分别用文字和数学公式表述电动势分别用文字和数学公式表述电动势 单位正电荷从电源的负极通过电源内部移到正极单位正电荷从电源的负极通过电源内部移到正极时非静电力所做的功定义为该电源的电动势：时非静电力所做的功定义为该电源的电动势：rdEk 二、二、 库仑定律库仑定律121222014q qq qFKrr方向：方向：由施力电荷指向受力电荷由施力电荷指向受力电荷riiFF三、静电力的叠加原理三、静电力的叠加原理静电学知识点归纳静电学知识点归纳一、电荷的基本性质：一、电荷的基本性

25、质：两种电荷，量子性，电荷守恒，两种电荷，量子性，电荷守恒， 相对论不变性相对论不变性两个两个静止点电荷静止点电荷之间的相互作用力之间的相互作用力带电粒子带电粒子q（可看成点电荷）（可看成点电荷）在外场中受的力：在外场中受的力：FqEMPEqlE力偶矩力偶矩电偶极子在均匀外电场电偶极子在均匀外电场中的受到力矩作用中的受到力矩作用0qFE四、电场强度四、电场强度某点场强等于某点场强等于单位正电荷单位正电荷在在该点所受的电场力该点所受的电场力 iiEE五、场强叠加原理五、场强叠加原理某点的电场强度等于所有带电体在该处激发场强的矢量和某点的电场强度等于所有带电体在该处激发场强的矢量和六、电通量六、电

26、通量在电场中穿过在电场中穿过任意曲面任意曲面S S的电场线条数称通过该面的的电场线条数称通过该面的电通量，用电通量，用 来表示。来表示。ssdE七、高斯定理：七、高斯定理：0diqES 内内八、场强环路定理：八、场强环路定理：十、电势：十、电势：LrE0d九、电势能九、电势能()babababaAqE dlUU q WW00aaWq E dl“ ”(0)U0daaaWUElqbababaUUUE dl电势差：电势差：电场力所做的功：电场力所做的功：电荷电荷q在外场中的电势能：在外场中的电势能：电偶极子在外场中的电势能：电偶极子在外场中的电势能： WP EaaWqU十一、电场的计算：十一、电场的

27、计算：1、应用库伦定律及场强叠加原理计算、应用库伦定律及场强叠加原理计算iiirrQE3 30 04 4 QrQrE304 d点电荷系的场强点电荷系的场强连续带电体的场强连续带电体的场强EUxExU EU 2、高斯定理、高斯定理2014QEr点电荷的场强点电荷的场强3、根据场强与电势梯度的关系、根据场强与电势梯度的关系球对称球对称, ,轴对称轴对称, ,面对称面对称. .典型静电场：典型静电场：ERr 0 RrrQ 2o4 均匀带电球面均匀带电球面E RrRQr 3o4 RrrQ 2o4rE03 均匀带电球体均匀带电球体均匀带电无限大平面均匀带电无限大平面o2 EE2orRr22orrRR无限

28、长均匀带电柱体无限长均匀带电柱体柱面柱面无限长直线无限长直线02Ed半无限长直线半无限长直线04yEd04 xEdPEdx2、已知场强分布，根据电势的定义，利用积分法求电势、已知场强分布，根据电势的定义，利用积分法求电势十二、计算电势的方法十二、计算电势的方法1、已知电荷分布，利用电势叠加原理求电势、已知电荷分布，利用电势叠加原理求电势势势0rrEUdiiiQUr04QdQUr04点电荷系的电势点电荷系的电势连续带电体的电势连续带电体的电势014QUr点电荷的电势点电荷的电势十三、静电场中的导体十三、静电场中的导体静电平衡条件静电平衡条件:E内内= 0等势体等势体E表表等势面等势面 表面表面静

29、电平衡状态静电平衡状态：导体各处（内部和表面）均无电荷定向运动。：导体各处（内部和表面）均无电荷定向运动。静电平衡时导体上电荷的分布：静电平衡时导体上电荷的分布：内部无净电荷，电荷分部在外表面内部无净电荷，电荷分部在外表面。1.1.实心导体：实心导体： 2. 2. 导体球壳（空腔导体）：导体球壳（空腔导体）： 腔内腔内无带无带电体电体 外外 内内0E内内= 0内表内表=-qE内内 内内q 0 0 外外腔内腔内有带有带电体电体 外外=Q+q3. 3. 孤立导体表面上电荷的分布孤立导体表面上电荷的分布 孤立的带电导体，外表面各处的电荷孤立的带电导体，外表面各处的电荷面密度与该处曲率半径成反比。面密

30、度与该处曲率半径成反比。Rr 小小大大 4 4、导体表面各处的面电荷密度与的该处表面附近场强的关系：、导体表面各处的面电荷密度与的该处表面附近场强的关系：0EnE0n由导体内指向外由导体内指向外有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算(2)利用电荷守恒利用电荷守恒(3)利用高斯定律利用高斯定律(1)利用静电平衡条件利用静电平衡条件0 0内内ECU E表面表面 表面表面静电平衡的导体上的电荷分布静电平衡的导体上的电荷分布Q内内=0， 0 0E E十四、静电场中的电介质十四、静电场中的电介质1.1.极性分子和非极性分子极性分子和非极性分子2.2.电介质的极化电介质的极化EP)1(r0 EPe0 ,1re 3. 3. 电极化强度电极化强度4.极化电荷与电极化强度的关系：极化电荷与电极化强度的关系： P n极化电荷的面密度，等于电极化强度沿外法线方向的分量。极化电荷的面密度，等于电极