第4章连续时间信号与系统的复频域

1、第第4章章 连续时间信号与连续时间信号与LTI连续时间系统的连续时间系统的复频域分析复频域分析n4.1 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换(LT)n4.2 单边单边LTn4.3 LTI连续时间系统复频域连续时间系统复频域(LT)分析分析n4.4 LTI连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟 n4.5 LTI连续时间系统的零极图连续时间系统的零极图.稳定性稳定性 及因果性及因果性4.1双边双边拉普拉斯变换拉普拉斯变换(LT)p924.1.1由由FT引入双边引入双边LT p92nFT要求函数要求函数f(t)满足狄里赫利条件，即要求信满足狄里赫利条件，即要求信号号f(t)绝对可积：绝对可积：dttf)(

2、4.1.2 双边双边LT的定义的定义 p94定义定义nf(t)又称为原函数，又称为原函数，F(s)称称为象函数为象函数jjststtfdsesFjsFsFdtetftfsFtf),( :),()(21)(),( :),()()(),( :),()(1L反变换L正变换（1）单位阶跃信号的双边单位阶跃信号的双边LT即：stu1)(：（0，）ssedtetusFstst10)()(00L（2）单位冲激信号的双边单位冲激信号的双边LT即：即：1)(t1)()()(-dtettsFstL：（-，）（3）因果）因果指数信号的双边指数信号的双边LT即：即：),( :,1)(stueatsdteetuesFs

3、tatat1 )()(0L4.1.3双边双边LT的收敛域的收敛域 p95n使连续时间信号使连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换存在的存在的Sn的范围称为的范围称为f(t)的的LT F(s)的收敛域。在的收敛域。在S平面平面n上用阴影表示。上用阴影表示。n（1）双边）双边LT的收敛域是的收敛域是S平面上的一平面上的一个带个带：(，)。F(s)既有区左极点既有区左极点pj （位于收敛域左方），（位于收敛域左方），又又有区右极点有区右极点pj 。区左极点。区左极点pj是是因果分量因果分量f(t)u(t)的贡的贡献，区右极点献，区右极点pj是反因果分量是反因果分量f(t)u(-t)的的贡献

4、。贡献。n收敛边界收敛边界: :n=Re （pj）max，=Re=Re（pj ）min图4-1 双边信号的LT的收敛域wj0 jpjp n（2）因果信号的收敛域是）因果信号的收敛域是S平面的某一右半平面的某一右半开平面开平面：(，) ，全部极点均为区左极点，全部极点均为区左极点pj ，收敛边界，收敛边界=Re （pj）max图4-2 因果信号的LT的收敛域wj0ajpn（3）反因果信号的收敛域是）反因果信号的收敛域是S平面上的一平面上的一个左半开平面个左半开平面：(-，)。全部极点均为全部极点均为区区右极点右极点pj 。收敛边界。收敛边界=Re=Re（pj ）min图4-3 反因果信号的LT的

5、收敛域0wj jpn（4）时限信号的收敛域是全）时限信号的收敛域是全S平面平面n即即 ：(-， ）。）。n.4双边双边LTLT与与FTFT的关系的关系 p97p974.1.5双边拉氏变换的性质双边拉氏变换的性质n（1）双边）双边LT的线性特性的线性特性 p98 为常数）、（公共部分则：若212211221122221111),( :通常),()()()(),( :),()(),( :),()(aasFasFatfatfasFtfsFtfn（2）双边）双边LT的时移（延时）特性的时移（延时）特性 p98n此性质说明，若时域波形延迟了此性质说明，若时域波形延迟了t0，则它的拉氏变换

6、应则它的拉氏变换应n乘以乘以0ste),(:,)()(),(:),()(000stesFttftsFtf ，有则：对于任意实常数若n（3）双边）双边LT的尺度变换特性的尺度变换特性 p100,),(:),()(:),(1)(则),(:),()(0),(0),(sFtfaasFaatfsFtfaaaaaa 推论：为常数。，若n（4）双边）双边LT的复频移特性的复频移特性p99)Re,Re( :),()(),( :),()(000)(s)(sssFetfsFtfts0 则若n（6）双边）双边LT的时域微分特性的时域微分特性 p103),( :),()(),( :),()(通常则若）（sFstfsF

7、tfNN n（7）双边）双边LT的时域积分特性的时域积分特性p106), 0(),( :),(1)(),( :),()(1sFstfsFtf）（则若 n（5）时域卷积定理）时域卷积定理 p102)( :),()()()( ),( :),()(),( :),()(212122221111公共部分则若sFsFtftfsFtfsFtf)()(:),()(),( :,)()()()()()()()(21212221212121证毕公共部分交换积分次序证明：sFsFsFdefdesFfddtetffdtedtfftftfssstst L n*（8）复频域卷积定理）复频域卷积定理)( :),()(21)(

8、)(),( :),()(),( :),()(212122221111公共部分则若sFsFjtftfsFtfsFtf n4.1.6 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 p1074.2 单边拉氏变换单边拉氏变换p1104.2.1单边单边LT的定义的定义 p110n单边单边LT的收敛域是的收敛域是S平面某一右半开平面，平面某一右半开平面，全部极点均为区左极点，即全部极点均为区左极点，即max)Re(),( :jpjjststtfdsesFjsFsFdtetftfsFtf),( :),()(21)(),( :),()()(),( :),()(10LL反变换正变换定义：4.2.2单边单边LT的性质的性质 p1

9、10n单边单边LT除具双边除具双边LT的全部性质外，的全部性质外，n单边单边LT还具有如下性质：还具有如下性质：1复频域微分特性复频域微分特性 p110：则若),(:),()(),(:),()(sFdsdt tfsFtf *6.复频域积分特性复频域积分特性)()()()()()()()()(),( :),()(001101101111证毕上式两边求积分，得：因为证明：则若 ttfdtettfdtdsetfdsdtetfdssFdtetfsFdssFttf sFtfststsstssstsL 4.周期信号的单边周期信号的单边LT p115n一切周期信号的双边一切周期信号的双边LT均不存在均不存在

10、), 0( :,1)()()(),( :),()(他, 00),()(周期是f(t)的第1个周)()()()()(设0sTLTkTesXsFtfsXtxTttftxtxkTtxtutftf 则若其其中n证明：证明：), 0( :,1)()()()(1101)()()()(00000证毕故：，时，即当得）取对ksTsTkskTsTkskTkskTkesXsFkTtxtfeeeesXesXsFLTkTtxtf2 单边单边LT时域微分特性时域微分特性p112：则若L sFtf f(t) ),( :),()(3.始值定理和初值定理始值定理和初值定理 p114)(lim)(lim)0(始值)(),( :

11、),()(0ssFtf fsFsFtfst 则是真分式若若dtetfdtdfssFdtetfdtdffdtetfdtdtffssFetttfsFdtetfdtddtetfdtddtetfdtdfssFstststttststst0000000000)()0()()()0()0()()()0()(, 1, 0)00(0)()()()()()0()(即则：，在区间无冲激。在是真分式，所以因为由时域微分定理可得证明： )0()(lim0lim)()(lim00fssFdtetfdtddtetfdtdssstssts所以，有项的极限为：时，上式等式右端第二当终值定理终值定理)(lim)(lim)(终值

12、时，)(当),(:),()(0ssFtf fjssFsFtfst 则轴的收敛域含若w5周期信号的LTp11. 4)(lim)()0()(lim0)()0()(:证明000tftffssFsdtetfdtdfssFtsst对上式取极限，得：令*5. 单边单边LT时域积分特性时域积分特性ttttdffdfdfdfttfdttffsfssFtdf sFtf0)1(000)1()1()()0()()()(0)()()0(), 0(),( :,)0()()()(),( :),()(因为证明：的取值。积分时在为式中则若 ),(), 0( :,)()0()()(),(), 0( :,)()()(),( :)

13、,()()(), 0( :,1)()()()()0()()()1(000)1(ssFsftdfssFtdfsFdtetftfsttdftftdfttsttt所以：已知：则拉氏反变换拉氏反变换n例：已知例：已知求其拉氏反变换。求其拉氏反变换。解：对解：对F(s)进行长除运算，进行长除运算，841892)(22sssssF)(2cos)(2)()()(2cos2)2(2)(222)2(22)(2122222ttetsFLtfttesstsssFtt4.3 LTI连续时间系统复频域连续时间系统复频域(LT)分析分析p117返回首页4.3.1 LTI连续时间系统的连续时间系统的系统函数系统函数p117

14、n1、系统函数、系统函数H(s)的定义的定义 设设LTI连续时间系统输入连续时间系统输入f(t)时，系统的零状态时，系统的零状态响应为响应为yf(t)，则定义系统函数，则定义系统函数H(s)为：为：),( :,)()()()()(hhffsFsYtftysHLLn2、h(t)、 H()和和 H(s)的关系：的关系：。)()()0),( :),(;),( :,)()(),()()(不存在否则时，则当，若已知轴含且则若已知wwwwwwwHsHH(sHjHsHHsHthjshhhhhhsjLTn3、 系统函数的求解方法：系统函数的求解方法：n（1）根据）根据H（s）的定义，对系统微分方程取拉氏的定义

15、，对系统微分方程取拉氏变换，并求得变换，并求得n（2）根据系统时域冲激响应）根据系统时域冲激响应h(t)，求其拉氏氏变，求其拉氏氏变换，即换，即n（3）根据电路的）根据电路的S域模型域模型，应用电路分析的理论应用电路分析的理论方法，求出响应象函数和激励象函数的比。方法，求出响应象函数和激励象函数的比。n（4）根据系统模拟图，求出输入象函数与输出象）根据系统模拟图，求出输入象函数与输出象函数的比。函数的比。)()()(sFsYsH)()(thsHL4.3.2LTi连续时间系统对无时限指数信连续时间系统对无时限指数信号的响应号的响应p1204.3.3 LTI连续时间系统的零状态响应连续时间系统的零

16、状态响应的复频域分析法的复频域分析法p120)()()()(11sHsFsytyffLL4.3.4用单边拉氏变换解微分方程用单边拉氏变换解微分方程p125n(1)对微分方程取单边对微分方程取单边LT，自动引入初始条件，化，自动引入初始条件，化微分方程为代数方程微分方程为代数方程。(2)解该代数方程得响应的解该代数方程得响应的LT y(s)。(3)取反取反LT得响应得响应y(t)。n例例4-1、描述、描述LTI系统的微分方程为：系统的微分方程为：n2y”(t)+5y(t)+3y(t)=2f(t)+8f(t)若输入激励若输入激励f(t)=e-4t(t)，初始状态初始状态y(0-)=2,y(0-)=

17、1，求求系统的零输入响应，零状态响应和全响应系统的零输入响应，零状态响应和全响应y(t)。 解：对微分方程等式两边取单边拉氏变换：解：对微分方程等式两边取单边拉氏变换：经整理后，得到响应象函数：经整理后，得到响应象函数：)(8)(2)(3)0()(5)0()0()(22sFssFsYyssYysysYs)()(352)0(2)0()52(352)()4(2352)0(2)0()52()()4(2)(222sYsYssyyssssFsssyyssFssYxfn式中式中 只与激励和系统有关，只与激励和系统有关，称其为零状态响应拉氏变换式，称其为零状态响应拉氏变换式，n而而 只与系统起始状只与系统起

18、始状态和系统有关，称其为零输入状态响应拉式变换式。态和系统有关，称其为零输入状态响应拉式变换式。n由于由于 ，初始状态初始状态 ，分别代入拉式变换，分别代入拉式变换式式 和和 中，得：中，得：)(352)4(2)(2sFssssyf1)0(, 2)0(yy)(syf)(syx352)0(2)0()5(2)(2ssyyssyx41)()(4stesFtL231)23)(1(141352)4(2)(212sAsAsssssssyf231)23)(1(42352)0(2)0()5(2)(432sAsAsssssyyssyxn求得待定系数求得待定系数A1 =2 ， A2 =-2 ， A3 =4 ， A

19、4 =-2 。于是：于是：所以全响应为：所以全响应为：)(22)()(231teesYtyttffL0,24)()(231teesYtyttxxL0,460),24()()22()()()(232323teeteeteetytytyttttttfxn如果只是求全响应，则可以直接代入初始状态和如果只是求全响应，则可以直接代入初始状态和激励象函数激励象函数F(s)，整理后得：整理后得：n取拉氏反变换就可以得全响应取拉氏反变换就可以得全响应y(t)，结果同上。结果同上。23416)23)(1(52352104)(2sssssssssY4.3.5电路的复频域分析电路的复频域分析 p128n1电路的复频

20、电路的复频(S)域模型域模型 p128(1)电阻元件的电阻元件的S域电路模型域电路模型n电阻元件的时域电路模型如图电阻元件的时域电路模型如图4-4所示，其时域的所示，其时域的伏安关系为：伏安关系为： )()(tiRtv对上式取拉氏变换，得：对上式取拉氏变换，得： )()(sRIsV)(tv)(tiRR)(sV)(sI （a）时域电路模型 （b）S域电路模型 图4-4 电阻元件时域与S域电路模型(2)电容元件的电容元件的S域电路模型域电路模型n电容元件的时域电路模型如图电容元件的时域电路模型如图4-5所示，其时所示，其时域的伏安特性为：域的伏安特性为：或或对上式分别取拉氏变换得：对上式分别取拉氏

21、变换得：或或tccdiCtv)(1)(dttdvCticc)()(svsCsIsissICsVccccc)0()()0()(1)()1()0()()(cccCvssCVsIC)(tvc)(tic0)0(cv)(sIc)(sVcsC1svc)0(sC1)0(cvC)(sIc)(sVc （a）时域电路模型 （b）S域串联电路模型 （c）S域并联电路模型 图4-5 电容元件时域与S域电路模型(3)电感元件的电感元件的S域电路模型域电路模型n电感元件的时域电路模型如图电感元件的时域电路模型如图4-6所示，其时所示，其时域的伏安关系为：域的伏安关系为：或或对上式分别取拉氏变换得：对上式分别取拉氏变换得：

22、或或dttdiLtvLL)()(tLLdvLti)(1)()0()()(LLLLissLIsVsisLsVsvssVLsILLLLL)0()()0()(1)()1(sLsiL)0()(sIL)(sVL)0(LLisL)(sIL)(sVL)(tvL)(tiLL0)0(Li （a）时域电路模型 （b）S域串联电路模型 （c）S域并联电路模型 图4-6 电感元件时域与S域电路模型2用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路p130n(1)作电路的作电路的S域模型。域模型。n(2)列方程。根据列方程。根据S域的域的KVL、KCL（在形式上在形式上与相量形式的与相量形式的KVL和和KCL相同），应用电路分

23、相同），应用电路分析中的基本分析方法（节点法、网孔法等）和析中的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域模型的方程。频域模型的方程。n(3)求解系统方程，得到响应的象函数。求解系统方程，得到响应的象函数。n(4)对响应的象函数取拉氏反变换，即得出响对响应的象函数取拉氏反变换，即得出响应的时域解。应的时域解。)(tv1RCL2R)0(cv)0(Li)(1ti)(2ti1)(sV51s1s21)(1sI)(2sIs5421)(1sI)(2sI（a）时域电路模型 （b）S域电路模型 图4-7 )(te2R1LH11R13R

24、1CF1)(tvcS0t)(te2te2图4-8 )(sE1s11s1)(sVcs111201s11s1)(sVczis11120)(sE1s11s1)(sVczs120 （a）s域全响应电路模型 （b）s域零输入响应电路模型 （c）s域零状态电路模型 图4-9 s域电路模型返回本节4.4 LTI 连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟p133 返回首页4.4.1子系统的简单连接子系统的简单连接 p133n1、方框图的简单连接、方框图的简单连接p133 一个系统往往由若干子系统有机组合而成。子系一个系统往往由若干子系统有机组合而成。子系统之间的连接方式一般有级联统之间的连接方式一般有级联.并联和

25、反馈并联和反馈3种基本形种基本形式。如图式。如图4_10所示。所示。n级联级联 H(s)=H1(s)H2(s) H()=H1()H2() h(t)=h1(t)* *h2(t) 并联并联 H(s)=H1(s)+H2(s) H(j)=H1( )+H2( ) h(t)=h1(t)+ +h2(t) (a) 两个子系统级联 (b) 两个子系统并联图4-10 子系统的简单连接)(syF(s)H1(s)(syF(s)H2(s)H2(s)H1(s)2、连续系统的信号流图、连续系统的信号流图n用一条有方向的线段代替子系统方框，线段用一条有方向的线段代替子系统方框，线段的两端点（又称节点）分别表示该子系统的输的两

26、端点（又称节点）分别表示该子系统的输入、输出信号。箭头方向是信号的传输方向，入、输出信号。箭头方向是信号的传输方向，将系统函数直接写在箭头旁边。加法符号也用将系统函数直接写在箭头旁边。加法符号也用节点代替，两有向线段指向一点就表示相加，节点代替，两有向线段指向一点就表示相加，如遇相减，则将减号移至子系统函数之前。这如遇相减，则将减号移至子系统函数之前。这样构成的图形称为系统的信号流通图，简称信样构成的图形称为系统的信号流通图，简称信流图。流图。图4-11 串、并联信流图H1(s)y(s)（a）串联信流图（b）并联信流图F(s)H1(s)H2(s)y(s)F(s)H2(s)3、信流图的几个基本名

27、词、信流图的几个基本名词n节点：每个节点代表一个信号。该信号等于节点：每个节点代表一个信号。该信号等于所有输入信号之和，一切输出信号均等于节点所有输入信号之和，一切输出信号均等于节点信号。只有信号输入的节点称为源点（又称独信号。只有信号输入的节点称为源点（又称独立节点）；源点以外的节点称为非独立节点。立节点）；源点以外的节点称为非独立节点。n支路：节点之间的有向线段称为支路。支路：节点之间的有向线段称为支路。n通路：支路的同向连接组成通路，又可分为通路：支路的同向连接组成通路，又可分为环路和开路。环路中首尾节点重合外，其余各环路和开路。环路中首尾节点重合外，其余各节点只出现一次，开路中的节点只

28、出现一次。节点只出现一次，开路中的节点只出现一次。4.连续系统的信流图分析连续系统的信流图分析梅森规则梅森规则n（1）接触通路：有公共节点的通路，称为接）接触通路：有公共节点的通路，称为接触通路。否则称为不接触通路；触通路。否则称为不接触通路；n（2）切断支路：使支路丧失功能；）切断支路：使支路丧失功能；n（3）移去节点：切断与其相连的全部支路；）移去节点：切断与其相连的全部支路；n（4）移去通路：移去其上所有节点。）移去通路：移去其上所有节点。n（5）信流图行列式：）信流图行列式：其中其中 为系统信流图中所有环路系统函数之为系统信流图中所有环路系统函数之和和; 为系统信流图中所有两两不接触为

29、系统信流图中所有两两不接触环路的系统函数乘积和；环路的系统函数乘积和； 为系统信流图中所有的三个互为系统信流图中所有的三个互不接触的环路系统函数乘积和；不接触的环路系统函数乘积和；aasL)()()(sLsLcbcb)()()(sLsLsLfedefdabcdeffedcbaLLLsLsLsLs)()()(1)(n梅森规则：梅森规则： 提供一个不列写方程，直接观察写出系统提供一个不列写方程，直接观察写出系统函数函数H(s)的方法。的方法。 系统中任意非独立节点系统中任意非独立节点y(s)与任何一个独立节与任何一个独立节点点F(s)之间的系统函数为：之间的系统函数为：)()()()()()(1s

30、ssTsFsysHmkkkn其中其中(s)是系统行列式，是系统行列式，Tk(s)是从是从F(s)到到y(s)之间的第之间的第k条开路的系统函数；条开路的系统函数； k (s)是移去是移去Tk(s)剩下子图的行列式。从剩下子图的行列式。从F(s)到到y(s)共共m条开条开路。路。n图图4-12F(s)1H1(s)H2(s)H3(s)H4(s)H5(s)H6(s)H7(s)G1(s)G2(s)G3(s)-G4(s)G5(s)y(s)n上图中，上图中，(s)=1- H1G1+H1H2 (-G4) +H7 (-G4) +H3G2+H1H2H3H4G5 +H5G3 +H7H3H4G5 +(H1G1)(H

31、3G2)+(H1G1)(H5G3)+(-H1H2G4)(H5G3)+H7 (-G4)(H5G3)+(H1G1)(H3G2)(H5G3)T1(s)=H1H2H3H4H5 H6 1 (s)=1T2(s)=H7H3H4H5 H6 2 (s)=1所以：所以：)()()()()()()()(2211sssTssTsFsysH 线性时不变系统的模拟线性时不变系统的模拟n系统的模拟是采用几种基本部件的组合形式系统的模拟是采用几种基本部件的组合形式来描述系统的，并使其与被模拟系统的数学模来描述系统的，并使其与被模拟系统的数学模型一致，从而实现对系统的计算机仿真。通过型一致，从而实现对系统的计算机仿真。通过计算

32、机仿真实验可以更加快捷、方便地获得系计算机仿真实验可以更加快捷、方便地获得系统分析的结果，对于实际物理系统的设计与调统分析的结果，对于实际物理系统的设计与调试具有重要的工程意义。试具有重要的工程意义。4.4.2LTI连续时间系统模拟所用的基本连续时间系统模拟所用的基本部件部件p135n系统除了可以抽象为数学模型以外，还可以系统除了可以抽象为数学模型以外，还可以借助一些能够反映输入与输出关系的理想运算借助一些能够反映输入与输出关系的理想运算单元的组合来表示系统。将这些具有某种特定单元的组合来表示系统。将这些具有某种特定运算功能的运算单元称为基本部件。常用的基运算功能的运算单元称为基本部件。常用的

33、基本部件符号及其运算关系如图本部件符号及其运算关系如图4-14所示。所示。 （a）加法器 （b）倍乘器)(1tf)(2tf)(tf)()()(21tftfty)()(taftyaa为常数图4-13 系统模拟的基本部件 （c）积分器 )(tftdfty)()(4.4.3线性时不变线性时不变(LTI)系统的模拟系统的模拟p135n（1）直接实现形式模拟）直接实现形式模拟(卡尔曼形式卡尔曼形式)p135n（2）级联模拟）级联模拟p137n（3）并联模拟）并联模拟p138n*（4）用倒相积分器模拟系统）用倒相积分器模拟系统n4.5 LTI连续时间系统的零极图连续时间系统的零极图.稳定性及因稳定性及因果性果性p1394.