一元二次方程的根与系数的关系

1、21.2.4根与系数的关系解下列方程，并填写表格：解下列方程，并填写表格：x1x2xx 21xx 21022 xx0432 xx0652 xx方方 程程 0202-41-3-42365观察上面的表格，你有什么发现？根与系数关系根与系数关系 20px qx 如果关于x的方程的两根是 , ,则:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢? ?)0(02 acbxax如果关于x的一元二次方程的两根是 , ,则:x1x2abxx 21acxx 21根与系数关系根与系数关系 一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=a

2、acbb242aacbb242+=ab22=ba一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aacca)0(02 acbxax如果关于x的一元二次方程的两根是 , ,则:x1x2abxx 21acxx 21根与系数关系根与系数关系 韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一

3、个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 例例1 1：不解方程，写出下列方程的：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：两根和与两根积：013)1(2 xx0532)2(2 xx02231)3( xx362) 4(2 xx01)5(2 x0222 xx (6)不解方程，求两根和、两根积DA2B2C1D1设x1.x2是方程2x x2 2+4x-3=0+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关

4、系，求下列各式的值。22211xx 、2212212xxxx、12113xx、221)(4xx 、1221. 5xxxx126.(2)(2)xx127. xx不解方程，求两根代数式的值另外几种常见的求值的变形12121 2114xxxxx x、121 2126.(2)(2)2()4xxx xxx2221212121 2211 21 2()25.xxxxxxx xxxx xx x221212121 27.()4xxxxxxx x22212121 22()2xxxxx x、2122121 2121()x xxxx x xx、2212121 23 ()()4xxxxx x、 1.1.已知方程已知方程

5、 x2-3x+m=0 的一个根是的一个根是1 1，求另一根及求另一根及mm的值的值. .解： 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、1x1 1= 3x1 1= m解得x1 =2 m =2答：方程的另一个根是2 , m的值是2。已知一根求另一根及待定系数2.2.（20042004辽宁）已知方程辽宁）已知方程x2-4x+c=0 的一个根为的一个根为 ，求另一根及，求另一根及c c的值的值. .解：32 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、解得32 x1 = 4x1 （ ）= c32 32 答：方程的另一个根是 , c的值是1.23x1 = c =123已知一根求另一根及待定系数已知方程x

6、2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。试一试已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二： 设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2。试一试已知方程x2-5x+k=0的一个根比另一根 大1, 求它的两根及k的值。试一试以x1

7、、x2 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:2121 2()0 xxx xx x已知两根求作新的方程121225,25xxxx已知,试求做一个一元二次方程，使该方程的两根分别为 ，7已知两个数的和为，积为12，求这两个数 已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(

8、k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， 0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2 k=-2解得：k=4 或k=2022kkxx2, 1xx42221 xx设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-8k+4021k由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =

9、4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=0222201103xx若 、 是方程的两根，求的值2211(23)11131xxmxmm 已知 、 是关于 的一元二次方程=0的两实根，且，则 的值是A、3或 B、3 C、 D、 或 解下列方程，并填写表格：解下列方程，并填写表格：x1x2xx 21xx 21022 xx0432 xx0652 xx方方 程程 0202-41-3-42365观察上面的表格，你有什么发现？根与系数关系根与系数关系 20px qx 如果关于x的方程的两根是 , ,则:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次项系数不为如果

10、方程二次项系数不为1 1呢呢? ? 1.1.已知方程已知方程 x2-3x+m=0 的一个根是的一个根是1 1，求另一根及求另一根及mm的值的值. .解： 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、1x1 1= 3x1 1= m解得x1 =2 m =2答：方程的另一个根是2 , m的值是2。已知一根求另一根及待定系数2.2.（20042004辽宁）已知方程辽宁）已知方程x2-4x+c=0 的一个根为的一个根为 ，求另一根及，求另一根及c c的值的值. .解：32 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、解得32 x1 = 4x1 （ ）= c32 32 答：方程的另一个根是 , c的值是1.23x1 = c =123已知一根求另一根及待定系数已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。试一试设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的