5多自由度系统的数值计算方法ppt课件

1、制作与设计 贾启芬Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Mechanical and Structural Vibration 5.1.1瑞利第一商5.1.2瑞利第二商 Mechanical and Structural Vibration 5.1.1瑞利第一商设设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为为振型矢量，对于简

2、谐振动，其最大动能和最大势能为KAAMAATTVpT2121max2maxmaxmaxVTpTT2A KAA MA对于保守系统，由能量守恒，则有对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方pi2RATT( ) A KAA MA若若A是任意的是任意的n维矢量，则可得维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。 MxKx 0Mechanical and Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 瑞利商的平方根是基频瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假

3、设振型越接近于真的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果。作为假设振型，可以得到较满意的结果。 RAp( ) 12Mechanical and Structural Vibration用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1 。这是。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。 由于

4、11ppi), 3 , 2(ni 5.1.2瑞利第二商 0 xxM xAsin ptAMA p2 A MAA M MATTp2 如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即A MT前乘以同理，若同理，若A是任意的是任意的n矢量，则有矢量，则有pTT2A MAA M MA RATT( ) A MAA M MA 称为瑞利第二商称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，那么 是基频 的近似值 RA( )p12给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。的结果，

5、要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。 Mechanical and Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 例例5-1 用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。 解：系统的质量矩阵和刚度矩解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为阵为 III000000 110121012kK3212211111k 逆矩阵A 1 1 1TkIkITTT2143MAMAKAAMAA；计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型求第一阶固有频率的估值，取假设振型Mechanical a

6、nd Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 RATT( ) A MAA M MA RATT( ) A KAA MAIkAR333. 0)(IkAR214. 0)(在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率 ，精确到第四位值的比较误差较大。pkI120198 .Mechanical and Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型，如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型， 设设A 356TA MAA KAA M MATTTIkIk70143532; RAkIRAkI(

7、).;( ).020001983显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。到很好的第一阶固有频率的近似值。Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Mechanical and Structural Vibration 用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。李兹法对近

8、似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型应的主振型在李兹法中，系统的近似主振型假设为在李兹法中，系统的近似主振型假设为A aaass1122 12,s 1212ssTaaa,aAa 是选取的是选取的s个线性独立的假设振型个线性独立的假设振型ns矩阵s维待定系数RApTTTT( ) aKaaMa2Mechanical and Structural Vibration RAUaTap( )( )( )2RApTTTT( ) aKaaMa

9、2由于 在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方 ，所以a的各元素由下式确定RA( )pi20)()()()()(1)(2iiiaaTaUaaUaTaTaARis12 , ,0)()(2iiaaTpaaUaMaTTaT)(aKaTTaU)(Mechanical and Structural Vibration RAUaTap( )( )( )20)()(2iiaaTpaaUaMTiiaaT2)(iaaU)( )22TTTTTTTiiiiiU aaaaaaa Kaa K Ka Kaa iTiTpKaMa20is12 , ,KKTK aM a0p2MMTn个自由度缩减至个自由

10、度缩减至s 自由度。自由度。刚度矩阵刚度矩阵质量矩阵质量矩阵Mechanical and Structural VibrationaMaTTaT)(aKaTTaU)( 李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程频率方程KMp20 aiis(, , ) 12 K aM a0p2求出求出s个固有频率，即个固有频率，即n自由度系统的前自由度系统的前s阶固有频率。阶固有频率。解出其相应的特征矢量解出其相应的特征矢量求出求出n自由度系统的前自由度系统的前s阶主振型阶主振型 Aaii is 12 , , ()aM aiTjijij01 ()()AMAaMaiT

11、jiTTjijij 01正交性Mechanical and Structural Vibration 2)(pARTTMAMAMAA 0aMMaM TTp2对于瑞利第二商对于瑞利第二商Aa 利用驻值条件可得利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式个方程，将其写成矩阵形式0aM)(2 p02 pM特征方程特征方程MM T aiis(, , ) 12 求出求出s个固有频率，即个固有频率，即n自由度系统的前自由度系统的前s阶固有频率。阶固有频率。解出其相应的特征矢量解出其相应的特征矢量求出求出n自由度系统的前自由度系统的前s阶主振型阶主振型 Aaii is 12 , ,MMTMechanical

12、and Structural Vibration 例例5-2 用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及主振型。主振型。 解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵00020011110002012221,000021233000001234mkkmkkkmkkkkmkk MK 12025050075100000020060100.TT设振型Mechanical and Structural Vibration MMKK TTmk188155155140025025025036.04

13、.1035.1235.1236.152kmTMM 求出02518802515502515503614002222.kmpkmpkmpkmp02518802515502515503614000222212.kmpkmpkmpkmpaa pkmpkmaaaa122211211222012400100080100 .,.,.求出2个固有频率，即4自由度系统的前4阶固有频率。Mechanical and Structural Vibration Aa11025000050020075060100100400100079140180220220036064082100 . A1036064082100.

14、T Aa22100100000100 .T求出系统的前二阶主振型Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Mechanical and Structural Vibration 邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种方法。当其它各阶频率远远高于基频时，利用此法估算基频较方法。当其它各阶频率远远高于基频时，利用此法估算基频较为方便。为方便。由表示位移方程得到的频率方程，即由表示位移方程得到的频率方程，即 MI102p并展开得并展开得nn

15、nnnnmmm111122221012p令120n1122222111pppnn,根为式又可写成各因式连乘积的形式，即式又可写成各因式连乘积的形式，即展开得展开得nnn1210Mechanical and Structural Vibration nnnnnnmmm1111222210nnn12101211112222nnnnnmmm1111222211112222pppmmmnnnnn比较，得到若基频若基频p1远低于高阶频率，即远低于高阶频率，即11211112222pmmmnnnnkii是第是第i个质量产生单位位移时，在第个质量产生单位位移时，在第i个质量上所需加的力。个质量上所需加的力。

16、 iiiik1Mechanical and Structural Vibration 11211112222pmmmnnnn称为邓克莱公式。由于略去了高阶频率的成分，所以求得的称为邓克莱公式。由于略去了高阶频率的成分，所以求得的基频总是低于精确值。基频总是低于精确值。 iiiiiiiiiiiiiimmkkmp1121111121122222ppppnnpii表示只有表示只有mi存在时，系统的固有频率。存在时，系统的固有频率。Mechanical and Structural Vibration 例例5-3 用邓克莱公式计算例用邓克莱公式计算例5-1中的三圆盘转轴系统的基频。中的三圆盘转轴系统的

17、基频。112233123123kkkIIII,11112366016671211222233212ppppIkIkIkIkpkIkI .解：由例解：由例5-1所解可知所解可知显然用邓克莱法求基频十分方便，但误差较大，故仅适用于显然用邓克莱法求基频十分方便，但误差较大，故仅适用于初步估算。初步估算。Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型求第一阶固有频率和主振型5.4.2 求较高阶的固有频率及

18、主振型求较高阶的固有频率及主振型 Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型矩阵迭代法，亦称振型迭代法是采用逐步逼近的方法来确定矩阵迭代法，亦称振型迭代法是采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。系统的主振型和频率。0AIM)1(2p AMA21p MD 系统的动力矩阵系统的动力矩阵求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是由位移方程，即求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是由位移方程，即用动力矩阵用动力矩阵D前乘以假设振型前乘以假设振型A0 ，然后归一化，可得，然后归一化，可得A1，即，即DAA011 a矩阵迭代法的过程是

19、：矩阵迭代法的过程是：（1选取某个经过归一化的假设振型选取某个经过归一化的假设振型A0Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型（2假设 ，就再以A1为假设振型进行迭代，并且归一化得到A2，AA10DAA122 a（3假设 ，则继续重复上述迭代步骤，得AA21DAAkkka1直至 时停止AAkk1apk12 AA1k第一阶主振型第一阶主振型Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型可以看出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶主可以看出：尽管开始假设的振型不理想

20、，它包含了各阶主振型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大。但在振型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近渐增强，最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近A(1)则则迭代过程快；假设振型与迭代过程快；假设振型与A(1)相差较大则迭代过程收敛的慢，相差较大则迭代过程收敛的慢，但最终仍然得到基频和第一阶主振型。但最终仍然得到基频和第一阶主振型。如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零，如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为

21、零，则收敛于第二阶主振型；如果前则收敛于第二阶主振型；如果前s 阶主振型的分量为零，则阶主振型的分量为零，则收敛于第收敛于第s+1阶主振型。阶主振型。应当指出，若用作用力方程进行迭代，则收敛于最高固有应当指出，若用作用力方程进行迭代，则收敛于最高固有频率和最高阶主振型。频率和最高阶主振型。 Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型例例5-4 用矩阵迭代法求例用矩阵迭代法求例5-1所示系统的第一阶固有频率及振型。所示系统的第一阶固有频率及振型。 解：解： 由例由例5-1中计算的结果可得到动力矩阵中计算的结果可得到动力矩阵DM I

22、k111122123A01 1 1T取初始假设振型取初始假设振型DAA01111122123111356310000166672 00003IkIkIkIk.A1100001666720000.T进行迭代，经过第一次迭代后，得进行迭代，经过第一次迭代后，得Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型第二次迭代第二次迭代DAA1211112212310000166672000046667833441033344666710000178582214346667IkIkIkIk.继续迭代下去继续迭代下去320000. 52429. 28

23、000. 10000. 10000. 5ADAkIkI430429. 52465. 28017. 10000. 10479. 5ADAkIkI540482. 52469. 28019. 10000. 10482. 5ADAkIkI650488. 52470. 28019. 10000. 10488. 5ADAkIkI760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIkIMechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一阶固有频率和主振型760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIk

24、IAA76150489019801212pIkpkI.,. A1100001801922470.T与之对应的第一阶主振型为与之对应的第一阶主振型为Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 当需用矩阵迭代法求第二阶、第三阶等高阶频率及振当需用矩阵迭代法求第二阶、第三阶等高阶频率及振型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振型的成分。由展开定理型的成分。由展开定理 AAAACCCnn1122由正交性由正交性 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA MATi)(前乘

25、Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 AAAACCCnn1122 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA如果要在A中消去A(1)的成分，则只需取假设振型为 AAAAAMAIAAMAQ ACMMTT111111111()() QIAAM1111()TM其中称为前称为前P阶清除矩阵。应用阶清除矩阵。应用QP A作为假设振型进行迭代，作为假设振型进行迭代，将得到第将得到第P+1阶固有频率及主振型。阶固有频率及主振型。 Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求较高阶的

26、固有频率及主振型 应当注意到，在运算中不可避免地存在舍入误差，即在迭代过应当注意到，在运算中不可避免地存在舍入误差，即在迭代过程中难免会引入一些低阶主振型分量，所以在每一次迭代前都程中难免会引入一些低阶主振型分量，所以在每一次迭代前都必须重新进行清除运算。实际上，可以把迭代运算和清除低阶必须重新进行清除运算。实际上，可以把迭代运算和清除低阶振型运算合并在一起，即将清除矩阵并入动力矩阵振型运算合并在一起，即将清除矩阵并入动力矩阵D中去，并中去，并入原理如下。入原理如下。 DADAAA()CCCnn1122所以所以 DAADAA1121211ppiii, DAAAACpCpCpnnn1121222

27、22由于由于从DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()()Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 从DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()()称之为已含清除矩阵的新动力矩阵。用矩阵称之为已含清除矩阵的新动力矩阵。用矩阵D*进行迭代将进行迭代将得到第二阶主振型及第二阶固有频率。得到第二阶主振型及第二阶固有频率。 DDAAM11112()TM p因此，包含前因此，包含前P阶清除矩阵的动力矩阵为阶清除

28、矩阵的动力矩阵为 DDAAMjjTjjjPM p()21Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 例例5-5 用矩阵迭代法求例用矩阵迭代法求例5-4系统中系统中的第二阶固有频率及主振型。的第二阶固有频率及主振型。 pkIT12101980100001801922470.,.A解：在例解：在例5-4中，用矩阵迭代法已求出系统的第一阶固有频率和中，用矩阵迭代法已求出系统的第一阶固有频率和主振型为主振型为 IMT2959. 9)(111MAA于是，可计算出于是，可计算出 0490. 50489. 42479. 20489. 424

29、68. 38019. 12479. 28019. 10000. 1)(11ITMAAMechanical and Structural Vibration 5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 DDAAM11112045670201002208020100235901998022080199802569().TM pIk得到含清除矩阵的动力矩阵得到含清除矩阵的动力矩阵 A021 11T pkIT22215552100000445208020.,.A选取初始假设振型选取初始假设振型现经过十二次迭代后，得到现经过十二次迭代后，得到Mechanical and Structural Vibrati

30、on 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Mechanical and Structural Vibration 将矩阵迭代法与李兹法结合起来，可以得到一种将矩阵迭代法与李兹法结合起来，可以得到一种新的计算方法，即子空间迭代法。新的计算方法，即子空间迭代法。它对求解自由度数较大系统的较低的前若干阶固它对求解自由度数较大系统的较低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。有频率及主振型非常有效。Mechanical and Structural Vibration 计算系统的前P阶固有频率和主振型，按照李兹法，可假设s个振型且sP。将这些假设振型排列成ns阶矩阵，即A01

31、2 s其中每个 都包含有前P阶振型的成分，也含有高阶振型的成分。 Mechanical and Structural Vibration 为了提高李兹法求得的振型和频率的精确度，将A0代入动力矩阵中进行迭代，并对各列阵分别归一化后得 MA0MD 目的是使 比A0含有较强的低阶振型成分，缩小高阶成分。但如果继续用 进行迭代，所有各阶振型即 的各列都将趋于A(1)。 为了避免这一点，可以在迭代过程中进行振型的正交化。用李兹法进行振型正交化具有收敛快的特点。因为它是利用瑞利取驻值的条件，寻求s2个aij的系数，使得 的每一列都成为相对应振型A(i)的最佳近似。 Mechanical and Stru

32、ctural Vibration 所以用 作为假设振型，再按李兹法求解，即设 Aa 可求得广义质量矩阵和广义刚度矩阵MM TKKss阶待定系数方阵KaM a p2得到s个值 及对应的特征矢量 p2a再由李兹法特征值问题，即求解方程A从而求出Mechanical and Structural Vibration 然后，以求出的 作为假设振型进行迭代，可求得A MAAa与李兹法特征值问题，解出 。aA,由李兹法，即不断地重复矩阵迭代和李兹法的过程，就可以得到所需精度的振型和固有频率。Mechanical and Structural Vibration迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放

33、大，即向 张成的子空间靠拢。 子空间迭代法是对一组假设振型反复地使用迭代法和李兹法的运算。 从几何观点上看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。 AAA12、n 12、s而假设的s个线性无关的n维矢量 张成一个s 维子空间， AAA12、sMechanical and Structural Vibration 如果只迭代不进行正交化，最后这s个矢量将指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李兹法作了正交处理，则这些矢量不断旋转，最后分别指向前s个特征值的方向。 12、s AAA12、s即由张成的一个s 维子空间，经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由所张成

34、的子空间。Mechanical and Structural Vibration 在实践中发现，最低的几阶振型一般收敛很快，经过二至三次迭代便已稳定在某一数值。 在以后的迭代中不能使这几个低阶振型值的精度进一步提高，只是随着迭代次数的增加，将有越来越多的低阶振型值稳定下来。 所以，在计算时要多取几个假设振型，如果所需求的是P个振型，则假设振型个数s一般应在2P与2P+8之间取值。Mechanical and Structural Vibration 子空间迭代法有很大的优点，它可以有效地克服由于等固有频率或几个频率非常接近时收敛速度慢的困难。 同时，在大型复杂结构的振动分析中，系统的自由度数目

35、可达几百甚至上千，但是，实际需用的固有频率与主振型只是最低的三、四十个，通常对此系统要进行坐标缩聚。 与其它方法相比，子空间迭代法具有精度高和可靠的优点。因此，它已成为大型复杂结构振动分析的最有效的方法之一。 Mechanical and Structural Vibration 例5-6 用子空间迭代法求例5-2中所示系统的前二阶固有频率及振型。A002500250075010001000100000000900.T解：系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵已由前例求出。现取假设振型由动力矩阵迭代得到Tkm600. 0300. 0200. 1100. 1500. 7500. 6750. 4500. 20MA 将各列分别归一化得 0