第2讲第一章基本概念

1、第一章 概率论的基本概念第一节第一节 随机试验随机试验第二节第二节 样本空间样本空间 随机事件随机事件第三节第三节 频率与概率频率与概率第四节第四节 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) )第五节第五节 条件概率条件概率第六节第六节 独立性独立性第一节第一节 随机试验随机试验几个具体试验几个具体试验随机试验随机试验小结小结 上一讲中，我们了解到，上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性规

2、律性，称为随机现象的统计规律性.而概率而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科论正是研究随机现象统计规律性的一门学科. 现在，就让我们一起，步入这充满随机性的现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究世界，开始第一步的探索和研究. 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象研究随机现象,首先要对研究对象进行首先要对研究对象进行观察试验观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术这里的试验是一个含义广泛的术语语.它包括各种各样的科学试验它包括各种各样的科学试验,甚至对某一甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验事物的某一特征的观察也认为是一种试验. . , : 出现

3、的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,THE2出现出现 . , : 3观察出现的点数观察出现的点数抛一颗骰子抛一颗骰子E . : 4内接到的呼唤次数内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟记录电话交换台一分钟E . : 6温度和最低温度温度和最低温度记录某地一昼夜的最高记录某地一昼夜的最高E : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. .5 : E在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命测试它的寿命.上

4、述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点:(1) 试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称为.E几个试验实例几个试验实例随机试验的定义随机试验的定义第二节第二节 样本空间样本空间 随机事件随机事件 样本空间样本空间 随机事件随机事件 事件间的关系与事件的运算事件间的关系与

5、事件的运算 小结小结 . : 6温度和最低温度温度和最低温度记录某地一昼夜的最高记录某地一昼夜的最高E试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命. : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,THE2出现出现 : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. .试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的我们注意到我们注意到根据这个目的根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结

6、果. 试验的全部可能结果试验的全部可能结果,是在试验前就明确的是在试验前就明确的;或者虽不能确切知道试验的全部可能结果或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可但可知道它不超过某个范围知道它不超过某个范围. 试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的 的的集集合合的的所所有有可可能能结结果果所所组组成成一一个个随随机机试试验验E 的的称为随机试验称为随机试验 E 记为记为 . S , , 称为称为的每个结果的每个结果即即样本空间中的元素样本空间中的元素E . 样本点样本点 , 样本空间样本空间样本点样本点e. S 现代集合论为表述随机试验提

7、供了一个方便的现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具工具 . 例如例如,试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次试验中必有在每次试验中必有一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅有一个样本点出现有一个样本点出现 .则样本空间则样本空间如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可

8、以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，S = t ：t 0样本空间样本空间故故 若试验是将一枚硬币抛掷两次若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现观察正面出现的次数：的次数： 则样本空间则样本空间 0,1,2S 由以上两个例子可见由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验样本空间的元素是由试验的目的所确定的的目的所确定的. 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（出，结果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分别是烟、分别是烟、酒年支出的元数酒年支出的元数. 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三也可以按

9、某种标准把支出分为高、中、低三档档. 这时，这时，样本点有（高样本点有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9种，样本空间就由这种，样本空间就由这9个样本点构成个样本点构成 .这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成内一切点构成 . . 1本空间本空间写出下列随机试验的样写出下列随机试验的样例例 . , : 出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 : 1S , TH : 2S 1,2,3 , 0 : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次

10、数. . . : 3内接到的呼唤次数内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟记录电话交换台一分钟E : 3S 3, 1,2, , 0 , 8 2其其中中个个大大小小完完全全相相同同的的球球一一个个袋袋中中装装在在例例 , 4 , 4 搅匀后从中任取搅匀后从中任取个是红色的个是红色的个是白色的个是白色的有有 . , 间间求求此此随随机机试试验验的的样样本本空空一一球球 : S , 红球红球白球白球 请注意：请注意： 实际中实际中,在进行随机试验时在进行随机试验时,我们往往我们往往会关心会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合满足某种条件的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例

11、如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定若规定灯泡的寿命灯泡的寿命 (小时小时) 小于小于500为次品为次品, 那么我们关心那么我们关心灯泡的寿命灯泡的寿命 是否满足是否满足 .t500t 或者说或者说, 我们关心我们关心满足这一条件的样本点组成的一个集合满足这一条件的样本点组成的一个集合 .500t t 这就是这就是 . , , 等表示等表示常用常用随机事件简称事件随机事件简称事件CBA试验试验 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为 的的随机事件随机事件.EES : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件

12、B=掷出奇数点掷出奇数点事件事件 A=掷出掷出1点点 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件 C 出现的点数大于出现的点数大于44 基本事件基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件)事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点, i =1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.基本事件基本事件 当且仅当集合当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷

13、出的点数 . : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.两个特殊的事件：两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7”是必是必然事件然事件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用S表示表示; 不件可事能而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.即在一次试验中不可能发生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示表示 .2, AACBASE、的样本空间为的样本

14、空间为设试验设试验1 . 的事件的事件试验试验 E : 1.包含关系包含关系 BA发发生生必必然然导导致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或称事件或称事件包含事件包含事件则称事件则称事件发生发生 ( , AAB , ) 记作记作的子事件的子事件B . ABBA 或或 , 都有都有对于任何事件对于任何事件 A . SA 相等关系相等关系 , 与与则称事件则称事件且且若若AABBA , 记作记作或称等价或称等价相等相等事件事件 B . BA : 2.和事件和事件 的的至少有一个发生所构成至少有一个发生所构成、事件事件BA . 记作记作的和的和与事件与事件事件叫做事件事件叫做事件BA . BA

15、, 称事件称事件类似地类似地 2中至少有一个发中至少有一个发、nAAA1 生的事件为事件生的事件为事件. 21的和事件的和事件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 2件为件为中至少有一个发生的事中至少有一个发生的事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事件AA1 记之为记之为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA : 3.积事件积事件 同同时时发发生生所所构构成成的的事事件件、事事件件BA . 记作记作的积事件的积事件与事件与事件叫做事件叫做事件BA. ABBA或或 , 称事件称事件类似地类似地 21同同时时发发生生所所构构成成的的、nAAA 的事件

16、为事件的事件为事件. 21的积事件的积事件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 21件为事件为事、同时发生所构成的事、同时发生所构成的事、AA. 21的积事件的积事件、件件AA 记之为记之为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA 例如例如 ,5 , 3 , 2 , 1, 4 , 2 CB CB 则则 性质性质 ; , 1BABBAA ; , 2BBABABAA CB 则则; , BBAABA ; , 3AAAAAA ., , 4BBAAABAB 则则若若 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 . 2 : 4.差事件 不发生所构不发生所构发生而事件

17、发生而事件称事件称事件BA , 记作记作的差事件的差事件与事件与事件成的事件为事件成的事件为事件BA . BA ABABABA : 5.互斥事件 , 即即不能同时发生不能同时发生、若事件若事件BA . 相容事件相容事件. , BABA 记为记为可将可将当两事件互不相容时当两事件互不相容时 在一次试验在一次试验与事件与事件若事件若事件BA : 6.对立事件 ,满足条件满足条件、即即发生发生中必有且只有其中之一中必有且只有其中之一BA ABSAB 且且 , 、或称事件或称事件为互逆事件为互逆事件与事件与事件则称事件则称事件BABA . 的对立事件记为的对立事件记为事件事件互为对立事件互为对立事件A

18、 . A . 容的容的基本事件是两两互不相基本事件是两两互不相 , ABAB 事事件件与与事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不则称则称为为 : 关系关系对立事件与互斥事件的对立事件与互斥事件的 . , 但互斥不一定对立但互斥不一定对立对立一定互斥对立一定互斥 两事件两事件A、B互斥：互斥：两事件两事件A、B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，还要求外，还要求 AB ABS互斥互斥、 BAA 对立事件对立事件BABA ABABAAABABAB ; , : 1BAABABBA 交换律交换律 , : 2CBACBA

19、结合律结合律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分配律分配律 ; CBCACAB 事件的运算满足的规律事件的运算满足的规律 : 4对偶律对偶律摩根律摩根律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 3检验某种圆柱形产品检验某种圆柱形产品按长度和直径两个指标按长度和直径两个指标例例 , , . 直径合格直径合格长度合格长度合格若设若设是否为合格品是否为合格品 BA , 产品为合格品产品为合格品的运算表示事件的运算表示事件、试用试用 CBA . 产产品品为为不不合合格格品品 D 解解

20、 度和直径两个指标度和直径两个指标产品为合格品必须是长产品为合格品必须是长 , 因此因此合格合格ABC 度和直径两个指标度和直径两个指标产品为不合格品是指长产品为不合格品是指长 , 因此因此格格中至少有一个指标不合中至少有一个指标不合BAD . ABD 或或 1中的三个随机中的三个随机为样本空间为样本空间、设设练习练习SCBA : , 件件的运算表示下列随机事的运算表示下列随机事、试用试用事件事件CBA ; 1都不发生都不发生与与发生而发生而CBA ; 2都不发生都不发生、CBA ; 3中恰好有一个发生中恰好有一个发生、CBA ; 4中至少有两个发生中至少有两个发生、CBA ; 5中至少有一个

21、发生中至少有一个发生、CBA . 6中恰好有两个发生中恰好有两个发生、CBA 解解 CBA 1 2CBA 3CBACBACBA 4ABCCABCBABCA CBA 5CBACBACBA 或或BCACAB 或或 CABCBABCA 6 , 2记记进行三次射击进行三次射击设某射手对一目标接连设某射手对一目标接连练习练习 , , 次未击中目标次未击中目标第第次击中目标次击中目标第第iAiAii 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1 表示事件表示事件试用试用 iAAiii 3 , 2 , 1 , 0, 1 jjBj次击中目标次击中目标三次射击中恰好有三次射击中恰好有 3 , 2 , 1 , 0

22、, 2 kkCk次击中目标次击中目标三次射击中至少有三次射击中至少有 解解 0 1 B 次击中目标次击中目标三次射击中恰好有三次射击中恰好有0321AAA 1B321321321AAAAAAAAA 2B321321321AAAAAAAAA 3B321AAA 0 2 C 次次三次射击中至少击中三次射击中至少击中0 次次次或次或次或次或次或次或三次中恰好击中三次中恰好击中321 0 3210BBBB 1C321BBB 2C32BB 3C3B 321AAA 323121AAAAAA 321AAA 样本空间和随机事件的定义样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算 那么要

23、问那么要问: 如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题下面几节就来回答这个问题. 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事率件概的第三节第三节 频率与概率频率与概率频率的定义频率的定义概率的定义概率的定义小结小结 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是小，也就是事件的概率事件的概率. .概率是随机事件概

24、率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！ 了解事件发生的可能性即概率的大小，对了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？人们的生活有什么意义呢？ 我先给大家举几个例子，也希望你们再我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子补充几个例子. 例如，了解发生意外人身事故的可能性例如，了解发生意外人身事故的可能性大小大小,确定保险金额确定保险金额. . 了解来商场购物的顾客人数的各种可能了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置服务人员. . 了解每年最大洪水超警戒线

25、可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度. .一、一、频率的定义频率的定义 :频率频率 , , A次次出现了出现了事件事件次重复试验中次重复试验中设在设在nAn , A比比值值次次试试验验中中出出现现的的频频数数在在为为事事件件则则称称nAn , 记为记为次试验中出现的频率次试验中出现的频率在在为事件为事件nAnnA , Afn 即即 . nAfn : 频率所具有的三个性质频率所具有的三个性质 ; 10 1 AP ; 21 SP , , , 32则则是两两互斥事件是两两互斥事件设设kAAA1 22kkAPAPAPAAAP 11试验者试验者抛币次数抛币次数

26、n “正面向上正面向上”次数次数 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005 )(Afn抛掷钱币试验记录抛掷钱币试验记录 Afn , 的频率的频率正面向上正面向上出现出现从上表中可以看出从上表中可以看出 , 次次但总的趋势是随着试验但总的趋势是随着试验的不同而变动的不同而变动虽然随虽然随 n . 5 . 0 这个数值上这个数值上数的增加而逐渐稳定在数的增加而逐渐稳定在 定义定义 , 行大量的重复试验行大量的重复试验在不变的一组条件下进在不变的一组条件下进 会

27、稳定地在某个固定的会稳定地在某个固定的出现的频率出现的频率随机事件随机事件nA , 为随机为随机我们称这个稳定值我们称这个稳定值的附近摆动的附近摆动的数值的数值pp , 即即的概率的概率事件事件 A . pAP 这个定义也称为这个定义也称为. 概率的统计定义概率的统计定义 可见可见, 在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定性有稳定性.即通常所说的即通常所说的统计规律性统计规律性.二、概率的定义二、概率的定义 概率的公理化定义概率的公理化定义 S , 是它的是它的是随机试验是随机试验设设 E , AP , 赋予一个实数赋予一个实数的每一个事件的每一

28、个事件对于对于样本空间样本空间AE : , A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概率的概率称之为事件称之为事件 ; 0 1 AP 非负性非负性 ; 1 2 SP 规范性规范性 , 321有有对于两两互斥事件对于两两互斥事件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性 . 推得概率的下列性质推得概率的下列性质由概率的公理化定义可由概率的公理化定义可 1性质性质 0 . P 证证 因为因为 , 故由概率公故由概率公件两两互斥件两两互斥由于上式右端可列个事由于上式右端可列个事 , 有有理化定义的可列可加性理化定义的可列可加性 PP PPP , 再由概率的非负性可得再由概率的非负性

29、可得 0 . P 2性性质质 , , 21则则两两互斥两两互斥设有限个事件设有限个事件nAAA 1212 . nnP AAAP AP AP A 证证 因为因为1212nnAAAAAA , 1 有有质质所以由可列可加性及性所以由可列可加性及性 1212nnP AAAP AAA 12nP AP AP APP 12 00 nP AP AP A 12 . nP AP AP A 3 性质性质 , 有有对于任何事件对于任何事件 A . 1APAP 证证 因为因为 , . AAAA 且且 所以所以 PAAP . 1 并且并且 APAPAAP , 由以上两式可得由以上两式可得 1 APAP 即即 . 1APA

30、P 4 性质性质 , , 则则且且为两事件为两事件、设设BABA BPAPBAP 证证 , , 所以所以因为因为如图如图BA ABBA B AB 并且并且 BABA , 2 可得可得于是由性质于是由性质 BAPBPAP 也即也即 , BPAPBAP 并且并且 . BPAP , 有有又由概率的非负性又由概率的非负性 0 BPAPBAP 即即 . BPAP 5 性质性质 , 都有都有对于任一事件对于任一事件 A . 1 AP 证证 , 都有都有因为对于任一事件因为对于任一事件 A A , 4 可得可得故由性质故由性质 . 1 PAP 6 性质性质 , , 则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA

31、ABPBPAPBAP 证证 , 如图所示如图所示 BAABBA ABBA 而且而且 A BAB 所以所以 BAP ABBPAP . ABPBPAP 由此性质还可推得由此性质还可推得 BAP . BPAP : 还可以推广还可以推广而且此结果而且此结果 CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP DCBAP DPCPBPAP CDPBDPBCPADPACPABP ABCDPACDPBCDPABDPABCP 1 iniAP niiAP1 njijiAAP,1 nkjikjiAAAP,1 nnAAAP 2111 , 41 , 1 APBA且已知且已知为两个随机事件为两个随机事件、设设例例 .

32、, 21ABPBP就下列三种情况求概率就下列三种情况求概率 . 91 3 ; 2 ; 1 ABPBABA互斥互斥与与 解解 , 1所以所以互斥互斥、由于由于BA互斥互斥、 BAAB AB BPABP . 21 BAB 于是于是 所以所以 BABA , 2所以所以因为因为BA ABPABP APBP . 414121 ABP 3 BAABBA ABBP ABPBP . 1879121 , 41 , 2 CPBPAPCBA且且是三事件是三事件、设设例例 至少有至少有、求求 . 81, 0CBAACPBCPABP . 一个发生的概率一个发生的概率 解解 CBAP ACPABPCPBPAP 08141

33、3 . 85 ABCPBCP 三、小结三、小结频率的定义频率的定义概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. .它介于它介于0与与1之间之间. .第四节第四节 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) )古典概型的定义古典概型的定义古典概率的求法举例古典概率的求法举例小结小结 我们首先引入的计算概率的数学模型，我们首先引入的计算概率的数学

34、模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析，假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比比任一其它结果，例如任一其它结果，例如 ej, 更有优势，则我们只好认更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.e1, e2, ，eN ,常常把这样的试验结果称

35、为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1, e2, ，eN 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从中任取一球. 因为抽取时这些球是完因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认全平等的，我们没有理由认为为10个球中的某一个会比另个球中的某一个会比另一个更容易取得一个更容易取得 . 也就是说，也就是说，10个球中的任一个被取出的个球中的任一

36、个被取出的机会是相等的，均为机会是相等的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球， i =1,2,10 . 称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说基本或者说基本事件事件)出现的可能性相同出现的可能性相同 .S=1,2,10 ,则该试验的样本空间则该试验的样本空间 如如i =2称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典概型. 若随机试验满足下

37、述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=? P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6这里实际上是从这里实际上是从“比例比例” 转化为转化为“概率概率”记记 B=摸到红球摸到红球 , P(B)=6/10静态动态 当我们要求当我们要求“摸到红球摸到红球”的概的概率时，只要找出它在静态时相应的率时，只要找出它在静态时相应的比例比例.2 3479

38、108615 . , , , neeeSE21 的样本空间为的样本空间为设古典概率设古典概率 , 即即事件发生的可能性相同事件发生的可能性相同由于在试验中每个基本由于在试验中每个基本 nePePeP 21 . 于是于是互不相容的互不相容的又由于基本事件是两两又由于基本事件是两两 SP 1 neeeP 21 nePePeP 21 ienP 所以所以 . , n,inePi211 , 即即个基本事件个基本事件包含包含若事件若事件kA kiiieeeA 21 则有则有 AP 21kiiiePePeP nk 中的基本事件总数中的基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数SA . , ii . , .

39、 122APAAPAi求求至少有一次出现正面至少有一次出现正面为为设事件设事件求求恰有一次出现正面恰有一次出现正面为为设事件设事件将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次例例11 解解 : 此试验的样本空间为此试验的样本空间为 . TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHS , TTH,THT,HTTA 1而而 所以所以 1AP . 83 2AP . 87 . TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHA 2 , 3 9 2次次件次品的箱子中任取两件次品的箱子中任取两、件正品件正品从有从有例例 : , 试分别以试分别以每次取一件每次取一件 ; : 1后放回后放回即

40、每次抽取的产品观察即每次抽取的产品观察有放回抽样法有放回抽样法 ; : 2不放回不放回即每次抽取产品观察后即每次抽取产品观察后不放回抽样法不放回抽样法 两种抽样方式求事件两种抽样方式求事件 , 取得两件正品取得两件正品 A , , 第二次取得次品第二次取得次品第一次取得正品第一次取得正品 B , 取得一件正品一件次品取得一件正品一件次品 C . 的概率的概率 解解 . 1 采取有放回抽样采取有放回抽样 , , 取法总数为取法总数为每次取一件每次取一件从箱子中任取两件产品从箱子中任取两件产品.122 . 12 2本事件数为本事件数为即样本空间中所含的基即样本空间中所含的基 为为中所含有的基本事件

41、数中所含有的基本事件数事件事件 A . 9CC21919 所以所以 12922 AP 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数事件事件 B . 39CC1319 所以所以 12392 BP . 169 . 163 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数事件事件 C . 54 9339CCCC19131319 所以所以 12542 CP. 83 . 2 采取不放回抽样采取不放回抽样 , , 取法总数为取法总数为每次取一件每次取一件从箱子中任取两件产品从箱子中任取两件产品 . 1112 基本事件总数为基本事件总数为即样本空间中所含有的即样本空间中所含有的 . 1112 为为中所含有的基本

42、事件数中所含有的基本事件数事件事件 A . 89CC1819 所以所以 111289 AP 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数事件事件 B . 39CC1319 所以所以 111239 BP . 116 . 449 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数事件事件 C . 9339CCCC19131319 所以所以 11129339 CP. 229 3 9 3件产件产件次品的箱子中任取两件次品的箱子中任取两、件正品件正品从有从有例例 , 求事件求事件即一次抽取两件产品即一次抽取两件产品品品 , 取得两件正品取得两件正品 A , 取得一件正品一件次品取得一件正品一件次品 C . 的

43、概率的概率 解解 , 取法总数为取法总数为从箱子中任取两件产品从箱子中任取两件产品 . 212C 含有的基本事件总数为含有的基本事件总数为即试验的样本空间中所即试验的样本空间中所 . 212C 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数事件事件 A . 29C 所以所以 21229CC AP 1211121289 . 116 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数事件事件 C . 1319CC 所以所以 2121319CCC AP 12111239 . 229 , 4个格子个格子每个都等可能地落入每个都等可能地落入个小球个小球设有设有例例Nn : , 试求下列事件的概率试求下列事件的概

44、率中中Nn ; 1个格子中各有一球个格子中各有一球某指定的某指定的 nA . 2个格子中各有一球个格子中各有一球任意的任意的 nB 解解 , 应有应有个格子中个格子中个球都等可能地落入到个球都等可能地落入到 Nn , 所以所以种可能的方法种可能的方法nN 基本事件总数为基本事件总数为.nN 所含的基本事件数为所含的基本事件数为事件事件 A !n 所含的基本事件数为所含的基本事件数为事件事件 B !nCnN 故故 , !nNnAP . !nnNNnCBP , 4 , 5 5求求只只从中任取从中任取双不同型号的鞋子双不同型号的鞋子有有例例 ; 4 1只鞋恰好为两双只鞋恰好为两双取出的取出的 : 下

45、列各事件的概率下列各事件的概率 ; 4 2只鞋都是不同型号的只鞋都是不同型号的取出的取出的 . 4 3双双只鞋恰好有两只配成一只鞋恰好有两只配成一取出的取出的 解解 , 4 A只鞋恰好为两双只鞋恰好为两双取出的取出的设设 , 4 B只鞋都是不同型号的只鞋都是不同型号的取出的取出的 . 4 C双双只鞋恰好有两只配成一只鞋恰好有两只配成一取出的取出的 , 4 10 5 取法总数为取法总数为只只中任取中任取只只双鞋子双鞋子从从 . 410C 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数A . 25C 为为中所含有的基本事件数中所含有的基本事件数B . 1212121245CCCCC 为为中所含有的基

46、本事件数中所含有的基本事件数C . 1212242215CCCCC 于是可得于是可得 AP 1 41025CC 1234789101245 . 211 BP 2 4101212121245CCCCCC 21080 . 218 CP 3 4101212242215CCCCCC 210120 . 74 ? 8 , 6 , 20001 6 整除的概率是多少整除的概率是多少也不能被也不能被整除整除整数既不能被整数既不能被问取到的问取到的数数的整数中随机地取一个的整数中随机地取一个在在例例 解解 . 8 , 6 整除整除取到的数能被取到的数能被整除整除取到的数能被取到的数能被设设 BA 又又 AP ,

47、2000333 BP , 2000250 所求概率为所求概率为 BAP BAP 1BAP 1ABPBPAP ABP , 200083 故所求概率为故所求概率为200083200025020003331 p . 43 . 3 ; i . 3 15 , 15 7 级的概率级的概率名优秀生分配在同一班名优秀生分配在同一班名优秀生的概率名优秀生的概率每一个班级各分配到一每一个班级各分配到一求求名是优秀生名是优秀生名新生中有名新生中有这这去去到三个班级中到三个班级中名新生随机地平均分配名新生随机地平均分配将将例例ii 解解 15级的分法总数为级的分法总数为名新生平均分到三个班名新生平均分到三个班 555

48、10515 5!5!10! 10!5!15! . 5!5!5!15! i优秀生的分法为优秀生的分法为每一个班级各分到一名每一个班级各分到一名 4448412 !3 . 4!4!4!12! 3! 于是所求概率为于是所求概率为 5!5!5!15! 4!4!4!12! 3! 1p . 9725 ii班班级级的的分分法法为为三三名名优优秀秀生生分分到到同同一一个个 55510212 3 . 2!5!5!12! 3 于是所求概率为于是所求概率为 5!5!5!15! 2!5!5!12!3 2 p . 916 . . 12 , 12 8 规定的规定的可以推断接待时间是有可以推断接待时间是有问是否问是否四进行

49、的四进行的次接待都是在周二和周次接待都是在周二和周所有这所有这已知已知次来访次来访待过待过某接待站在某一周曾接某接待站在某一周曾接例例 解解 , 而各来访者而各来访者没有规定没有规定假设接待站的接待时间假设接待站的接待时间 . 待站是等可能的待站是等可能的在一周的任一天中去接在一周的任一天中去接 12 次接次接则则 的概率为的概率为待来访者都在周二周四待来访者都在周二周四 p121272 . 0.0000003 . 这是小概率事件这是小概率事件 . 规定的规定的所以认为接待时间是有所以认为接待时间是有例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将

50、卡片放入同一盒中，七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：意义：如果多次重

51、复这一抽卡试验，则我们所关心如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在的事件在1260次试验中大约出现次试验中大约出现1次次 .42200079. 012601! 74p解解 七个字母的排列总数为七个字母的排列总数为7！ 这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔的把握怀疑这是魔术术.解解=0.3024允许重复的排列允许重复的排列问问错在何处？错在何处？例例2 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可个数字组

52、成，每个数字可能是从能是从0- -9这十个数字中的任一个，求这十个数字中的任一个，求电话号码由五电话号码由五个不同数字组成个不同数字组成的概率的概率. .计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不同.从从10个不同数字中个不同数字中取取5个的排列个的排列510510Pp 551010Cp 例例3 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中件中任取任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解解 令令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？nNknM

53、NkMBP)(次品正品M件次件次品品N-M件件正品正品解解 把把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的分法只的分法总数为总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，每堆堆，每堆2只只 . 问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？ “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本们需要根据实际情况去判断是

54、否可以认为各基本事件或样本点是等可能的事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.请注意：请注意： 在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性由对称性和均衡性，我们就可，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配

55、成一双”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的错在同样的“4只配成两只配成两双双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？ 正确的答案是：正确的答案是：410252815)(AP请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排

56、列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有间房中各有一人的概率一人的概率.人人房房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这求这n (n 365)个人的生日互不

57、相同的概率个人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车个车站，设每个人在站，设每个人在每站下车的概率为每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n个站各个站各有一人下车的概率有一人下车的概率.旅客旅客车站车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸次车祸，假设每天发生车祸的概率相同的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好

58、发生一次车祸的概率.车祸车祸天天你还可以举出其它例子，留作课下练习你还可以举出其它例子，留作课下练习. 这一节，我们介绍了古典概型这一节，我们介绍了古典概型. 古典概型古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型是常见的几种模型 .箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配课下可通过作业进一步掌握课下可通过作业进一步掌握.古典概型的定义古典概型的定义古典概率的求法古典概率的求法第五节第五节 条件概率条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式小结小结 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信

59、息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例如例如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中

60、只有1个在集个在集A中中.于是于是容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)P(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP则则P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据的时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取