离散变量与随机变量的最优化方法

1、第七章 离散变量和随机变量的最优化方法 7.1 7.1 引言引言 7.2 7.2 离散变量优化设计的基本概念离散变量优化设计的基本概念 7.3 7.3 离散变量优化设计的数学模型离散变量优化设计的数学模型 7.4 7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件离散变量优化设计的最优解及收敛条件 7.5 7.5 随机变量优化设计的基本概念随机变量优化设计的基本概念 7.6 7.6 随机变量优化设计的数学模型随机变量优化设计的数学模型 7.7 7.7 随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解7.1 7.1 引言引言一一. . 变量类型：变量类型： 工程实际问

2、题中不是单一的连续变量，经常是各种类工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变量的混合。有：型变量的混合。有： 连续变量连续变量 确定型确定型 整型变量整型变量 离散变量离散变量 随机变量随机变量 不确定型不确定型 混合变量混合变量 所以需要相应的优化方法。所以需要相应的优化方法。 1 1、齿轮传动装置的优化设计：齿数、模数、齿宽和变位系数为设计、齿轮传动装置的优化设计：齿数、模数、齿宽和变位系数为设计 变量。齿数为整型变量，模数为离散变量，齿宽和变位系数为连变量。齿数为整型变量，模数为离散变量，齿宽和变位系数为连 续变量。续变量。2 2、桥式起重机主梁的优化设计：板厚、桥式起重机主梁

3、的优化设计：板厚t t1 1,t,t2 2,t,t3 3、主梁高度、宽度为、主梁高度、宽度为 设计变量。板厚为离散变量，设计变量。板厚为离散变量，H H和和B B为连续变量。为连续变量。二二. . 工程实际设计的需要：工程实际设计的需要：7.1 7.1 引言引言 三三. . 传统方法的局限：传统方法的局限： 例例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。弊病：可能得不到可行最优解，或所得的

4、解不是离散最优解。 x* X(1) X(2) X(3) x x* * 是连续变量最优点；是连续变量最优点； x x(1)(1) 是圆整后最近的离散是圆整后最近的离散点，但不可行；点，但不可行； x x(2)(2) 是最近的可行离散点，是最近的可行离散点，但不是离散最优点；但不是离散最优点； x x(3)(3) 是离散最优点。是离散最优点。x10 x27.2 7.2 离散变量优化设计的基本概念离散变量优化设计的基本概念一一. . 设计空间：设计空间：1 1、一维离散设计空间：、一维离散设计空间： 在在 x xi i 坐标轴上有若干个相距一定间隔的坐标轴上有若干个相距一定间隔的离散点，组成的集合称

5、为一维离散设计空间。离散点，组成的集合称为一维离散设计空间。iiiiijijijljniqqq：只有在均匀离散空间中只有在均匀离散空间中，离散间隔：离散间隔：代表离散点个数；代表离散点个数；，离散点：离散点：, 2 , 1, 2 , 1,112 2、P P 维离散设计空间：维离散设计空间： P P 个离散设计变量组成个离散设计变量组成 P P 维离散设计空间。每个离散变量可取有维离散设计空间。每个离散变量可取有限个（限个（l）数值，这些数值可用矩阵）数值，这些数值可用矩阵 Q Q 来表达。来表达。lpplppllqqqqqqqqq212222111211Q注：注：因为离散变量是有限个，所以离因

6、为离散变量是有限个，所以离 散空间是有界的。散空间是有界的。 某个离散变量的取值不足某个离散变量的取值不足 l l 个，个，其余值可用预先规定的自然数补齐。其余值可用预先规定的自然数补齐。pTpDRxxx,X21qij-1 qij qij+1 iiXi7.2 7.2 离散变量优化设计的基本概念离散变量优化设计的基本概念3 3、N-P N-P 维连续设计空间：维连续设计空间： N N 个设计变量中有个设计变量中有 P P 个离散变量，此外有个个离散变量，此外有个N-P N-P 连续变量。连续变量。 N-P N-P 维连续设计空间维连续设计空间: :pnTnppCRxxx,X214 4、N N 维

7、设计空间：维设计空间： 其中：离散设计空间为：其中：离散设计空间为： 连续设计空间为：连续设计空间为：nppnRRRpnTnppCRxxx,X21pTpDRxxx,X21若若 R Rp p 为空集时，为空集时，R Rn n 为全连续变量设计问题；为全连续变量设计问题；若若 R Rp-np-n 为空集时，为空集时，R Rn n 为全离散变量设计问题。为全离散变量设计问题。7.2 7.2 离散变量优化设计的基本概念离散变量优化设计的基本概念二二. . 整型变量和连续变量的离散化：整型变量和连续变量的离散化： 是均匀离散1 1、整型变量的离散：、整型变量的离散： 整型变量可看作是离散间隔恒定为整型变

8、量可看作是离散间隔恒定为 1 1 的离散变量。是离散变量的离散变量。是离散变量的特例。的特例。2 2、连续变量的离散化：、连续变量的离散化： 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。 方法：方法：iijijiijijiiiliuiiliuiixxxxjxlxxxnppilxx，：其其相相邻邻两两个个拟拟离离散散点点为为，个个拟拟离离散散点点为为：坐坐标标轴轴上上的的第第为为欲欲取取离离散散值值的的个个数数。的的上上、下下界界，为为连连续续变变量量，其其中中：，2117.3 7.3 离散变量优化设计的数学模型离散变量优化

9、设计的数学模型 muxgtsRRRXxfRxxxXRxxxXxxxXupnpnpnTnppCpTp1DTn1, 2 , 10)(. .min,2122 nuRmuxgx, 2 , 10，可行域：注注：设计空间有离散空间部分。：设计空间有离散空间部分。 但约束面不离散，也不一定分布有离散点。但约束面不离散，也不一定分布有离散点。 K-T K-T 条件不再适用。条件不再适用。D混合离散变量优化设计问题的数学模型：混合离散变量优化设计问题的数学模型：7.4 7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件离散变量优化设计的最优解及收敛条件一、离散单位邻域一、离散单位邻域 UN(x) UN(x) 和坐标邻域

10、和坐标邻域 UC(x) UC(x) ： 。量）之间的拟离散间隔量）之间的拟离散间隔是拟离散变量（连续变是拟离散变量（连续变间隔，间隔，是离散变量之间的离散是离散变量之间的离散，其中：其中：，iiiiiiiiiiiiinppixxxpixxxxxUN, 2, 1, 2 , 1 的的交交点点的的交交集集。离离散散单单位位邻邻域域的的各各坐坐标标轴轴的的平平行行线线与与是是过过为为各各坐坐标标轴轴，xUNxxUCeniexUNxUCiii, 2 , 1例例，二维离散空间中，二维离散空间中， 离散单位邻域共离散单位邻域共 3 3n n 个点，个点， UN(x) = x,A,B,C,D,E,F,G,HU

11、N(x) = x,A,B,C,D,E,F,G,H； 离散坐标邻域共离散坐标邻域共 2n+1 2n+1 个点：个点： UC(x) = x,B,D,E,GUC(x) = x,B,D,E,G。 x B GD EA F C Hiiii0 x1x27.4 7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件离散变量优化设计的最优解及收敛条件二、离散最优解：二、离散最优解： 全全局局最最优优点点。为为离离散散变变量量优优化化设设计计的的则则数数时时，为为定定义义在在凸凸集集上上的的凸凸函函为为凸凸集集，当当局局部部最最优优点点。为为离离散散变变量量优优化化设设计计的的则则恒恒有有对对于于所所有有若若*,*xxfxx

12、fxfxUNxx三、收敛准则：三、收敛准则： 设当前搜索到的最好点为设当前搜索到的最好点为 x x(k)(k)，需要判断其是否收敛。在，需要判断其是否收敛。在 x x(k) (k) 的单位邻域中查的单位邻域中查 3 3n n 1 1 个点，若未查到比个点，若未查到比 x x(k) (k) 的目标函数值更的目标函数值更小的点，则收敛，小的点，则收敛，x x* * = x = x(k) (k) 。DDD7.4 7.4 离散变量优化设计的最优解及收敛条件离散变量优化设计的最优解及收敛条件四、四、 伪离散最优解和拟离散最优解：伪离散最优解和拟离散最优解：1 1、伪离散最优解：、伪离散最优解： 在判断在

13、判断x x(k)(k)是否收敛时，只在是否收敛时，只在 x x(k) (k) 的坐标邻域中查点，所得到的最优点的坐标邻域中查点，所得到的最优点是是伪离散最优点伪离散最优点。 2 2、拟离散最优解：、拟离散最优解： 用以连续变量优化设计方法为基础的用以连续变量优化设计方法为基础的“拟离散法拟离散法”、“离散惩罚函数法离散惩罚函数法”等，等，先求得连续变量最优解（先求得连续变量最优解（A A点），再圆整点），再圆整到可行域内最近的离散点（到可行域内最近的离散点（C C点）点）, ,是是拟离拟离散最优点散最优点。 B B点才是点才是离散最优点离散最优点。7.5 7.5 离散变量优化设计方法离散变量优

14、化设计方法1 1、凑整解法：、凑整解法：将离散变量全部视为连续变量，又连续变量的优化方法求解，然后将离散变量全部视为连续变量，又连续变量的优化方法求解，然后根据规范和标准调整为离散值。根据规范和标准调整为离散值。7.5 7.5 离散变量优化设计方法离散变量优化设计方法2 2、网格法、网格法 将可行域内的所有离散将可行域内的所有离散 点全部过一遍，逐一进点全部过一遍，逐一进 行比较，找出最小的点。行比较，找出最小的点。3 3、离散复合形法、离散复合形法 （自学）（自学）7.6 7.6 随机变量优化设计的基本概念随机变量优化设计的基本概念一、随机变量的概率特性（略）：一、随机变量的概率特性（略）：

15、二、随机变量：二、随机变量： 随机现象的每一个表现，通称为随机现象的每一个表现，通称为随机事件随机事件。 随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。 对随机现象作观察，测量的变化量称为对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量随机变量。 例如，加工了加工了30003000根直径为根直径为 的轴。抽取测量了的轴。抽取测量了300300根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有297297根轴。根轴。0492. 00558. 000.45d 加工直径为加工直径为

16、d d 的轴，是一个随机事件；的轴，是一个随机事件； 直径直径 d d 为为 随机变量；随机变量； 加工加工30003000根轴，是根轴，是事件的总体事件的总体； 测量测量300300根轴的直径，是根轴的直径，是事件的样本空间事件的样本空间。 合格合格 99% 99% 是是事件的概率事件的概率。7.6 7.6 随机变量优化设计的基本随机变量优化设计的基本三、随机参数：三、随机参数： 已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机变量。机变量。 在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参

17、数是不随设计点的移动而变化的。点的移动而变化的。 随机参数的向量表示如下：随机参数的向量表示如下：为为事事件件的的概概率率。，为为事事件件的的总总体体，为为事事件件的的样样本本空空间间为为概概率率空空间间，），（其其中中：），（PPRPqTq,21TTTT7.6 7.6 随机变量优化设计的基本概念随机变量优化设计的基本概念四、四、 随机设计变量：随机设计变量： 在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机要通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为

18、随机设计变量。设计变量。 随机设计变量的向量表示方法如下：随机设计变量的向量表示方法如下：nTnRPxxxX，,21五、分布类型及其参数的确定：五、分布类型及其参数的确定： 方法 一： 由试验或观察，测量由试验或观察，测量得到随机变量的相关数据，作出样本得到随机变量的相关数据，作出样本的直方图，然后选择分布类型，进行的直方图，然后选择分布类型，进行假设检验和分布参数的估计。假设检验和分布参数的估计。T7.6 7.6 随机变量优化设计的基本概念随机变量优化设计的基本概念 方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一种分布类型，

19、再调整分布参数或特征值。一种分布类型，再调整分布参数或特征值。 一般认为：加工误差服从正态分布；一般认为：加工误差服从正态分布；寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的强度极限服从对数正态分布。的强度极限服从对数正态分布。若已知离差系数若已知离差系数 c cx x ，则可根据，则可根据 直接在优化过程中迭代均值，通直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和离差系数求得最优解过调整均值和离差系数求得最优解。xxxc 若若 x xi i 服从正态分布，一般容差服从正态分布，一般容差xixi3可取小小值值。为为设设计计变变量量的的最最大大和和最最和和其其中中minma

20、xminmax6/iiiixixxxx同样可直接在优化过程中迭代均值，通过同样可直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和容差求得最优解。调整均值和容差求得最优解。7.7 7.7 随机变量优化设计的数学模型随机变量优化设计的数学模型一、随机设计特性：一、随机设计特性： 当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时，当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时，称为称为随机设计特性随机设计特性。二、二、 目标函数：目标函数：由随机设计特性定义优化准则函数。由随机设计特性定义优化准则函数。,. 4,.max. 3,.0. 2,.0. 121021212121xfVarwxfE

21、wxfPxxxfVarxfVarptxxxfExfEptqnqn例：例：组合型组合型概率型概率型方差型方差型均值型均值型注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。7.7 7.7 随机变量优化设计的数学模型随机变量优化设计的数学模型三、约束函数：三、约束函数：uuuxgPxgE0,.20,.1概概率率型型均均值值型型四、随机型优化设计数学模型：四、随机型优化设计数学模型：qnuqnnTnRPxmuxgtsRPxxfRPxxxX，, 2 , 10,. .,.min,21说明说明： min. min. 和和 s.t.

22、s.t. 只能从概率空间的意义来理解；只能从概率空间的意义来理解； 采用不同的样本组，最优点采用不同的样本组，最优点 x x* *()()是不同的；是不同的； 模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。TTT7.7 7.7 随机变量概率约束问题的优化随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解设计模型及最优解一、概率约束问题的优化设计模型：一、概率约束问题的优化设计模型：。时时，目目标标函函数数是是均均值值型型，时时，目目标标函函数数是是方方差差型型加加权权因因子子，当当；，预预先先给给定定的的概概率率值值合合；以以均均值值表表示示设设计计点点的的集集，00,1 , 0, 2 , 10,. .,.min212121wwwwXPxmuxgPtsxfVarwxfEwRXxuuuun来来表表示示。或或