微分中值定理习题课

1、微分中值定理习题课第三微分中值定理习题课教学目的通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识.教学重点对知识的归纳总结.教学难点典型题的剖析.教学过程一、知识要点回忆1 .费马引理.2 .微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西甲值定理.3 .微分中值定理的本质是：如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.4 .罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的.即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立.如，函数x,1f20

2、,x,x1»0，1t人，必在，上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的.而函数1x2,1x1,fx1,x1妾2；取和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的.6 .常用awex、sinx、cosx、ln(1x)、(1x)的麦克劳林公式.7 .罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系.08 .0、0、00、1、°型未定式.9 .洛必达法那么.010 0、00、1、0型未定式向0或型未定式的转化.二、练习1.下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？1/151微分中值定理习题课由于fxFx在a,b上都满足拉格朗日中值定理的条件，故

3、存在点a,b布,使得fb1FbfaFa又对任xa,b,F(x)0,所以上述两式相除即得fbfaFbFa答上述证明方法是错误的.因为对于两个不同的函数fxX,拉格朗日中值定理公式中的未必相同.也就是说在成立.a,b内不一定存在同一个使得1式和2式同时例如，对于fx，2,在中上使拉格朗日中值定理成立的Fx在0,1上使拉格朗日中值定理成立的33,两者不等.2设函数.yfx在区间0,1上存在二阶导数，且f0fl0,Fxx2fx试证明在分析0,1内至少存在一点，使，使F()单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理.由题设知,F0点，使F1F0,且Fx在0,1上满足罗尔定理的前两个条件，故在0,1内

4、至少存在-°.至于后一问，首先得求出x再应用一次罗厝理，即再稗至惭要的好先.x，且F0xF,然后再考虑问题.0.这样根据题设，我们只要在、一y证由于f(x)在0,1上存在二阶导数,且F0F1,Fx0,在0,1上对函数上满足罗尔定理的条件，故在由于0,1内至少存在一点，使F0.Fx2xfxx2fx,且F00,Fx在0,上满足罗尔定理的条件,故在0,内至少存在一点2/152微分中值定理习题课0.由于0,0,1,所以n1an3.设汽啊La”为满足方程为3a212n10的实数，试证明方程aicosxa2cos3xancos2n1x0至/7)门目前所掌握H零点定理，函数fxa1cosxa2co

5、s3xancos2n1x,0,2需要满足在上连纹，且f0_但应用.换一种方法就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题；就得设,因此这种方法并不能直接Fxacosxa2cos3xLancos2n1x,FxFx并将的原函数求出来，然后对原函数Fx应用罗尔定理.在这个问题中F的原函数求起来很容易,a1sinxa2.sin3x3ansin2n1x2n10,Fx求出后，根据题设条件，对Fx在上应用罗尔定理即可得到所要的结论.引入辅助函数asinxa2sin3x3ansin2n1x0,2n1因为FFxa1a2n1上连续，在an内可导，F00,0,2n1,所以由罗尔定理知,2内至少存在一占;使得F八、a

6、1cosa2cos3Lancos2n10,于是方程acosxa2cos3xancos2n1x0内至少有一个实根.3/153微分中值定理习题课4.设函数fx在2,2f,上可导，且yfx20,f02x22,f20-,.试证明曲线弧C：上至少有一点处的切线平行于直线x2y10.分析由于直线存在一点2y1的斜率为由于明在2,2fx2,所以上述命题的本质是要证明在2,2内内存在一点因此假设Fx,那么要证上述命题，只须20即可.这是一个用罗尔定理解决的问题.Fx2,2人、口f,上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意F(x)在2,2上连续，

7、而1,F0存在一点2,F2F引入辅助函数Fx且1介于-1和2之间.因此由介值定理知，在2,上对Fx2.Fx在0,20,2内必应用罗尔定理即可证得所要的结果.F(0)上连续，且')2,F(2)1.由介0,2大山左左一占值定理知，在内比存在一点，使得F1.又F且Fx在足罗尔定理的前两个条件2,内必存在一点，使得Ff0,即2,-上满12.由2,所以5.设fx在a,bfb,试证明在a,b内必存在一点，使得象上述这种含有中值方法用罗尔定理证的等式，一般应考虑用微分中值定理去证明.分析要用罗尔定理证明一个含有中值的等式，第一步要将等式通过移项的方法化为第二步将等式左端中的fa0.并设4/154a,

8、b上对Fx应用罗尔定°,由罗尔定理知,微分中值定理习题课Fxfxxfxfa.弟一”正要大明7HFx的原函数Fx,弁在相应的区间理即可.一一Fx一本问题中的原函数为Fxxfxfax.证引入辅助函数FxxfxfaxFx-a,b匚一由题设知，在'上连续，在a,b内可导，且FaFb在a,b内必存在一点，使得F°,即fffa0,方法二用拉格朗日中值定理证分析要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值的等式，第一步要将含有的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端，即作如下恒等变形:faff於-x(3)第二步是把等式右端中的都换为，弁设F(x)f(x)xf(x).第三步是要去

9、确定F(x)的原函数F(x).本问题中F(x)的原函数F(x)为F(x)xf(x).第四步确定了F(x)的原函数F(x)后，针对相应的区间叫验证(3)式左端是否F(b)F(a)F(a)F(b)ba或ab；否那么，需另假设是，那么只要对F(x)在a,b上应用拉格朗日中值定理即可得到所要的结论辟新径，考虑用罗尔定理或柯西中值定理等其它方法去解决问题.一、一、f(a)在本问题中，由于f(b),所以f(a)F(b)F(a)bf(b)af(a)baba5/155微分中值定理习题课因此，本问题可通过对函数F(x)在a,b上应用拉格朗日中值定理来证明证引入辅助函数F(x)xf(x)，使得由题设知,“刈在信上

10、满足拉格朗日中值定理条件，故在坊内必存在一点F(b)F(a)F()ba,bf(b)af(a)baf(f()又由题设知f(a)f(b),所以有f(a)f()f(),f(a)f()f().方法三用柯西甲值定理证分析用柯西中值定理证明一个含有中值的等式，其第一步也是将含有的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端.即将作如下恒等变形f(a)f()f().第二步是把等式右端化为分式形式，即作如下变形：faff.(4),三步把(4)式右端中的全都换为x,弁设分子函数为Fix,分母函数为F2x.即Fixfxxfx,F2x1第四步是求Fixxfx,F2xabx.第五步针对区间a,验证Fix和F22式

11、左端是否为x的原函数Fx和FFibFiaFiaFaF2bx.本问题中的F2bF2b.Fix和x分别6/I56微分中值定理习题课假设是，那么只要对FiX和F2X在a，b上应用柯西中值定理即可证得所要的结论;否那么需另在本问题中，由于故本问题可通过对函数证引入辅助函数FibFiaF2bF2abfbafaFiF2辟新径，考虑使用拉格朗日中值定理或罗尔定理等其它方法.fb6mfa，所以FibFiabfbafa上faF2bF2a=baFix和F2X在a,b上应用柯西中值定理来证明.Fixxfx,F2Xxi0,由题设知，?和F2(x%a力上连续，在a,b内可导，且在a,b内F2x由柯西中值定理知，在a,b

12、内必存在一点,使得又由题设知faf，所以有faff即总结练习5中方法一、方法二及方法三的分析,是用罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明含有中值这种等式的一般方法和思路，同学们一定要掌握其要领.至于在遇到具体问题时，应当用哪个定理去证明，这要视具体问题而定，甚至于要尝试着去做.但有时经过移项变形后，其特点往往是很明显的.这时根据罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理结论的特点，是比拟容易做出选择的.在运用罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明含有中值的等式时，求一些函数的原函数是不容易的，这时掌握几种常见函数如Fxxnfx,Gx,Hxexfxxn等的导数，是非常有用的.下面我们应

13、用练习5中介绍的方法和思路再讨论一个问题.6.设仅在a,b上连续，在a,b内可导，0ab,试证明在a,b内必存在一点bfbfafln,使得a.7/i57微分中值定理习题课分析移项变形得(5)fbfafInbIna上式的特点是等式左端恰好是两个函数在区间的特点.因此，我们决定用柯西中值定理去证明.把(5)式右端化为分式形式，得fbfa-4nblna-把(6)式右端的都换成X,弁设Fixfx,那么Fix和F2x的原函数为Fixfx,F2x而(6)式左端恰好是FibFiaF2bF2a证引入辅助函数a,b上的增量之比，这恰好是柯西中值公式f1(6)iF2x受.lnx.fbfaInblna.Fixfx,

14、F2x1nx.FxFxa.bF2x由意设知，i和2在上连续，在a,b内可导，且在a,b内a,b人故由柯西中值定理知，在内至少存在一个，使得fFiFibFiafbfaiF2bF2aInblnaF2即bfbfafIna.7.设伏在i，i上有二阶连续导数，且,10,f00,fi2.证明存在i,i,使f2.证由于函数f(x)在i，i上有二阶连续导数，故我们可以求出函数xf的带有拉格8/i58微分中值定理习题课朗日型余项的一阶麦克劳林公式:f0xfxx2（在0与x之间）.将X1,x1带入上式得将上述两式相加得假设2,么1和2都可作为2一21,0;，使f2,f1,11f2,1那么2介于f2之间，即介于f2

15、之间.由于fx在，使得f1,1上连续，因而也在上连续，故由介值定理知，在2内必存在一2.综上所述，必存在2.总结用泰勒中值定理去证明含有中值的等式，也是一种常用的方法,尤其在题设的函数存在较高阶的导数,并且其多点函数值时，更应注意应用练习7的方法去证明.8.求函数因此，所求fxfxx按xT2,fx3阶泰勒公式为f4f4x4其中介于x与4之间.9求函数f9.f41x4分析ex的事展开的带有拉格朗日余项的-31x2,fx41,f442!1x464x4xe、，x的带有佩亚诺型余项的8-1,f432f43!1x4512x43阶泰勒公式.-715x216,故57x41282n阶麦克劳林公式.x44!的带

16、有佩亚诺型余项的n1阶麦克劳林公式我们是的，这时求函数9/159微分中值定理习题课fx、，xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式可以采用下面的所谓间接方法.由于exn1ox所以xx2又因为所以x02!xxn1fxxxelimx02!xoxn1nxn1!0,是当x0时比xn高阶的无穷小.故xnxxxe2!n1!上式即为总结xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.理论上可以证明，任何一个函数的同阶泰勒公式在形式上是唯一的.因此，我们可以利用一些的函数的泰勒展开式,通过适当的运算去获得另外一些函数的泰勒展开那么它就是该函数的泰勒公式.这就式.只要所获函数展开式的形式与泰勒公式的形式一致,是获

17、得某些函数泰勒公式的间接方法.在运用泰勒公式的间接展开方法时,必须熟记一些常见函数的泰勒公式，如sinx、cosx、ln1x、1x等10.利用泰勒公式求极限解由于是求xlimx0:cosxe2x2xln1x0时的极限，故分子和分母中的函数都要用麦克劳林公式去表示.ln1xq±+.e-一ln1x用函数的麦克劳林公式，求出函数式ln1x假设将上式代入函数的分母，那么分母是一个最高窑为都用带有佩亚诺型余项的四阶麦克劳林公式来表示.cosx的四阶麦克劳林公式可直接给出，而的带有佩亚诺型余项的二阶麦克劳林公xx2ox22.4次的多项式.因此需将函数2xe-2的四阶麦克劳林公式可利用cosx和e

18、x的麦10/1510微分中值定理习题课克劳林公式间接获得，它们是cosxx22-x4-24x6因此cosxlim2x0xxln1limsin211.求极限x0x2e21x2x4x6x4ox61x2x4ox6limx0limx0xx2cos2x2sin2x24xx1x4ox612-1x4ox400型未定式，可以直接应用洛必达法那么求极限.但如果先将极限分析虽然此题是形式作一些简化，然后再使用洛必达法那么可使求解过程大幅度简化.limx0sin2xx2cos2xlim22x0xsinxsinxcosxlimxlimxsinxxcosxsinxsinx4x4xcosx3cosx2limx0xcosx

19、cosxxsinx23x2limsinxx03x3.limcsc2x012.求解所求极限为型未定式，通分化为0型.limcsc2xx012x_limx0sin2x22sinxlimxxsinxxsinx4xsinxlim1+x0limx0sinx32lim1cosx22lims1nxx03xx06x11/1511微分中值定理习题课13.求2limnn1arctanarctan1分析这是一个型未定式，转化为arctan1arctan1limnnarctan1arctan1limn0虽然原极限已转化为0型未定式，但因为变量x,再应用洛必达法那么，得n是正整数，不是连续变量，故不能直接应用洛必达法那

20、么.先把n换成连续自12x1x12limarctanxarctanx1limx2x12因为x时，必有x2x3limxarctanx32x2x1x11arctan2limnnarctanlimxarctan2x总结数列的极限既使是未定式也不能直接应用洛必达法那么,只有将数列中的n换为连续自变量x后，才能应用洛必达法那么.2?验证极限limsinx存在？但不能用洛必达法那么得出limxsinxlim(1sinx)1?极限limxsinx是存在的?但lim(xsinx)limx1cosx(x)lim(1xcosx）不存在?不能用洛必达法那么?3?验证极限limx2sin1x存在？但不能用洛必达法那么

21、得出sinx一12/1512因为所以微分中值定理习题课x2sin1x珈limxlimx0sinxx0sinx(x2sinJ)但limxx0(sinx)4?21/x2sin1x一xsin100?极限lim是存在的?xx0sinx2xsin1cos1limxx不存在？不能用洛必达法那么?x0cosx讨论函数f(x)f(0)limx0lim因此lim1一1(1x)x-e12e0在点x?0处的连续性？12一e2?limxf(x)limx11ln(10xxf(x)0f(x)0limx1-2e12一一e2f(0)?(1x)xx)lim(1f(x)在点x?0处连续？1一xe1limx01xx)e1x一fx一,一一一14.设具有二阶连续导数，且limx011ln(1exxx)1?ln(1x)2xlim分析所求极限为1型未定式,洛必达法那么去求解.但是注意到fxlim1x0fxlimlim1x0fx且x0所以limfxlimfx0由x0xx011_ln(1x)1l