312用二分法求方程的近似解

1、3.1.2 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 （2 2）能借助计算器用二分法求方程的近似解；）能借助计算器用二分法求方程的近似解； （3 3）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一 （1 1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件， 了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；与方程之间的联系及其在实际问题中的应用； 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指在一个风雨交加的夜里，从某水

2、库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条挥部的电话线路发生了故障这是一条10km10km长的线路，长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆，查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆，10km10km长，大约有长，大约有200200多根电线杆呢想一想，维修线路的工多根电线杆呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？人师傅怎样工作最合理？如图如图, ,设闸门和指挥部的所在处为点设闸门和指挥部的所在处为点A,B, A,B, B BA AC C6.6.这样每查一次这样每查一次, ,就可以把待查的线

3、路长度缩减一半就可以把待查的线路长度缩减一半1.1.首先从中点首先从中点C C查查2.2.用随身带的话机向两端测试时用随身带的话机向两端测试时, ,发现发现ACAC段正常段正常, ,断定断定 故障在故障在BCBC段段3.3.再到再到BCBC段中点段中点D D4.4.这次发现这次发现BDBD段正常段正常, ,可见故障在可见故障在CDCD段段5.5.再到再到CDCD中点中点E E来看来看D DE E这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过半，故经过7 7次查找，就可以将故障发生的范围缩小次查找，就可以将故障发生的范围缩小到到50100m5010

4、0m左右，即在一两根电线杆附近左右，即在一两根电线杆附近这在现实生活中也有许多重要的应用其思想方这在现实生活中也有许多重要的应用其思想方法在生活中解答以上这类问题时经常碰到解答以上法在生活中解答以上这类问题时经常碰到解答以上这类实际问题关键在于，根据实际情况加以判断和总这类实际问题关键在于，根据实际情况加以判断和总结，巧妙取中点，巧妙分析和缩小故障的区间，从而结，巧妙取中点，巧妙分析和缩小故障的区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的以最短的时间和最小的精力达到目的 假设在区间假设在区间-1,5-1,5上，上，f(x)f(x)的图象是一条连续的的图象是一条连续的曲线，且曲线，且f(-1)0,

5、f(5)0,f(5)0即即f(-1)f(5)0f(-1)f(5)0,f(5)0,f(5)0,即即 f(2)f(5)0,f(2)f(5)0,所以在区间所以在区间2,52,5内有方程的解，于是再内有方程的解，于是再取取2,52,5的中点的中点3.53.5，-1 f(x)yxO12345如果取到某个区间的中点如果取到某个区间的中点x x0 0, ,恰好使恰好使f(xf(x0 0)=0,)=0,则则x x0 0就是所求的一个解；如果区间中点的函数总不就是所求的一个解；如果区间中点的函数总不为为0 0，那么，不断重复上述操作，那么，不断重复上述操作， 像像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它上面这种

6、求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。是求一元方程近似解的常用方法。二分法的定义：二分法的定义：定义如下：定义如下： 对于在区间对于在区间a,ba,b 上连续不断且上连续不断且f(a)f(bf(a)f(b)0)0的函数的函数y=f(xy=f(x),),通过不断地把函数通过不断地把函数f(xf(x) )的零点所在的区间一分的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法近似值的方法叫做二分法（bisectionbisection）. .给定精度给定精度 , ,用二分法求函数的零点近似

7、值的步骤如下：用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1.1.确定区间确定区间 ，验证，验证 ，给定精度，给定精度 ；, a b( )( )0f af b2.2.求区间求区间 的中点的中点 ；, a bc3.3.计算计算( )f c（1 1）若）若 ，则，则 就是函数的零点；就是函数的零点；( )0f c（2 2）若）若 , ,则令则令 （此时零点（此时零点 ；( )( )0f af cbc0( , )xa c（3 3）若）若 , ,则令则令 （此时零点（此时零点 ；ac( )( )0f cf b0( , )xc b即若即若 ，则得到零点近似值，则得到零点近似值 (或或 ）；）；abab4.4.

8、判断是否达到精度判断是否达到精度 ：否则重复步骤否则重复步骤2 24 4c例例1. 1. 求函数求函数f(xf(x)=lnx+2x-6)=lnx+2x-6在区间（在区间（2 2，3 3）内的零点）内的零点（精确度为（精确度为0.010.01）. .解：解：画出画出y=lnxy=lnx及及y=6-2xy=6-2x的图象，观察图象得，的图象，观察图象得，方程方程lnxlnx=6-2x=6-2x有唯一解，记为有唯一解，记为 ，且这个解，且这个解在区间（在区间（2 2，3 3）内。）内。1x根所在区间根所在区间区间端点函数值符号区间端点函数值符号中点值中点值中点函数值符号中点函数值符号（2 2，3 3

9、）f(2)0f(2)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)02.56252.5625f(2.5625)0f(2.5625)0（2.531252.53125，2.56252.5625）f(2.5)0f(2.5)0f(2.5625)0（2.52.5，2.56252.5625）f(2.5312

10、5)0f(2.53125)0f(2.5625)0f(2.53125)0f(2.53125)0f(2.5390625)0f(2.53125)0f(2.53125)0f(2.546875)0（2.531252.53125，.5390625.5390625）f(2.546875)0f(2.546875)0f(2.53125)0,f(2.53125)0f(2.5390625)0列出下表：列出下表：由于由于2.53906252.531250.00781250.01所以，可以将所以，可以将2.53125x作为函数作为函数( )ln26f xxx零点的近似值，也即方程零点的近似值，也即方程ln260 xx的

11、近似根的近似根点评：点评：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。用二分法来求方程的近似解。由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此可以通由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。利用计算器，求方程利用计算器，求方程 lgxlgx=3-x=3-x的近似解的近似解. .（精确到（精确到0.10.1）解：解：画出画出y=lgxy=lgx及及y=3-xy=3-x的图象，观察图象得，方程的图象，观察图象得，方程lgxlgx=3-x

12、=3-x有唯一解，记为有唯一解，记为x x，且这个解在区间（且这个解在区间（2 2，3 3）内。）内。设设 f(xf(x)=lgx+x-3)=lgx+x-3xOyy=lgxy=3-x因为因为2.56252.5625，2.6252.625精确到精确到0.10.1的近似值都为的近似值都为2.62.6，所以原方程的，所以原方程的近似解为近似解为x x1 12.6 .2.6 .根所在区间根所在区间区间端点函数值符号区间端点函数值符号中点值中点值中点函数值符号中点函数值符号（2 2，3 3）f(2)0f(2)0f(3)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2

13、.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)0f(2.625)0 2.56252.5625f(2.5625)0f(2.5625)0（2.56252.5625，2.6252.625）f(2.5625)0f(2.5625)0f(2.625)0列出下表：列出下表：方法点评方法点评用二分法求方程用二分法求方程 f(x)=0f(x)=0（或（或g(x)=h(x)g(x)=h(x)）近似解

14、的基本）近似解的基本步骤步骤: :1.1.寻找解所在区间寻找解所在区间（1 1）图象法）图象法先画出先画出y = f(x)y = f(x)图象，观察图象与图象，观察图象与x x轴的交点横坐标所处轴的交点横坐标所处的范围；的范围；或画出或画出y=g(x)y=g(x)和和y=h(x)y=h(x)的图象的图象, ,观察两图象的交点横坐观察两图象的交点横坐标的范围标的范围. .（2 2）函数法）函数法把方程均转换为把方程均转换为 f(x)=0f(x)=0的形式，再利用函数的形式，再利用函数y=f(xy=f(x) )的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间. .2

15、.2.判断二分解所在的区间判断二分解所在的区间若若x x1 1 (a,b), (a,b),不妨设不妨设f(af(a)0)0（3 3）若）若（1 1）若）若（2 2）若）若由由f(af(a)0 )0 ,)0 ,对对(1)(1)、(2)(2)两种情形再继续求二分解所在的区间两种情形再继续求二分解所在的区间. .abf()021abx(a,)2abf()021abx(,b)2abf()021abx2当当x x1 1 (m,n (m,n),),且且m, nm, n根据精确度得到的近似值均为同根据精确度得到的近似值均为同一个值一个值P P时，则时，则x x1 1P P ，即求得近似解。，即求得近似解。

16、3.3.根据精确度得出近似解根据精确度得出近似解例例2.2.借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2 2x x+3x=7+3x=7的近的近似解（精确度似解（精确度0.10.1）解：解：原方程即原方程即2 2x x+3x=7+3x=7，令，令f(x)= 2f(x)= 2x x+3x-7+3x-7，用计算器，用计算器作出函数作出函数f(x)= 2f(x)= 2x x+3x-7+3x-7的对应值表和图象如下：的对应值表和图象如下： 273 273142 142 75754040212110103 3-2-2-6-6f(x)f(x) 8 8 7 76 65 54 43 32

17、21 10 0 x x因为因为f(1)f(2)0f(1)f(2)0所以所以 f(x)= 2f(x)= 2x x+3x-7+3x-7在（在（1 1，2 2）内）内有零点有零点x x0 0, ,取（取（1 1，2 2）的中点）的中点x x1 1=1.5=1.5，f(1.5)f(1.5) 0.33 0.33，因为因为f(1)f(1.5)0 f(1)f(1.5)0 所以所以x x0 0 （1 1，1.51.5）取（取（1 1，1.51.5）的中点）的中点x x2 2=1.25 ,f(1.25)= -0.87=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因，因为为f(1.25)f(1.5)0f(1.25)

18、f(1.5)0，所以，所以x x0 0（1.251.25，1.51.5）同理可得，同理可得，x x0 0（1.3751.375，1.51.5），），x x0 0（1.3751.375，1.43751.4375），由于），由于|1.375-1.4375|=0.06250.1|1.375-1.4375|=0.06250.1所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.43751.4375练习练习1 1：用二分法求函数：用二分法求函数32f(x)x1.1x0.9x1.4在区间（在区间（0 0，1 1）内的零点（精确到）内的零点（精确到0.10.1）解解: : 由题设可知：由题设可知：f (0)1.40,f (1)1.60,f (0) f (1)0 则所以，函数所以，函数f(x)区间（区间（0 0，1 1）内有一个零点）内有一个零点. .下面用二分法求函数在区间（下面用二分法求函数在区间（0 0，1 1）内的零点）内的零点取区间取区间(0,1)(0,1)的中点的中点1x0.5,f(0.5)0.55 得0f (0.5) f (1)0,x(0.5,1).因为所以f(0.75)0.32得0