微分方程的定1

1、微分方程的定义：凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程。（记号：在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2，D3等表示求高阶微分，任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或有系统规则选定，例如用表示微分方程。：）。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： F(x, y, y¢, ., y(n) = 0 常微分方程：在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。常微分方程实例下下列方程都是

2、微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). (1) y¢= kx, k 为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) mv¢(t) = mg - kv(t)； 一阶微分方程的形式及解法（1）一阶微分方程的普遍形式 一般形式：F（x,y,y''）=0 标准形式：y'=f(x,y) 微分方程的解： 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为

3、方程的特解。 一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。微分方程求解：1.可分离变量：形如y=f(x)*g(y)解法两边同时积分为2.齐次方程：形如y=令u=y/x有u+ux=y代入原方程有u+ux=f(u)可分离变量 3.全微分方程：形如其中4.线性微分方程微分方程求解方法：解析解、数值解

4、法、定性理论解析解：Matalb中求微分方程解析解的函数是dsolve，其调用格式为：dsolve(eq1,eq2, cond1,cond2, v)该函数求解常微分方程组eq1,eqn在初值条件cond1,condn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v给出指定的自变量，如果不给出，默认的自变量为。例如，求常微分方程的通解。输入：>> dsolve('Dy=2')其默认的独立变量为。例如，求常微分方程的通解。输入：>>dsolve('Dy=1/(x+y)','x')输出结果为：ans = -lambertw(-C

5、1*exp(-x-1)-x-1这里Y=lambertw(X)表示：Y*exp(Y)=X。例如，求常微分方程的通解。输入：>> dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(2*x)','x')ans = exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1-1/4*exp(x)*cos(2*x)*x 例如，求常微分方程满足初始条件的特解。输入：>> dsolve('D2y-y=4*x*exp(x)','y(0)=0,Dy(0)=1','x)ans = exp(

6、x)-exp(-x)+(-1+x)*x*exp(x) 例如，求常微分方程组的通解。输入：>x,y=dsolve('Dx=y+1,Dy=x+1','t') x =exp(t)*C2-exp(-t)*C1-1y =exp(t)*C2+exp(-t)*C1-1数值解： 微分方程数值解法的命令格式：t,x= 'solver ' ('xfun',t0 tf,y0,tol)(1) 在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成；(2) 使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变

7、换成一阶微分方程组例如，求微分方程在区间上的数值解。解： 建立m文件example0707.m如下： function dy=example0707(t,y) dy=t; 输入命令： t, y=ode45('example0707',-1,1,1); plot(t,y,'*') 一阶微分方程： y=f(x,y) (1)对称形式：p(x,y)dx+q(x,y)dy=0_ (2）一般的，如果一个一阶微分能写成 g(y)dy=f(x)d(x)形式,那么称这个微分方程就为可分离变量的微分方程。例如：解微分方程 :dy/dx=-x/y 解：分离变量，的ydy=-xdx,两

8、边积分得 因而通解为 x2+y2=c齐次微分方程：如果把 y=f(x,y) 中的 f(x,y) 写成的函数，即 f(x,y) = f(x/y)形式阶级步长:MATLAB使用龙格-库塔-芬尔格（Runge-Kutta-Fehlberg）方法来解ODE问题。在有限点内计算求解。而这些点的间距有解的本身来决定。当解比较平滑时，区间内使用的点数少一些，在解变化很快时，区间内应使用较多的点。为了得到更多的有关何时使用哪种解法和算法的信息，推荐使用helpdesk。所有求解方程通用的语法或句法在命令集中头两行给出。时间间隔将以向量t=t0,tt给出。命令ode23可以求解(2,3)阶的常微分方程组，函数o

9、de45使用(4,5)阶的龙格-库塔-芬尔格方法。注意，在这种情况下x是x的微分不是x的转置。在命令集中solver将被诸如ode45函数所取代命令集 龙格-库塔-芬尔格方法time,x=solver(str,t,x0) 计算ODE或由字符串str给定的ODE的值，部分解已在向量time中给出。在向量time中给出部分解，包含的是时间值。还有部分解在矩阵x中给出，x的列向量是每个方程在这些值下的解。对于标量问题，方程的解将在向量x中给出。这些解在时间区间t(1)到t(2)上计算得到。其初始值是x0即x(t(1).此方程组有str指定的M文件中函数表示出。这个函数需要两个参数：标量t和向量x,应

10、该返回向量x(即x的导数)。因为对标量ODE来说，x和x都是标量。在M文件中输入odefile可得到更多信息。同时可以用命令numjac来计算Jacobi函数。t,x=solver(str,t,x0,val) 此方程的求解过程同上，结构val包含用户给solver的命令。参见odeset，可得到更多信息。Ode45 此方法被推荐为首选方法。Ode23 这是一个比ode45低阶的方法。Ode113 用于更高阶或大的标量计算。Ode23t 用于解决难度适中的问题。Ode23s 用于解决难度较大的微分方程组。对于系统中存在常量矩阵的情况也有用。Ode15s 与ode23相同，但要求的精度更高。Ode

11、23tb 用于解决难度较大的问题，对于系统中存在常量矩阵的情况也有用。Options=odeset(set1,vak1,set2,val2,) 微分方程求解途径：1根据规律列方程；（利用数学、力学物理、 化学等学科中的定理或经过实验的规律等找出变量及其导数之间的关系，来建立微分方程） 2.微院分析法；（利用已知的鼎力与规律寻找微元之间的关系，与第一种不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律） 3.模拟近似法；matlab求解代码：y"'+y"+y'-x+5=0;此方程化为：d3y+d2y+dy-x+5=0;y=dsolve('D3y+D2y+Dy-x+5=0','x');y=-