屋檐水槽的问题

1、 2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： D 我们的参赛报名

2、号为(如果设置报名号的话)： 40 所属学校(请填写完整的全名)： 四川理工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 余林 工程管理三班 2. 赵鸿平 网络一班 3. 王梦 工分一班 日期： 2012 年 05 月 20 日评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表评阅人评分备注屋檐水槽的问题摘要对于房管在解决倾斜屋顶采用何种结构进行有组织排水, 是民用建筑一个普通而实际的问题。在民用建筑中一般是在房顶的边缘安装一个檐槽和一个竖立的排水管来排水, 这种排水方式的可行性探讨实际上是解决水槽的容量

3、在单位时间内能否足以排出雨水的问题。为了论证该管道公司生产的管道的实用性,我们通过讨论房屋倾角，水流速度及时间的关系构建了这种排水方式的随时间推移水面上涨的微分方程模型,借助和运用matlab软件绘图及计算对设计方案进行了可行性论证(其中运用matlab绘图对模型进行可视化分析),从而得出该公司生产的水槽符合条件，能够达到良好排水的作用。并提出了屋檐水槽模型的优化方案，使模型有进一步的改进。关键词 ：速度平衡原理、微分方程、数值解、 matlab绘图。 一、问题的重述及简化 房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平

4、面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在 c d b a b现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。 现对模型进行简化：水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。二、假设（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上；（2）

5、落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）落在房顶上的雨没有溅到外面去；（4）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等；（5）假设在水槽中已有雨水深0.01m； 假设(1)是合理的，雨水垂直打在房顶上符合下特大暴雨时的特点，且利于简化模型。 假设（2）（3）（4）也是合理的，利于模型建立且减小计算过程中的误差。 假设（5）也是合理的，由于水槽横截面为半圆形，槽中有一点积水是正常的。 有关因素因素类型符号单位降水速度输入变量时间变量ts房顶的倾斜角输入变量 (20-50)度房顶的长度输入参数am房顶的宽度输入参数bm水槽的半径输入参数rm水槽中水的高度输出变量hm水槽中水

6、的容量变量V流入水槽的流速变量流入水管的流速变量排水管的直径参数dm重力加速度参数g四、模型的建立h水abcd图（一）.屋面水流示意图图（二）.水槽横截面示意图水流现建立模型示意图：考察水槽能否及时排掉从屋顶流下的雨水，就是研究水槽中的水深与时间的函数关系。根据速度平衡原理，对于房顶排水系统有：水槽中的水的容量的变化率=雨水流入水槽的流速-流出水槽的流速，即 其中,分别为单位时间排水系统的流入水槽和流出水槽的雨水流量。表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积是ab，由于房顶是倾斜的，如图（一）所示，屋顶实际受雨的面积:根据假设（1），屋顶上雨水的流速为：，由于雨水是沿倾斜的房顶流下的，

7、所以流入水槽的流速应该是在竖直方向的分量，直接落入水槽的雨形成的雨的流量是,即 。 水槽中水的深度h=maxmax=h(i);else breakendendj=a(i)图1j=0.7860a=j*180/pia =45.0363(二)：由获得的数据可知h取最值时a0.786.由获得的数据可以判定角度a=0.786rad=45.0363度时对h的平衡时高度影响最大所以我们将角度设定为pi/4。代值化简公式为设定h(t)=0时将数据代入处理如下： k=36.92*16/(pi2*0.14*19.6); k=1.1262e+06syms v;Hmax=k*v2;（获得稳定状态下水深与速度的关系函数

8、） 假设稳定状态在0.075米时 以下由稳定状态水深与速度函数获得最大降雨量； Hmax=0.075; v=sqrt(Hmax/k) v= 2.5806e-04(三)：为了做进一步的论证，小组讨论取几个降雨速度的特殊值点来证明模型的准确性并求解其最大高度，运用积分将h(t)的积分后的函数的一部分绘制出来，以便作出直观判断.v1=0.00018;v2=0.00029;v3=0.00035; 建立函数文件表示几个特殊点的原函数并绘制部分曲线 hwei=(t,h) (3.075*v1-0.0029*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2);t,h=ode45(hwei,0,60,0.01);h

9、1ma=max(h);hwei2=(t,h2) (3.075*v2-0.0029*sqrt(h2)/sqrt(0.15*h2-h22);t,h2=ode45(hwei2,0,60,0.01);h2ma=max(h2);hwei3=(t,h3) (3.075*v3-0.0029*sqrt(h3)/sqrt(0.15*h3-h32);t,h3=ode45(hwei3,0,60,0.01);h3ma=max(h3); plot(t,h)xlabel(t)ylabel(h)title(v1时时间与高度的变化曲线) h1mah2mah3ma图2 figure(2)plot(t,h2)xlabel(t)y

10、label(h2)title(v2时时间与高度的变化曲线) 图3 figure(3)plot(t,h3)xlabel(t)ylabel(h3)title(v3时时间与高度的变化曲线) 图4h1ma =0.0275h2ma =0.0709h3ma = 0.1025由采样点图形的走势与数值结果满足模型的理想结果即在此种情况下公司能够兑现其承诺；由于降雨的不稳定性我们设定降雨为正弦的周期函数；并且中国气象局规定五年一遇的特大暴雨暴雨为69mm/h;由于模型的承接雨水具有瞬时性所以假设一小时内只有十分之一的时间都在下雨；且设定k为瞬时最大降雨量；k=69*10/(3600*103)k = 1.9167

11、e-04小组以短时最大降雨量为参考量严格判定模型是否满足要求； hmw= (t,h) (3.075*k*sin(pi*t/60)-0.0029*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2); t,h=ode45(hmw,0,60,0.01); plot(t,h) 图5图5j=max(h) j =0.0371 由j的数值最大解可得到在严苛的论证之下j0.075公司能够兑现其承诺,而其中由图4 中h随t的变化示意图可以看出,h不会超过0.075m,则不会溢出,论证成立 .。 六、模型评价 模型优点：（1） 在对模型的求解时通过对微分函数模型的一小段进行求积分处理，利用数值解反映到模型的整个过程中

12、，直观体现整个过程水深h与时间的变化关系，若扩宽对模型积分的范围，则易得到其余部分的模型的解。（2） 该模型考虑到房屋倾角对水流速度及对水槽积水的影响，建立了水槽积水平衡时水深h与房屋倾角1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818模型缺点：（1） 该模型未能考虑到房面因强降雨而使雨水产生较大的速度冲击水槽，从而使雨水溢出的情况，不利于有效的排水。七、模型改进及优化在我国某些多雨地区,考虑到可能会出现下特大暴雨的情况，则上面建立的模型可能会不利于给房屋排水，因此在在下暴雨的情况下对该模型有如下改进:(1)增大排水管的横截面积A , 即增大排水管的半径。当排水管半径增大为0. 056 m, r 0. 000 36 m/ s, 水槽的水不会出现溢出的情况.h( t) 的最大值不会超过0. 07 m。(2)