9.生物数学捕鱼模型

1、 这部分讲述两个模型：一、一、 捕鱼模型捕鱼模型二、二、 Volterra模型模型一、一、 捕鱼模型：在鱼类增殖的情况下进行捕捞，研究捕捞系数多大时，鱼类增殖是稳定的，并研究在稳定增殖情况下的最大捕捞量。 学习该模型的目的，使人们认识到：为了保护鱼类资源，实现可持续发展战略。捕捞应有一定限制（如休渔期的规定），以免过渡捕捞破坏渔业资源。 本内容的难点，在于理解一维系统平衡点的稳定性概念。二、Volterra模型：这是一个生态问题，研究捕鱼与被捕鱼系统的生态变化。上世纪20年代，意大利生物统计学家DAncona，在统计第一次世界大战期间，亚德利亚海中被食鱼和鲸鲨鱼（掠肉鱼）比数的奇异变化。在捕鱼

2、减少的情况下，鲨鱼的比数意外的上升。（鲨鱼比例为何如此上升？）他让数学家Volterra把这一生态现象给以科学的解释。 Volterra通过建立捕鱼与被捕鱼系统模型，科学的解释DAncona提出的问题。 1.在一个捕鱼被捕鱼系统中，如果没有外部因素干与，两个种群的数量都按周期变化，周期相同。这种现象就是生态平衡。 2.如果有人为干扰（即有捕捞时），捕捞可增加被食鱼，减少鲨鱼，即会使被食鱼的比数增大。此称为捕捞效应。 3.在第一次世界大战期间，人类与战前相比，减少了捕捞。按上面规律，鲨鱼的比数必然增加。Volterra科学地完全地回答DAncona的问题。这个模型是用数学研究生物学的开端。 4.

3、根据Volterra的捕鱼效应，对于正确地对农作物灭虫是有好处的。病虫害发生之后，根据生物规律，就形成了害虫与天敌两个种群，这是一个捕食者被捕食者系统。喷洒农药是一种“捕捞”的行为，根据 捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的治虫，会使害虫增加，而天敌减少。 学习本模型，使学生认识到，生物种群的发展是有规律的,在没有人为的干扰情况下，该种群是处于平衡状态的，这是生物种群千百万年以来所保持的规律性。正确的理解生态平衡的概念和在捕鱼被捕鱼系统中的捕鱼效应。 由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题不能表面化。喷洒农药治虫本来是正确的 但是处理不当，会使害虫增加，而天敌减少，不但无益而且有害。（如玉米的蚜

4、虫与七星瓢虫就是）一、捕鱼模型一、捕鱼模型 在某个水域D中，鱼依然一定规律增殖。如果在这个水域D中捕捞时，会出现两个问题，一个是过度捕捞，使鱼类锐减，形成资源的破坏。另一个是在保护资源的情况下，并保持可持续发展，获得最大捕捞。 下面研究的问题是： 在可持续发展情况下，捕捞量应为多大合适？ .d1.dd1.1d10.txx txxxNtNxxxxtNxxxNN鱼类增值模型 时的鱼尾数为为增殖系数， 为最大容量若实行捕捞，则其模型为为捕捞系数平衡点：变化率为0，即， 为已知模模型型假假定定： 00d2d.,20,2.xf xttxf xxx本模型主要研究捕捞系数 ，它决定着鱼的稳定生产和最大捕捞量

5、。先介绍稳定性概念系统称为自治系统 右端不显含若则称是一维自治系统.平衡点：若则称为系统的平衡点0 x0 x 000000.d0d2.xxxf xtxx txxx txx一维平衡点的稳定性概念 稳定性，不稳定性稳定性 解的稳定性 ：是一个常数解 固为方程的解若某一个时刻的值充分接近 ，则有D De ef f. .1 1 00000.220,0,tx txf xfxxxfxxx txx Def.2不稳定性：当时，远离对于系统，应满足什么条件，解是稳定的？在中，若解关于稳定.若则解关于不稳定.定定理理1 1 2000000000000000012!20.)0)00f xf xfxxxfxxxxxf

6、 xxxf xfxxxixxf xiixxf xtf xx tx证明：因又因是系统的平衡点，固若较小不影响符号，则的符号由决定。当时，当时，某一时刻 使从而有 f x0 x0 xx 00000000,00,0 .ddxx txxxxtxtfxxxxtxtfxx tx txtx tx txtxfxt 向充 分 靠 近 。当时 ， 总 有当时 ， 总 有前 一 情 况 ，递 增 ，后 一 情 况 ，递 减 ，分 析 解 的 形 象0 xx x t0t 00000d1.,0.d00.(,Global Stability )xf xf xf xtxxf xxxf xxx tx tx txx练习：给定方

7、程连续可微，且当时，时，试证该方程的一切解均有此称为关于解的全局稳定性（ ） d11d100,0 xxxxtNxxxNNxxx现 研 究 系 统在具 有 什 么 性 质 时 ， 解 是 稳 定 的 ？先 求 平 衡 点 ：无 意 义 ， 不 予 考 虑 0000011212NxfxxxxfxxxNxfxxxNNNNfxN 渔业生态系统在捕捞过程中，如何体现稳定性？是稳定的.根据定理1，当时就在是稳定的.因故020d,0dd2d0dd2224mmxNNmNmNmNNNmx即在捕捞系数小于增殖系数的情况下，渔业生产是稳定的，从而可知，此鱼种可持续发展，不会走向灭绝。问题： 小于 时渔业资源受到了保

8、护，但是在保护资源的情况下，如何确定 值，使捕获量最大？捕获量为：的点令，得 =故最大捕捞量为二、二、Volterra模型模型 2.1问题的提出：1924年，意大利生物统计学家Dancona在作生物统计工作是发现这一问题。 在阜姆对亚德利亚海中的两种鱼的数量进行统计。对捕获的鱼的种类及数量进行记录。 他把鱼分成两种：鲨鱼，被食鱼，作为一个捕食者被捕食者系统。 食物链系统. 食物环系统. 鲨鱼靠鱼生存，没有鱼或 鱼减少对它的生存都有威 协，被食鱼的食物在海洋中 有充分的供给，不愁没吃的，但是鲨鱼对它构成威胁，鲨鱼的数量过大，被食鱼数就会减少。 DAncona的统计结果：19141923十年间，鲨

9、鱼 占鱼类的比数，从捕捞到的鱼作小样本统计，它标志着两类鱼的比数。鲨鱼被食鱼鸟虫植物 19141918年，在四五年期间，欧洲正进行第一次世界大战，意大利也是参战国。人们都忙于打仗，正常的捕捞工作受到影响。年份1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 鲨鱼占%11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 19.7 由上表可看出，在战争的几年中，鲨鱼的百分比，急剧增长。战争期间捕捞量减少，但是这状态对于被食鱼的数量也应有同样效应。应对两者生长都有利。 问题问题1：为什么鲨鱼比被食鱼增长快？：为什么

10、鲨鱼比被食鱼增长快？ 问题问题2： 为什么捕鱼量减少，反而对鲨鱼更为什么捕鱼量减少，反而对鲨鱼更有利？有利？ DAncona将这一现象告知数学家Volterra，让他用数学方法给出解释。 Volterrad1d, ,03d2dddxx tyy txxxytyyxytyxyyxyxxxyxy 模型被食鱼鲨鱼常数研究系统（3）的轨线分离变量，积分有11111lnlnln0 0,cxyyxdydxcyxyyxxcyxxycy xcecey ex ec cp 即为任意常数系统（3）的平衡点为， ，轨线图像为1pyx10000,.,.DAnconapx yx y 轨线是环绕平衡点的一族闭曲线若初始值在某

11、条轨线上，则两种鱼在捕食和被捕食过程中，鱼的数量就按曲线各点的坐标变换，经过一个周期之后，鱼的数量又回到初始状态生态平衡：动态平衡考察的鲨鱼，一方面处于增长阶段（19141918），同时也与战争有关，下面予以回答. 0000,1,0,.11,.11,.baTTTTyf x xa ba byf x dxb axx tyy tTTxx t dtyy t dtTTxx t dtyy t dtTT考察鱼的数量，因其为变化的数值，因此只能取其平均数.取上的平均值周期为 讨论区间的平均值定理： 0000001 dd0,ln01TTTTTTx ty txyy tyxx tyty ttTy tdtdtx t

12、dty ty tTx t dtx t dtT 证：因及均未解出，故不能直接积分，必须应用方程中函数关系及周期性.比如求 ，在第二式中用 除全式，得，对 在上积分，得DAncona.Volterradddddddd,.xxxyxtyyxyytxxxytyyxytxy 现在回答问题：为什么捕鱼减少对鲨鱼成长最有利作了一个捕鱼模型：为捕捞系数，作适当的捕捞系统变形为其平均值为：如果适当捕获，则被食鱼增加，而掠肉鱼数量减，此为捕捞效应少,.xy相反地，如果不捕捞，它的平均值为与捕捞相反，鲨鱼增加，而被食鱼减少因此，两者比数拉大.上述捕捞效应也表现在活虫方面.植物虫害虫存在两种昆虫：害虫，害虫的天敌.害

13、虫与其天敌在共处中，构成一个捕食者被捕食者系统. ,x ty txyxy害虫被食鱼 天敌掠肉鱼在系统运行中，人类不予干扰，其平均值如果施用杀虫剂，对于害虫及天敌同时被杀，相当于人类对鱼的捕捞，其平均值为，天敌减少而害虫增加会产生负效应.因此，田间灭虫，用药前必须取得植保专家的指导，用什么药，多大药量.LceryaDDTDDT吹棉蚧（ purchasi）传入美国，危害美国柑橘业，危害很重。引入澳洲瓢虫吹棉蚧的天敌，天敌发展起来之后，吹棉蚧被消灭到最低限度（已不是危害的程度），到50年代，高效农药发明之后，成为普遍应用的农药柑橘喷洒之后，正如模型所反映出的，被食鱼相反有所增长，致使害虫进一步增长。

14、一一个实例例：1234123412341234VolterraVolterraddddddddxx aa ya za wtyyb xb yb zb wtzz c xc yc zc wtww d xd yd zd wt学科前沿：广义方程。食物链上不是两种生物，而是多种生物，其中有捕食，共生，互惠，共享等关系时，可列出广义方程.也可研究其稳定性，稳定域等问题.%;(2)(3)rnnr作业：p97.3银行复利问题考虑一个按下述规律进行的储蓄账目：(1)储蓄的年利率为所付利息一年内复合 次，即把一年分为 个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的末尾；任何时候都可以存款，但存利息只从下一时期开始计算，在时间段开始第一天的存款即开始计算利息。 111111y kku kkky ky kku kny ky ky ku kny ky ku k