第十一章频率响应多频正弦稳态电路(09)可用

1、本章主要内容本章主要内容11.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数11.1 基本概念基本概念11.2 再论阻抗和导纳再论阻抗和导纳11.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加11.5 平均功率的叠加平均功率的叠加11.6 RLC电路的谐振电路的谐振 1 1、网络函数的定义及应用、网络函数的定义及应用 2 2、幅频特性和相频特性（重点）、幅频特性和相频特性（重点） 3 3、滤波器的定义及分析（难点）、滤波器的定义及分析（难点）本次课主要内容本次课主要内容11.1 11.1 基本概念基本概念出现多个频率正弦激励大致可分为两种情况：出现多个频率正弦激励大致可分为两种情况：其一：其一：电路的激励原本就是多个

2、不同频率的正弦电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波，但频率之间不一定成整倍数关系。波，但频率之间不一定成整倍数关系。其二：其二：电路的激励原本为非正弦周期波，如方波电路的激励原本为非正弦周期波，如方波、锯齿波等等，但展为傅立叶级数后，就可视、锯齿波等等，但展为傅立叶级数后，就可视为含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦为含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量（谐波分量）。分量（谐波分量）。多频正弦稳态电路多频正弦稳态电路-就是多个不同频率正弦就是多个不同频率正弦激励下的稳态电路。激励下的稳态电路。频率响应频率响应-在多频正弦稳态电路中电路响应在多频正弦稳态电路中电路响应和频率的关系。和频

3、率的关系。 频率响应频率响应 在正弦交流电路中，由于电感元件的感抗和容抗在正弦交流电路中，由于电感元件的感抗和容抗元件的容抗都与频率有关，当电源电压或电流（元件的容抗都与频率有关，当电源电压或电流（激励）的频率改变时，感抗和容抗将随着激励的激励）的频率改变时，感抗和容抗将随着激励的频率的改变而改变，既使激励的大小不变，在电频率的改变而改变，既使激励的大小不变，在电路中各部分所产生的电压和电流的响应的大小和路中各部分所产生的电压和电流的响应的大小和相位将发生变化。相位将发生变化。 分析方法：分析方法： 多频正弦稳态电路的分析仍可以采用相量法，但多频正弦稳态电路的分析仍可以采用相量法，但只能逐个频

4、率分别处理，最后用叠加方法求得结只能逐个频率分别处理，最后用叠加方法求得结构。构。方波周期信号展为傅立叶级数：方波周期信号展为傅立叶级数：t tu u( (t t) )0 0A AT/2T/2T T001( )TAf t dtT02( )cosTkAf tk tdtT其中其中02( )sinTkBf tktdtTt tu u( (t t) )0 0u u1 1u u1 1与方波同频率与方波同频率, ,称为方波的基波称为方波的基波u u3 3u u3 3的频率是方波的的频率是方波的3 3倍倍, ,称为方波的三次谐波。称为方波的三次谐波。u u1 1和和u u3 3的合成波的合成波, ,显然较接近

5、方波显然较接近方波U U1m1m1/31/3U U1m1m( )u tt tu u( (t t) )0 0u u5 5的频率是方波的频率是方波的的5 5倍倍, ,称为方波称为方波的五次谐波。的五次谐波。u u1313和和u u5 5的合成波的合成波, ,显然更接近方波显然更接近方波1/51/5U U1m1mu u135135u u5 5( )u t11.2 11.2 再论阻抗和导纳再论阻抗和导纳 从电路频率响应角度从电路频率响应角度 设设单口网络单口网络N N0 0由线性时不变元件组成，可含受控源但不由线性时不变元件组成，可含受控源但不含独立电源，则该网络可等效为输入阻抗或输入导纳：含独立电源

6、，则该网络可等效为输入阻抗或输入导纳：()uuiijjZjUUeUZeZIIeI()iiuujjYjIIeIYeYUUeU 由于输入阻抗和导纳携带了正弦稳态端口电压与电输入阻抗和导纳携带了正弦稳态端口电压与电流间的关系信息（振幅及相位）所以，掌握了单口网络流间的关系信息（振幅及相位）所以，掌握了单口网络的的Z Z和和Y Y也就掌握了该网络在正弦稳态时的表现。也就掌握了该网络在正弦稳态时的表现。1 1、 X ( X ( ) ) 0 0 0 感性感性 | |Z Z| |与频率的关系称为输入阻抗的与频率的关系称为输入阻抗的幅频特性幅频特性；可用解析式和曲线表示。可用解析式和曲线表示。 Z Z 与频率

7、的关系称为输入阻抗的与频率的关系称为输入阻抗的相频特性相频特性。2 2、Y(jY(j ) )=G(=G( ) ) +jB( +jB( ) ) B( B( ) ) 0 0 容性容性 B( B( ) ) 0 0 感性感性阻抗和导纳的频率特性阻抗和导纳的频率特性()()( )( )ZZ jZ jRjX11.3 11.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数1 1、网络函数、网络函数 在电路分析中在电路分析中, , 电路的频率特性通常用正弦稳态电路的网电路的频率特性通常用正弦稳态电路的网络函数来描述。络函数来描述。 在单一激励的情况下，网络函数定义为：在单一激励的情况下，网络函数定义为：激励相量响应相量H

8、(j)H(j)激励相量响应相量)(jH 网络函数网络函数H(j)H(j)是由电路的结构和参数所决定的是由电路的结构和参数所决定的, , 并并且一般是激励角频率的复函数。反映了电路自身的特性。且一般是激励角频率的复函数。反映了电路自身的特性。显然显然, , 当激励的有效值和初相保持不变而频率改变时当激励的有效值和初相保持不变而频率改变时, , 响响应将随频率的改变而变化应将随频率的改变而变化, ,其变化规律与其变化规律与H(j)H(j)的变化规律的变化规律一致。也就是说一致。也就是说, ,响应与激励频率的关系决定于网络函数与响应与激励频率的关系决定于网络函数与频率的关系。故频率的关系。故网络函数

9、又称为频率响应函数网络函数又称为频率响应函数, , 简称频率简称频率响应。响应。2. 2. 幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性()()( )H jH j 网络函数可表为：网络函数可表为： |H(j)| |H(j)|是是H(j)H(j)的模的模, , 它是响应相量的模它是响应相量的模与激励相量的模之比与激励相量的模之比, , 称为称为幅度幅度- -频率特性或频率特性或幅频响应幅频响应 ； ()()是是H(j)H(j)的辐角的辐角, , 它是响应相量与激它是响应相量与激励相量之间的相位差励相量之间的相位差, , 称为称为相位相位- -频率特性或频率特性或相频响应相频响应。其中：其中：3 3、策动

10、点函数和转移函数（或传输函数）、策动点函数和转移函数（或传输函数） 根据响应和激励是否在电路同一个端口根据响应和激励是否在电路同一个端口, , 网络网络函数可分为策动点函数和转移函数（或传输函函数可分为策动点函数和转移函数（或传输函数）。当响应与激励处于电路的同一端口时数）。当响应与激励处于电路的同一端口时, , 则称为则称为策动点函数策动点函数 ，否则称为，否则称为转移函数转移函数。 根据响应、根据响应、 激励是电压还是电流激励是电压还是电流, , 策动点函策动点函数又可分为数又可分为策动点阻抗策动点阻抗和和策动点导纳策动点导纳； 转移函转移函数又分为数又分为转移电压比、转移电流比、转移阻抗

11、转移电压比、转移电流比、转移阻抗和转移导纳和转移导纳。21( )uUaAU电压转移函数21( )iIbAI电流转移函数21( )TUcZI转移阻抗函数21( )TIdYU转移导纳函数 滤波器分类 按组成元件性质分：有源滤波器和无源滤波器，如果滤波器由电阻、电感和电容等无源元件组成，则称无源滤波器 如果含有晶体管、运算放大器等有源元件，称为有源滤波器。例例1 1 低通滤波器低通滤波器滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。12111111oiUjCHjUjR CRjCtgR CR C 9045相频特性相频特性1()tgRC （）幅频特性幅频特性21()1HR

12、C1 RCc121 H0c0 ：带宽：带宽c：截止频率：截止频率1211HjtgRCRC 低通滤波器低通滤波器分贝数定义：分贝数定义：ioioPPUUdBlg10lg20半功率点：半功率点：当当 时，时，21ioUU21ioPPdB321lg20lg20ioUUc幅频特性上幅频特性上时，叫时，叫 3 分贝点或半功率点分贝点或半功率点。1RCc121 H三分三分贝点贝点低通滤波器低通滤波器例例2 2 高通滤波器高通滤波器OUiURC滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。高通滤波器的传递函数高通滤波器的传递函数11oiURjCRHjUjCRRjC11oiURj

13、 CRHjUj CRRjC幅频特性幅频特性2()1CRHjRC相频特性相频特性RCtg190）（1RCc121H 9045高通滤波器高通滤波器例例3 3 带通滤波器带通滤波器( (双双RCRC电路电路) )213()1()23312()()jURCH jUjjRCRC带通滤波器带通滤波器例例4 4 带阻滤波器带阻滤波器iuouRRR2CC2C221()14OiUCRHjURCjCR（）（）RCc1()Hj1带通滤波器带通滤波器11.4 11.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加(1)(1)将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式，即分将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式，即分解为直流和一系列正弦谐波解

14、为直流和一系列正弦谐波( (一般计算至一般计算至3535次谐次谐波即可波即可) )；(3)(3)分别求解各次谐波单独作用时的响应分别求解各次谐波单独作用时的响应( (相量法）；相量法）；(4)(4)将解出的各谐波响应相量还原为正弦量；将解出的各谐波响应相量还原为正弦量；(5)(5)电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求响应。响应。 例：例例：例11-8 如图所示，求如图所示，求i(t)。 当当 =5=5rad/srad/s的的电源单独作用时，其他电流源视为开路电源单独作用时，其他电流源视为开路0( )10.2cos(511.8 )i tt当当 =4

15、=4rad/srad/s的的电源单独作用，其他电压源短路电源单独作用，其他电压源短路 00( )( )( )10.2cos(511.8 )2.06cos(414.9 )i ti ti ttt0( )2.06cos(414.9 )i tt注意：注意：不同频率下的相量不能直接加，只能时域函数求和不同频率下的相量不能直接加，只能时域函数求和11.5 11.5 平均功率的叠加平均功率的叠加1 1、瞬时功率：、瞬时功率： 如图所示的电路如图所示的电路, , 由叠加定理知由叠加定理知, , 通过电阻通过电阻R R的电流的电流i i是电源是电源u uS1S1与与u uS2S2单独作用产生的电流单独作用产生的

16、电流i i1 1与与i i2 2的叠加的叠加, , 即即 i(t) = ii(t) = i1 1(t)+ i(t)+ i2 2(t)(t)则：则：p(t) = Rip(t) = Ri1 1(t)+ i(t)+ i2 2(t)(t)2 2 =Ri=Ri1 1(t)(t)2 2+Ri+Ri2 2(t)(t)2 2+2R i+2R i1 1(t) i(t) i2 2(t)(t)=p=p1 1(t)+p(t)+p2 2(t)+2R i(t)+2R i1 1(t) i(t) i2 2(t)(t) 一般对所有的时间一般对所有的时间t, it, i1 1(t)(t)、i i2 2(t)0, (t)0, 故故

17、p(t) pp(t) p1 1(t) + p(t) + p2 2(t), (t), 即即叠加定理不适用于计算瞬时功率。叠加定理不适用于计算瞬时功率。式中式中, P, P1 1和和P P2 2分别为分别为u uS1S1和和u uS2S2 单独作用时电阻吸收的单独作用时电阻吸收的平均功率。上式中第三项：平均功率。上式中第三项：12120011( )( )( )2( ) ( )TTPp t dtp tp tRi t i t dtTT121202( ) ( )TRPPi t i t dtT1212120022( ) ( )cos()cos()TTmmRRi t i t dtI Im tn tdtTT2

18、. 2. 电阻电阻R R上的平均功率上的平均功率: :1212cos()0mmRI Imnmn1212120cos()2( ) ( )0TmmRI ImnRi t i t dtTmn上式表明：上式表明： 若若m = n, m = n, 即即1 1 = = 2 2 , , 则平均功率则平均功率 P = P P = P1 1 + P+ P2 2 + RI + RIm1m1I Im2m2cos(cos(1 1- -2 2)P)P1 1 + P+ P2 2 , , 就是说就是说, , 对于同频率的正弦量对于同频率的正弦量, , 其平均功率不能叠加计其平均功率不能叠加计算算; ; 若若m n,m n,即

19、不同频的正弦量，则平均功率即不同频的正弦量，则平均功率P = PP = P1 1 + P+ P2 2, , 可以叠加计算。可以叠加计算。 结论结论： 多个多个不同频率不同频率( (各频率之比为有理数各频率之比为有理数) )的的正弦电流正弦电流( (或电压或电压) )形成的总平均功率等于每个正形成的总平均功率等于每个正弦电流弦电流( (或电压或电压) )单独作用时所形成的平均功率之单独作用时所形成的平均功率之和。和。 推广推广: : 设单端口电路的电压、设单端口电路的电压、 电流分别为：电流分别为： 式中式中U U0 0 、 I I0 0为电压、电流的直流分量为电压、电流的直流分量, , 角频率

20、为角频率为(即即k k = 1)= 1)的项称为的项称为基波基波, , 角频率为角频率为k(k =2, 3, k(k =2, 3, , N), N)的项的项称为称为k k次谐波次谐波, U, UK K(I(IK K) )为为k k次谐波电压次谐波电压( (电流电流) )的有效值。设的有效值。设对各频率的阻抗为对各频率的阻抗为 ，则该一端口电路吸收的平均功率为：则该一端口电路吸收的平均功率为：00011cosNNKKkKKkPU IU IPP( )u t0,cos()ku kUUk t0,cos()ki kIIk t( )i t,(1,2,.,)ku ki kkN周期电流（电压）的总有效值与各分

21、量的关系：周期电流（电压）的总有效值与各分量的关系： 周期电流（电压）作用在电阻上，相当于一直流的周期电流（电压）作用在电阻上，相当于一直流的效果，平均功率为：效果，平均功率为：22222012NI RI RI RI RI R 周期性非正弦波在用傅立叶级数分解出它的直流分量周期性非正弦波在用傅立叶级数分解出它的直流分量和各次谐波分量后，可用上述公式计算该非正弦波电流和各次谐波分量后，可用上述公式计算该非正弦波电流（电压）的有效值。（电压）的有效值。22220122222012NNIIIIIUUUUU【例例】已知一个二端网络已知一个二端网络( )100100cos50cos 230cos(3)u

22、 tttt( )10cos(60 )2cos(3135 )i ttt试求该二端网络的平均功率试求该二端网络的平均功率P P二二端端网网络络+ +_ _iu解解：nnnnIUPPcos30011223300123coscoscos22222210010501000cos 0( 60 )0222302cos 0( 135 )2225021.2228.8mmmmmmUIUIUIU IW ( )100100cos50cos 230cos3u tttt( )10cos(60 )2cos(3135 )i ttt11.6 RLC11.6 RLC电路的谐振电路的谐振 谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态

23、。谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。 谐振电路由于其良好的选频特性谐振电路由于其良好的选频特性, , 在通信与电子技术在通信与电子技术中得到广泛应用。中得到广泛应用。 通常的谐振电路由电感、电容和电阻组成。按照电通常的谐振电路由电感、电容和电阻组成。按照电路的组成形式可分为路的组成形式可分为串联谐振电路串联谐振电路、并联谐振电路和、并联谐振电路和双调谐回路。双调谐回路。 含有含有L L 和和C C 的电路，的电路，如果无功功率得到如果无功功率得到，即端口电压和电流出现即端口电压和电流出现现象时，此时电路的功率现象时，此时电路的功率因数因数 ， 称电路处于称电路处于状态。状态。串联回路

24、的总阻抗串联回路的总阻抗: :arctan22XjrZrjXrX e式中电抗：式中电抗：串联电路中的电流相量：串联电路中的电流相量： 22xjarctgSSrUUIeZrX其模和相角分别为其模和相角分别为: :22SUIrX1arctanLcr 1XLC一、串联电路的谐振一、串联电路的谐振 当频率较低时当频率较低时, ,L1/(C),L1/(C),L1/(C), 电抗为正值电抗为正值, , 电电路呈感性路呈感性。因而电流落后于电压。因而电流落后于电压 , , 其相量关系如图其相量关系如图(c)(c)所所示。示。 X X、|Z|Z|随角频率变化的情况随角频率变化的情况2. 2. 电路的串联谐振频

25、率电路的串联谐振频率 当回路电抗等于零当回路电抗等于零, , 电流与电源电压同相时电流与电源电压同相时, , 称称电路发生了电路发生了串联谐振串联谐振。 这时的频率称为这时的频率称为串联谐振频率串联谐振频率, , 用用f f0 0表示表示, , 相应的角频率用相应的角频率用0 0表示。表示。 电路发生串联谐振时电路发生串联谐振时, , 有有 X = X = 0 0L L - 1/( - 1/( 0 0C)C) = 0= 0故得故得01LC012fLC 由上式可知由上式可知, , 电路的谐振频率仅由回路元件参数电路的谐振频率仅由回路元件参数L L和和C C决定决定, , 而与激励无关而与激励无关

26、, , 但但仅当激励源的频率等于电路的仅当激励源的频率等于电路的谐振频率时谐振频率时, , 电路才发生谐振现象。谐振反映了电路的固电路才发生谐振现象。谐振反映了电路的固有性质。有性质。 除改变激励频率使电路发生谐振外除改变激励频率使电路发生谐振外, , 实际中，经常通实际中，经常通过改变电容或电感参数使电路对某个所需频率发生谐振过改变电容或电感参数使电路对某个所需频率发生谐振, , 这种操作称为这种操作称为调谐调谐。譬如。譬如, ,收音机选择电台就是一种常见收音机选择电台就是一种常见的调谐操作。的调谐操作。 谐振时的感抗与容抗数值相等谐振时的感抗与容抗数值相等, , 其值称为谐振电路的其值称为

27、谐振电路的特性阻抗特性阻抗, , 用用表示表示, , 即即001LLcC01LC3. 3. 谐振电路的调谐和特性阻抗谐振电路的调谐和特性阻抗 在工程中在工程中, , 通常用通常用电路的特性阻抗电路的特性阻抗与回路的与回路的电阻电阻r r的比值的比值来表征谐振电路的性质来表征谐振电路的性质, , 此比值称此比值称为串联谐振电路的为串联谐振电路的品质因数品质因数用用Q Q表示表示（品质因数（品质因数和无功功率符号相同，和无功功率符号相同， 注意不要混淆）注意不要混淆）。即：。即： 它是一个无量纲的量。它是一个无量纲的量。0011LLQrrcrrC4. 4. 串联谐振电路的品质因数串联谐振电路的品质

28、因数00SSUUIZr 此时此时, , 电流电流I I 与与 U US S 同相同相, , 并且并且I I0 0达到最大值。达到最大值。 谐振时谐振时, , 各元件电压分别为各元件电压分别为 谐振时：谐振时：000000000011srsLssCssUUrIrUrLUjLIjUjQUrUjIjUjQUCCr 5. 5. 串联谐振电路的电压和电流特性串联谐振电路的电压和电流特性结论结论 谐振时谐振时, , 电感电压和电容电压的模值相等电感电压和电容电压的模值相等, , 均均为激励电压的为激励电压的Q Q倍倍, , 即即U UL0L0 = U = UC0C0 = QU = QUS S, , 但相位

29、相反，但相位相反，故相互抵消。故相互抵消。这时这时, , 激励电压激励电压U US S全部加到电阻全部加到电阻r r上上, , 电阻电阻电压电压UrUr达到最大值。实际中的串联谐振电路达到最大值。实际中的串联谐振电路, , 通常通常Q Q值可值可达几十到几百。达几十到几百。因此谐振时电感和电容上的电压值可达因此谐振时电感和电容上的电压值可达激励电压的几十到几百倍激励电压的几十到几百倍, , 所以所以, , 串联谐振又称串联谐振又称电压谐电压谐振振。 在通信和电子技术中在通信和电子技术中, , 传输的电压信号很弱传输的电压信号很弱, , 利用电利用电压谐振现象可获得较高的电压压谐振现象可获得较高

30、的电压, , 但在电力工程中但在电力工程中, , 这种这种高压有时会使电容器或电感线圈的绝缘被击穿而造成损高压有时会使电容器或电感线圈的绝缘被击穿而造成损害害, , 因此常常要避免谐振情况或接近谐振情况的发生。因此常常要避免谐振情况或接近谐振情况的发生。 02901CrarctgLC输出电压可以取自电输出电压可以取自电容、电感或电阻，这容、电感或电阻，这里进一步研究串联谐里进一步研究串联谐振电路的频率特性。振电路的频率特性。 2111ruUrj CrAUj CrLCrj Lj C22222(1)uCrAC rLC二、二、 频率响应频率响应通频带的定义通频带的定义 下降到最大值的下降到最大值的7

31、0.7%70.7%时，两个频率点称为时，两个频率点称为上半功率点上半功率点频率频率 2 2和和下半功率点频率下半功率点频率 1 1，定义，定义通频带为：通频带为： BW= BW= 2 2 - - 1 12222212(1)uCrAC rLC2121,()22rrLLLC BWBW的计算：的计算：021RBWLQ 由由BWBW 的表达式可以看出：的表达式可以看出：电阻越小，电感越电阻越小，电感越大，通带越窄大，通带越窄。显然通频带显然通频带BWBW和品质因数和品质因数Q Q是一是一对矛盾，实际当中如何兼顾二者，应具体情况对矛盾，实际当中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。具体分析。幅频和相频特性曲

32、线幅频和相频特性曲线, 常常称为谐振电路的称为谐振电路的谐振曲线谐振曲线。0021LQR(BW= 2 - 1=R/L)由相频特性知：由相频特性知： = 0 ， =00 0，容性，容性， 0 ， 0，感性，感性谐振曲线谐振曲线结论：结论： 谐振电路对频率具有谐振电路对频率具有选选择性择性, , 其其Q Q值越高值越高, , 幅频曲幅频曲线越尖锐线越尖锐, , 电路对偏离谐振电路对偏离谐振频率的信号的抑制能力越强频率的信号的抑制能力越强, , 电路的选择性越好。常用谐电路的选择性越好。常用谐振电路从许多不同频率的各振电路从许多不同频率的各种信号中选择所需信号。种信号中选择所需信号。 但实际信号都占有一定的但实际信号都占有一定的带宽带宽, , 由于由于带宽与带宽与Q Q成反比成反比, , 所以所以Q Q过高过高, , 电路带宽则过窄电路带宽则过窄, , 这样将会过多地削弱所需这样将会过多地削弱所需信号中的主要频率分量信号中的主要频率分量, , 引起严重失真引起严重失真。例子：例子： 如广播电台的信号占