多项式除以多项式x

1、多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式一般用竖式进行演算普，_I""9(1)把被除式、除式按某个字母作降募排列，并把所缺的项葩.第H"二无常UrTT£K用零补齐.(2)用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项.(3)用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项，把不相等的项结合起来.(4)把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式X商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运

2、算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下:例1计算(x29x20)(x4)规范解法I有,J月十9.万0，科20(x29x20)(x4)x5.解法步骤说明：(1)先把被除式x29x20与除式x4分别按字母的降募排列好.(2)将被除式x29x20的第一项x2除以除式x4的第一项x,得x2xx，这就是商的第一项(3)以商的第一项x与除式x4相乘，得x2(4)从x29x20减去x24x,得差5x(5)再用5x20的第一项5x除以除式的第一项面，写成代数和的形式.(6)以商式的第二项5与除式x4相乘，得5x(7)相减得差0,表示恰好能除尽.(8)写出运算结果，(

3、x29x20)(x4)例2计算(6x59x47x220x3)(2x24x,写在x29x20的下面.20,写在下面，就是被除式去掉x24x后的一部分.x，得5xx5,这是商的第二项，写在第一项x的后20的下20,写在上述的差5x面.x5.x5).规范解法12工一b#'-3(br*n，1。/31第+5573(6x59x47x220x3)(2x2x5)3x33x26x1?余9x2注遇到被除式或除式中缺，用0位或空出；余式的次数低于除式的次数.另外，以上两例可用分离系数法求解.如例2.7-1-5J&-#+0+T7=20+36-3口1512-8-2012q6-30(6x59x47x220

4、x3)(2x2x5)3x33x26x1?余9x28.什么是合除法由前面的4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数1，情况比特殊.如：算(2x33x4)(x3).RS球小年N1伊工七6上舞j-3j2x'+0*Jjr-41-.卫+J+3*H二津叔*量8*324-4*2263.si59因除法只系数行，和x无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）.可以再化.方框中的数2、6、21和余式首系数重复，可以不写.再注意到，因除式的首系数是1,所以余式的首系数6、21与商式的系数重复，也可以省略.如果再把代数和中的“十”号省略，除式的首系数也省略，算式（2）就化成了算式（30的形

5、式：（3）|4JIS）|将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4）,再将算式（4）中的除数一3换成它的相反数了加法，于是得到算式（5）.其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1.3,减法就化为1的商式和余例1用综合除法求x43x33x23x12除以x式.规范解法111-33-312|I1TI1-21=210商式x32x2x2,余式=10.例2用综合除法证明2x515x310x29能被x3整除.规范证法这里x33）,所以综合除法中的除数应是一3.（注意被除式按降募排列,缺项补0.）-618-9因余数是0,

6、所以2x515x310x29能被x3整除.当除式为一次式,而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法.例3求2x除以2x1的商式和余数.规范解法把2x除以2,1化为x,用综合除法.22才是所求的商但是，商式2x2x3,这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2式；余数没有变.商式x21x3,余数73.244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下.用2x3x7除以x2x3x31,得商式2x2x_3，余数为22x12x2x_3732242x1x21x37_244即2x3x3除以2x1的商式x21x-3,余数仍为综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的

7、内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x),(g(x)0)得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)g(x)q(x)r(x)。其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)0。当r(x)0时，就是f(x)能被g(x)整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算一一综合除法。2所得的商和余式例1、用综合除法求2x414x47x3除以x(1)把被除式按降募排好，缺项补零。3x26x2,余式是8(

8、2)把除式的第二项-2变成2,写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。(3)把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。(4)用2乘商的第一项的系数2,得4,写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3o(5)用2乘商的第二项的系数-3,得-6,写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。(6)用2乘商的第三项的系数-6,得-12,写在被除式的第四项的系数14的下面,同14相加，得到商的第三项系数2。(7)用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形

9、。如果除式是一次式,但一次项系数不是1,能不能利用综合除法计算呢例2、求(3x3i0x223x16)(3x2)的商式Q和余式Ro解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用2X去除被除式，再把所得的商缩小3即可。233102316IZ281033312156Q=x24x5,R=6F面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。例3、用综合除法求(3473112104)(232)的商Q和余式R3711109664解:Q=3x22x5,R=3x2二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀(17301783)发现的。余数定理

10、在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式f(x)除以xa所得的余数等于f(a)。略证：设f(x)Q(x)(xa)R将x=a代入得f(a)Ro例4、确定m的值使多项式f(x)x53x48x311xm能够被x-1整除。解：依题意f(x)含有因式x-1,故f(1)0。 4-13+8+11+m=0。可得m=-17。求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1,它被x-3除余1,且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同解：设f(x)x2axb f(x)被x3除余1,.f(3)93ab1 f(x)被x1除和x2除所得的余数相同，.f(1)f(2)即1ab42ab由得a3，代入得b1.二f

11、(x)x23x1。注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试即：2rxaxbI(x1)(xm)再由(x2)(x(1)()xxmR(2)()xxnR3)(xpR(x1)R(x2)(xn)R，可得m2,n3)(xp)1，解得p0of(x)x23x1。练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。(1)(3x44x35x26x7)(x2)；(2)(x56x49x314x8)(x4)；(3) (x3(abc)x2(abbcca)xabc)(xa)；(4) (9x45x2y28y48xy318x3y)(3x2y)；(5) (2x47x316x215x15)(X22x3);(6)(x6x512x37x

12、)(x33x25x2)2、一个关于x的二次多项式f(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整除，求f(x)。3、一个整系数四次多项式f(x),有四个不同的整数1,2,3,4,可使f(1)1,f(f(3)1,f(4)1,求证：任何整数都不能使f()1粽合除法:常除式g(x)=x幡例】:a日寺，我俯介貂粽合除法去求商式、含余式。f(x)=2x4+x25x,g(x)=x2,求f(x)除以g(x)的商式、含余式。解：2x4+x235x=(2x+4x2+9x+23)(x-2)+46粽合除法的原理：f(x)=a3x3+a2x2+a1x+ao，g(x)=xb,若存在商式q仅尸c2x2+c1

13、x+c。，绘式r(x)=d由除法的定羲：(a3x3+a2x2+a1x+ao)=(c2x2+c1x+co)(xb)+d2015C2()48184624923,46上面的信剧系可嘉成以下的形式:a3a2a1aoc2c2a3式,绘式c2bc1c1bcocobdf(x)coasda3a2a1aoc2bc1ba2cobc2ba1aoc1bcoba2c2ba1c1b,aocob,dr(x)q(x)c2c1co常f(x)除以g(x)=ax+b日寺，我个子也可利用粽合除法求含余式r(x)、商式q(x)。bf(x)除以(x+)的商式q/(x)=aq(x)典绘式ab由除法的7£羲：f(x)=(ax+b)

14、q(x)+r(x)=(x+_)aq(x)+r(x)可先利用粽合除法求出a1r(x),而所要求的商式q(x)=aq/(x),绘式r(x)不燮。绘式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)q(x)+r(x),degr(x)<degg(x)或r(x)=0绘式定理：多项式f(x)除以xa的绘式等於f(a)。有f(a)的求值我俨可以利用粽合除法得到。b含余式定理推It：多51式f(x)除以ax+b的含余式等於f(a)(2)多项式f(x)除以xa的绘式f(a)的ft重意羲：(1)多项函数f(x)在x=a的函数值。乾例：二次式ax2+bx4以x+1除之，得绘式3,以x1除之，得绘式1,若以x2除之，

15、所得的绘式卷。解：f(x)=ax2+bx4,f(-1)=3且f(1)=1由此解得a典b,再求f(2)=18即卷所得。靶例：求11541147211356112+1511+7之值0解：f(x)=x5-4x4-72x3-56x2+15x+7利用粽合除法求f(11)=51靶例：二多项式f(x),g(x)以2x23x2除之，含余式分月侑3x+2,4x+7,外f(x)+g(x)以2x+1除之，其含余式尚可Ans：192解:f(x)=(2x23x2)Xp(x)+(3x+2)2g(x)=(2x3x2)Xq(x)+(-4x+7)2f(x)+g(x)=(2x3x2)(p(x)+q(x)+(-x+9)=(2x+1

16、)(x-2)(p(x)+q(x)+(-x+9)F(x)=f(x)+g(x),F(1一)=-(219)+9=2IE例：f(x)=2x4+3x3+5x26,求2x1除f(x3)的绘式解：可令g(x)=f(x3),再利用绘式定理。Ans:2靶例：求多项式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之绘式卷何解：x2+3x+2=(x2+2x+3)+(x-1)2323(x+3x+2)=(x+2x+3)+(x-1)=(x2+2x+3)3+3(x2+2x+3)2(x-1)+3(x2+2x+3)(x-1)2+(x-1)求多项式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之含余式=求多项式(x-1)3被x2+2x+3除之绘

17、式=10x+14IE例：IS求下列各小:(1)求多项式f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)之绘式。(2)tg多项式f(x)不低於2次，以x1除之绘2,以x+2除之绘1,即以(x1)(x+2)除f(x)的含余式卷何(3)tg多项式f(x)不低於3次，以x1除之绘3,以x+1除之绘1,以x2除之绘2,即求以(x1)(x+1)(x2)除f(x)的绘式。解：(1)f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)也就是f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以x2-8x+7我俯可得绘式11x-29(2) f(x)=(x

18、-1)(x+2)Q(x)+ax+b由f(1)=2及f(-2)=-1我个子可以解得a=1,b=1我俯可得绘式x+12(3) f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)+ax+bx+c由f(1)=3,f(-1)=1及f(2)=-2我个子可以解得a=-2,b=1,c=42我俯可得绘式2x+x+4Ans：(1)11x29(2)x+1(3)2x2+x+4靶例：多项式f(x)以x2-3x4,2x23x+1除之绘式各卷4x1,2x+7,言式求f(x)以22x9x+4除之绘式卷何解：f(x)=(x2-3x4)Xp(x)+4x1=(x-4)(x+1)Xp(x)+4x1f(x)=(2x23x+1)Xq(x)

19、+2x+7=(x-1)(2x-1)Xq(x)+2x+71f(4)=15且f()=822f(x)=(2x9x+4)xS(x)+ax+b=(x-4)(2x-1)xS(x)+ax+b利用f(4)=15=4a+b及f(1)=8=a+b222我个子可解得a=2,b=7,故f(x)以2x9x+4除之绘式卷2x+7靶例：多项式f(x)以x(x1)除之，绘式卷x+3,以x(x+1)除之绘式卷3x+3,IiJf(x)2除以x(x1)之绘式卷何解：f(x)=x(x1)xp(x)+(x+3)f(x)=x(x+1)xq(x)+(3x+3)22f(x)=x(x1)xS(x)+ax+bx+c1)xS(x)+ax2+bx+

20、co2我个号有f(0)=3,f(1)=2,f(-1)=6分别代入f(x)=x(x21)之绘式卷4x2x+3o2可以解得a=4,b=-2,c=3，故f(x)除以x(x靶例：多项式f(x)除以x3得绘式16,除以x+4得绘式19,即f(x)除以(x3)(x+4)所得的绘式卷Ans:5x+1靶例：多项式f(x)以x23x+2除之绘式卷3,以x24x+3除之得绘式卷3x,即以x25x+6除之绘式卷Ans:6x9靶例：以x2+2x+3除f(x)绘x+12,以(x+1)2除f(x)绘5x+4,即以(x+1)(x2+2x+3)除f(x)的绘式卷Ans:6x211x6蒯列：用(x1)2除x10+2所得的绘式尚

21、可Ans:10x7(直接除察保数规期即可得)靶例：以(x+1)2除x50+1之绘式0Ans:50x48(直接除察保数规期即可得)因式定理：f(x)一多式，即xf(x)的因式f(尸0。if明：因卷f(x)=(x)Q(x)b推入axb卷f(x)的因式f(a尸0靶例：因式定理的鹰用：(1)言式周下列何者悬f(x)=4x5+8x4+7x322x22x+5的因式(a)x1(b)x+2(c)2x1(d)x2(2)f(x)=x42x3+4x2+ax+3之一因式悬x3,求a之。靶例：tKf(x)=4x411x3+14x210x+3,即下列何者卷f(x)之因式(A)x+1(B)4x+3(C)4x3(D)3x2(

22、E)x1Ans:(C)(E)靶例：若f(x)=x35x2+mx+n有因式x2+x6,外m+n=Ans:24靶例：a,b,c悬整数,0<a<b,若xc黑x(xa)(xc)17的因式，(a,b,c)=Ans:(2,18,1)一次因式横瞬定理：f(x)=2x+3,g(x)=5x2x+7,h(x)=f(x)g(x)=10x3+13x2+11x+21,10x3是2xX5x2来的，21是3X7来的，因此U察一次式2x+3|h(x),而2|10,3|21,造偃I余吉果封於一般整保数的多项式也是成立，我俨符它嘉成下面的定理：定理：ISf(x)=axn+axn1+?+ax+a卷一偃I整彳系数n次多项

23、式，若整彳系数一次式axb是f(x)的因式，且a,bnn110注意：一次因式椀Tit定理的逆叙述不成立。例如：f(x)=3x+5x+4x2,f(3)0由此定理，可知若一次式cxd中c不卷an的因数或d必不篇f(x)的因式。故只有漏;足a|an且b|a0的一次式axb才有可能成卷f(x)的因式，因此我伪只要徙满足a|an且b|a0道些axb去找一次因式就可以了靶例：求整保数f(x)=3x3+5x2+4x2的整彳系数一次因式。根摞一次因式椀Tit定理，假axb热jf(x)的一次因式，州a|3且b|2。我个课f所有可能的axb合x+1,x1,x+2,x2,3x+1,3x1,3x+2,3x2,再利用粽

24、合除法椀t看看那一他是f(x)的因式3x1是f(x)的因式。蒯列：求f(x)=2x4+5x3x2+5x3的一次因式。Ans:2x1典x+3靶例：找出f(x)=6x47x3+6x21的所有整保数一次式。Ans:2x1、3x+1定理：tgf(x)卷整保数多项式，a,b卷不同的整数，瞪明：(ab)|f(a)f(b)。靶例：屣史擘家卷了推敲大数擘家歇黑里得的出生年份，彝现在西元前336年日寺，流僖了一期有趣的故事：那一年的某一天，歇黑里得造了一他整保数的多项式，典高采烈的跟旁人我现在的年龄刚好是道他多项式的一他根。旁人卷了想知道K黑里得的年龄，於是符7及一偃I比7大的整数代入K黑里得的多项式，余吉果得

25、到77及85的。道日寺候歇黑里得笑著：我的年龄有你代的数那麽小喝你能根摞道些史料推测出歇黑里得出生的年份喝提示：麋里得提及的多项式卷f(x),而K黑里得有a,且f(7)=77,f(b)=85,且b>7,由例题13可得b7|f(b)fb7|8,且7a|f(7)f(a)=77,ba|f(b)f(a)=85,再根摞造些修件，去求得a的，a=14,所以K黑里得出生的年份是西元前350年。最高公因式、最低公倍式定羲：f(x),g(x)卷二多项式，若存在多项式h(x)使得f(x)=g(x)h(x),外僻If(x)靶例：因卷x3g(x)的因式或g(x)f(x)的倍式。符虢：f(x)|g(x)。1=(x

26、1)(x2+x+1),所以x1典x2+x+1均煞x3+1的因式，x3+1热jx1典x2+x+1的倍式。12靶例：因悬次243xJ(x4241)(x2)=(1x211-)(-x1)，所以x+1,x+2,221x1,1x1都是222注意：由上面雨他例子可知，若1x23x44f(x)|g(x),IiJcT的因式。2f(x)|g(x)(c0)o因此就一般而言，只要求出整保数的因式或倍式即可。f(x)+n(x)g(x)。(2)性St：若d(x)|f(x),d(x)|g(x),外d(x)|m(x)公因式典公倍式：若多项式d(x)同日茅焉多项式f(x),g(x)的因式，外隔d(x)卷f(x),g(x)的公因

27、式。注意：d(x)=c(c0)卷任何雨偃I多项式的公因式。d(x)热Jf(x),g(x)的公因式，外kd(x)(k0)亦卷f(x),g(x)的公因式，因此我伊通常只取一偃I代表就行了。如果多项式f(x),g(x)除了常数以外，没有其它的公因式，就耦它俯互U。f(x),g(x)都是非零多式，如果m(x)同日寺是f(x),g(x)的倍式，那麽就耦m(x)卷f(x),g(x)的公倍式。m(x)卷f(x),g(x)的公倍式，即km(x)亦卷f(x),g(x)的公倍式，因此我俨通常只取一偃I代表就行了。靶例：f(x)=4x11,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x27x+3。求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)的公因式。因卷f(x)=(2x+1)(2x1),g(x)