线性代数期中考试试题+答案

1、、填空题(共30分，每填对一空得3分)1、函数uxy2z3在点P(1,1,1处沿方向(1,2,3)有最大方向导数，最大方向导数等于7石2、设zarctan-,贝Uxyzy22，xxy2z2x2xyx23、函数zz(x,y)由方程x2y3zez0确定;则丄，i套-4、微分方程史2xy的通解为yce"；dxxdyyx(x0)的通解为yxlnxex.dx5、设函数f(x,y)连续，f(x,y)xyf(u,v)dudv,D其中D由直线y0,x1和yx所围，贝Vf(u,v)dudvDf(x,y)二、单项选择题(共20分，每题4分)1、设函数zf(x,y)的全微分dzxdxydy,则点0(0,0

2、)_(D)(A) 不是f(x,y)的连续点；(B) 不是f(x,y)的极值点；(C) 是f(x,y)的极大值点；(D) 是f(x,y)的极小值点.2、设函数f(x,y)ex2y4,则(B)(A) fx(0,0)存在，fy(O,O)不存在；(B) fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在；(C) fx(0,0)和fy(O,O)都存在；(D) fx(0,0)和fy(O,O)都不存在.3、设积分域D:x2y2I2sin(x3y3)dxdy,D则(B).(A) IiI2I3；(B) IiI3I2；(C) I2IiI3；(D) I2I3Ii1,I1sin(x2y2)dxdy,D13sin(x4y4)dx

3、dy,Dy22y,则4、设函数f(u)连续，D(x,y)x2f(xy)dxdy等于(D)n11x2(A)dxi1x2f(xy)dy；22yy2(B)2dyo0f(xy)dx;2sin2(C)do0f(rsincos)dr;2sin(D)do02rf(rsincos)dr5、函数f(x,y)在点0(0,0)处可微的一个充分条件是lim评f(0,0)0.')(x,y)(0,0)Jx2y2-(A) (x,y)m(o,o)f(x，y)f(o,o)；(B) limf(x,0)皿0,limf(°,y)嗨0;x0xy0y(C) limifx(x,0)fx(0,0)且li叫fy(0,y)fy

4、(0,0);x0y0三、(10分)求微分方程yy(3x4)e2x通解.解特征方程210，特征根,1,21;-2分对应的齐次方程的通解yGexC2ex-5分设原方程的特解y*(axb)e2x并代入原方程，解得：y*xe2x-9分原方程的通解：yqexc2exxe2x10分222四、(10分)求曲线L:XyZ在点xyz0P(1,2,1)处的切线和法平面方程.解对x求导，得2x2yy2zz01yz0在点P(1,2,1)处,2yz1得得yz1y切线方程：31法平面方程：0，z1y2z110分01xz0五、（10分）计算二重积分I(3xy)dxdy,D其中D:解Ix2y21.(9x2y2（9x2y2）d

5、xdyD（奇偶性+对称性）6xy)dxdy(9x2y2)(x29y2)dxdyd1r3dr0（轮换对称性）355(x2y2)dxdyD4分10分六、(10分)在曲面S:2x2y2z21上求距离平面2xyz6的最近点、最远点.解点(x,y,z)到平面的距离加yz6,-2分<6设L(x,y,z,)(2xyz6)2(2x2y2z21)2分Lx4(2xyz6)4x0Ly2(2xyz6)2y0Lz2(2xyz6)2z0L2x2y22z10解得最近点时右，最远点P2(10分六、（10分）在曲面S:2x2y2z21上求距离平面：2xyz6的最近点、最远点.解令Po（Xo,y°,z。）S,椭球

6、面S过Po切平面方程i:2xoxy°yz°z1.令i/2，有：晋十+,(1)又：2xoyz：1,(2)解得最近点pdt)，最远点P>(£，7)222222定理设Po(X0,yo，Z0)S，而S为实二次曲面Ax22Bxy2CxzDy22EyzFz22Gx2Hy2IzJ0,若Axo+Byo+Czo+G,Bxo+Dyo+Ezo+H,Cxo+Eyo+Fzo+I,不全为零，Po称为S的寻常点.则二次曲面S在Po(Xo,yo,Zo)处的切平面方程为：Ax°xBx°yxy°Cx°zxz°Dy°yEy°zyz°Fz0zGxx0Hyy0Izz0J0.七、(10分)设函数f(u)在(0,)内二阶连续可微，f(1)0,f(1)1,且zf(yx2y2)22满足I-40，求f(u)xy解令VX2y2u,则zXf(u),2z2y23f(u)2Xf21(u)；XuXuu222zJyf(u),z2X3f(u)y2f(u).-4分yuyuu代入原方