第三章 不可压缩无粘流体平面势流

1、3 31 1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程理想不可压缩流体平面位流的基本方程3 32 2 几种简单的二维位流几种简单的二维位流3 32 21 1 直匀流直匀流3 32 22 2 点源点源3 32 23 3 偶极子偶极子3 32 24 4 点涡点涡3 33 3 一些简单的流动迭加举例一些简单的流动迭加举例3 33 31 1 直匀流加点源直匀流加点源3 33 32 2 直匀流加偶极子直匀流加偶极子3 33 33 3 直匀流加偶极子加点涡直匀流加偶极子加点涡本章基本要求本章基本要求掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系；掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系；掌握平面不可压位流

2、的基本方程即拉普拉斯方程的特点掌握平面不可压位流的基本方程即拉普拉斯方程的特点、叠加原理和边界条件；、叠加原理和边界条件；掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点汇）、偶极子和点涡的表达；汇）、偶极子和点涡的表达；重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加；重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加；掌握儒可夫斯基升力定律；掌握儒可夫斯基升力定律； 对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求程组。在第二章中已给出这些方程的

3、推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题早期流体力学发展的一种理想化近似

4、模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。当的可信程度。 1 1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程pfdtVdzwyvxu10初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为在在t=t0时刻，时刻，在物体的边界上在物体的边界上在无穷远处在无穷远处 存在速度势函数（位函数）为存在速度势函数（位函数）为如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到p(x,y,z)pzyxVV ),(0nVVV02VVrotz

5、wyvxuV 0 00222222zyxzwyvxuV 由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与压强与压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，

6、解出度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动值。实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用方程中，而是利用Bernoulli(或或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流积分得到。对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为对于定常流动，质量力只有重力，得到对于定常流动，质量力只有重力，得到如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）由此说明，只要把速度势函数解出，压强由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由

7、可直接由Bernoulli方程得到。在这方程得到。在这种情况下整个求解步骤概括为：种情况下整个求解步骤概括为：)(22tCpVtCgzpV22CpV22（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由）由Bernoulli方程确方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为及其初边界条件为初始条件初始条件

8、边界条件为边界条件为 固壁面条件固壁面条件 自由面条件自由面条件 无穷远处无穷远处在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，即在边界上给定速度势函在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，即在边界上给定速度势函数的偏导数。数的偏导数。)(20 2222222tCpVtzyx),( ),( 000zyxppzyxVVttVVppns02、速度势函数的性质、速度势函数的性质（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响着流线方向增加。由此可得

9、出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动。流体的运动。（2）速度势函数）速度势函数 满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数如果速度势函数 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方程。方程。（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。sdsdzzdsdyydsdxxVdsdzwdsdyvdsdxudssdVVwdzvdyudxsdVdsVsss0 1222222222

10、2221niiiiiniiizyxCzyxCisdV 0 0sdVdd（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。3、流函数及其性质、流函数及其性质根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）如果令如果令ABBABABABAddzzdyydxxwdzvdyudxsdV)()(dxdyyPxQQdyPdxLdxd

11、yyvxuudyvdxuvPLQ 由此可见，下列线积分与路径无关由此可见，下列线积分与路径无关存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全微分，即微分，即这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函数的概念是数的概念是1781年年Lagrange首

12、先引进的。流函数具有下列性质首先引进的。流函数具有下列性质（1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。）流函数值可以差任意常数而不影响流动。（2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。方向重合。0Ludyvdx0yvxux x vyuudyvdxdyydxudyvdxd在流函数相等的线上，有在流函数相等的线上，有上式即为平面流动的流线方程。上式即为平面流动的流线方程。（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90度方向的速度分量。度方向的速度分量。根据流函数这一性质

13、，如果沿着流线取根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转，反时针旋转90度取度取n方向，则有方向，则有 （流函数增值方向沿速度方向反时针旋转（流函数增值方向沿速度方向反时针旋转90度方向）度方向）（4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即vdyudxudyvdxdyydxxd 0),cos(),cos( ymuxmvmyymxxmVmnmVnn0 sVnVns021)( )( 21 212222zyxyyxxyuxv（5）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之间的单宽流量）任意两条流线之间的流函数之差等于通

14、过此两条流线之间的单宽流量q。4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念（1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方程）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方程，且满足柯西，且满足柯西-黎曼条件。黎曼条件。（2）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交）。）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交）。等流函数线是流线，有等流函数线是流线，有12212121ddnndnVqsxyvyxu uvdxdyudyvdxd1K0另一方面，过该点的等势函数线方程为

15、另一方面，过该点的等势函数线方程为在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为说明流线与等势线在同一点正交。说明流线与等势线在同一点正交。（3）流网及其特征）流网及其特征在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格的边长之比

16、等于势函数和流函数的增值之比。的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。 如果如果 网格正方形。网格正方形。vudxdyKvdyudxdyydxxd201K21vuuvKdddsdndsVddnVdss dsdndd流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即 表示流速与网格间距成反比，因此流线表示流速与网格间距成反比，因此流线 的疏密程度

17、反映了速度的大小。的疏密程度反映了速度的大小。 1221dndnVVdndqdndVsss5、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法 对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学提法共有三种。对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学提法共有三种。 设给定一平面物体设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求这个绕流问题。这个绕流问题。（1）以速度势函数为未知函数的提法）以速度势函数为未知函数的提法（2）以流函数为未知函数的提法）以流函数为未知函数的提法（3）以复位势）以复位

18、势w(z)为未知函数提法为未知函数提法需要求解满足一定定解条件的在需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。外区域内的解析函数。vyuxnyxC 0 0 2222uyvxyxC 0 0 2222izw)(1、直匀流、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为位函数为位函数为常用平行于常用平行于x轴的直匀流，从左面远方流来，流速为轴的直匀流，从左面远方流来，流速为 。相应的流函数和势函数为相应的流函数和势函数为 ；bvau byvaxu cbyaxbdyadxdyydxxdVcyVudyvdxdyydxxdcxV2、点源、点源

19、 源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有r，而没有，而没有 。 设半径为设半径为r处的流速是处的流速是r，那末这个源的总流量是，那末这个源的总流量是 流量是常数，故流速流量是常数，故流速r与半径成反比。与半径成反比。vrrvQ2rQvr12流函数的表达式是流函数的表达式是 或或 位函数从位函数从 的式子积分得到的式子

20、积分得到在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为rvrQln222yxr2QxyarctgQ2rrVrrVrrV 11V 如果源的位置不在坐标原点，而在如果源的位置不在坐标原点，而在A（,）处）处22)()(ln2yxQxyarctgQ22222)()()(2)()()(2yxyQyvyxxQxu3、偶极子、偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（轴线上，源放在（-h，0）处，汇）处，汇放在（放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇。）处。从源出来的流量都进入汇。应用叠加原理，位函数和流函

21、数如下应用叠加原理，位函数和流函数如下其中其中表示流场点表示流场点P分别与源和汇连线与分别与源和汇连线与x轴之间的夹角。轴之间的夹角。ln)(ln22222yxyhxQ212Qhxyarctg1xyarctg2 现在我们考虑一种极限情况，当现在我们考虑一种极限情况，当h0，但同时，但同时Q增大，使增大，使保持不变的极限情况。这时位函数变成保持不变的极限情况。这时位函数变成MQh2222220222202( , )lim ln42lim4hhQxyxhhx yxyQhxxMxyxy等位线是一些圆心在等位线是一些圆心在x轴上的圆，且都过原点。轴上的圆，且都过原点。流函数的式子，取流函数的式子，取h

22、0而而Qh/2=M保持保持不变的极限结果，是不变的极限结果，是22yMxy 22222 cy(x-c)Cyxx22222 c(y-c)xCyxy 流线也是一些圆，圆心都在流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且都过源点轴上，且都过源点O。两个分速的表达式。两个分速的表达式是是:合速度为合速度为22222222222sin)(22cos)()(rMyxxyMyvrMyxxyMxu222rMvuV 要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是它的轴线。前面表示原来的源和汇放在哪条直线上，那条直

23、线就是它的轴线。前面表示的偶极子是以的偶极子是以x轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶极子是指向负偶极子是指向负x方向的。如果偶极子轴线和方向的。如果偶极子轴线和x轴成轴成角，正向指向角，正向指向第三象限，则势函数为第三象限，则势函数为 相应的流函数为相应的流函数为sincos22yxyxM)sincos(22xyyxM 如果偶极子位于（如果偶极子位于（，），轴线和），轴线和x轴成轴成角，正向指向第三象限角，正向指向第三象限，则势函数和流函数分别为，则势函数和流函数分别为 22()cos()sin()()xyMxy22()cos()sin(

24、)()yxMxy 4、点涡、点涡 点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只有点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只有 ，而没有，而没有 。 式中的式中的 是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为正。分速是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为正。分速 和离中心点的距离和离中心点的距离r成反比，指向是反时针方向的。其位函数和流成反比，指向是反时针方向的。其位函数和流函数分别为（等势线是射线，流线是圆）函数分别为（等势线是射线，流线是圆） vrv2ln2r (2)vr 12vrv 如果点涡的位置不在原点，而在（如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数和流函）

25、，则点涡的位函数和流函数分别是数分别是 沿任意形状的围线计算环量，值都是沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这个围线把点涡包围，只要这个围线把点涡包围在内在内 ，但不包含点涡在内的围线，其环量，但不包含点涡在内的围线，其环量 等于零等于零。2yarctgx22ln2xy 点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径 r0 时将使时将使 V 势必使压强势必使压强 p ，这是不现实的，这时粘性必然要起作，这是不现实的，这时粘性必然要起作用，因此实际的旋涡存在一个涡核，核内流体用，因此实际的旋涡存在一个涡核，核内流体 V与半径成正比为有与半径成正比

26、为有旋流，核外为无旋流。实际涡核尺寸与粘性和涡强弱有关，一般不大旋流，核外为无旋流。实际涡核尺寸与粘性和涡强弱有关，一般不大，故数学上抽象为一个点，形成点涡模型。，故数学上抽象为一个点，形成点涡模型。1 、直匀流加点源、直匀流加点源 在一个平行于在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源的源。 把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是两个分速是两个分速是在在x轴线上有一个合速为零的点，即驻点轴线上有一个合速为零的点，即驻点A。 22ln4ln2),(yxQxVrQxVyx222yxxQVx

27、u222yxyQyv令令 即得驻点即得驻点xA坐标为坐标为0Ay 0 0AAvuVQxA2流动的流函数是流动的流函数是对于零流线对于零流线是一条通过坐标原点的水平线。是一条通过坐标原点的水平线。对于对于的流线方程为的流线方程为得到解为得到解为说明是通过驻点的一条水平流线。对于非水平流线，半径说明是通过驻点的一条水平流线。对于非水平流线，半径r r0 02sinQrV2Q22sinQQrV 2Q)1 (2sin1QVr 如对于如对于 相应的半径相应的半径r为为 全部流线谱中，经过驻点全部流线谱中，经过驻点A的流线的流线BAB是一条特殊的流线，是一条特殊的流线， 。它。它像一道围墙一样，把流场划分

28、成为两部分。外面的是直匀流绕此围像一道围墙一样，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。 我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BAB那样形状的那样形状的物体所造成的流动。不过这个物体后面是不封口的，称半无限体。物体所造成的流动。不过这个物体后面是不封口的，称半无限体。这个半无限体在这个半无限体在+x无限远处，其宽度（无限远处，其宽度（y向尺寸）趋向一个渐近值向尺寸）趋向一个渐近值D为为2Q23 2VQDVQQVrEF2 4)1 (2sin1VQD 通常将

29、压强表为无量纲的压强系数通常将压强表为无量纲的压强系数 ，其定义是当地静压减去来流，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头。静压再除以来流的动压头。不可压无粘流时不可压无粘流时沿这个半无限体的外表面，压强系数沿这个半无限体的外表面，压强系数是是 pC2sin2sinpC2222)2(vuVpp221VppCp221VVCp 首先，首先，A点是驻点，这一点的点是驻点，这一点的Cp一定等于一定等于+1。从驻点往后，。从驻点往后，Cp迅迅速下降，在距速下降，在距A不很远的地方，不很远的地方，Cp降到零，该点流速已达远前方的降到零，该点流速已达远前方的来流速度。此后气流继沿物面加速，走了一段之

30、后，流速达最大值来流速度。此后气流继沿物面加速，走了一段之后，流速达最大值，Cp达最小值。这一点称最大速度点，或最低压强点达最小值。这一点称最大速度点，或最低压强点 ，过了最大，过了最大速度点之后，气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方速度点之后，气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方来流一样大来流一样大 。 这是大多钝头物体低速流动的特点。头部附近形成一个低速高压这是大多钝头物体低速流动的特点。头部附近形成一个低速高压区，随后速度迅速上升，压强急剧下降。区，随后速度迅速上升，压强急剧下降。2、直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流）、直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流） 只有当正源和

31、负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设直匀流只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设直匀流 平行于平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x的偶极子放在坐标的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是原点处。这时，流动的位函数是流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的坐标定出来。令的坐标定出来。令得到得到 2),(rxMxVyx02422rMxrMVxVMaVMxA/ /22a就是圆半径。这样位函数可以写成为就是圆半径。这样位函数可以写成为 流函数方程为流函数方程为=0是一条特殊的流线。容易证明，

32、该流线通过驻点的是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点的x轴线；另外还轴线；另外还有有是半径为是半径为a的圆。两个速度分量为的圆。两个速度分量为cos)(),(222rarVrxaxVyxsin),(2rarVyx02rarsin)1 (1cos)1 (2222raVrVraVrVr 在圆周上，在圆周上，r=ar=a，速度分量为，速度分量为相应的压强系数为相应的压强系数为sin2sin)1 (10cos)1 (2222VaaVrVaaVrVr222sin411VVCp 在圆周前后驻点，在圆周前后驻点， =0， =，压强系数等于，压强系数等于1.0。从前驻点往后流。从前驻点往后流，在，在=1

33、50处流速加快到和来流的流速一样大了。以后继续加速，处流速加快到和来流的流速一样大了。以后继续加速，在在=/2处达最大速度，其值二倍于来流的速度，处达最大速度，其值二倍于来流的速度，Cp是（是（3.0）。过）。过了最大速度点以后，气流减速，在了最大速度点以后，气流减速，在=0处降为零，这一点称为后驻处降为零，这一点称为后驻点。这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的，物面上的点。这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的，物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没有。不过实际流动压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没有。不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘性的缘故，

34、气流过了最大速左右是不对称的，由于实际流体是有粘性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着物体流下去，不可能进行完全的减速，度点以后，不可能始终贴着物体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向是有一个阻力的结果水平方向是有一个阻力的 。（达朗培尔疑题）。（达朗培尔疑题）达朗培尔（达朗培尔（DAlembert）18世纪法国著名数学家，他提出，在理想世纪法国著名数学家，他提出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流

35、体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。3、直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流）、直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流） 在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加一个强度为（在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加一个强度为（ ）的）的点涡（顺时针转为负）。点涡（顺时针转为负）。这时的流函数和位函数为这时的流函数和位函数为2cos),(2rarVyxrrarVyxln2sin),(2在极坐标下，两个分速度为在极坐标下，两个分速度为r=ar=a仍是一条流线。在这个圆上仍是一条流线。在这个圆上Vr=0Vr=0，圆周

36、速度为，圆周速度为 驻点现在不在驻点现在不在其位置可以从其位置可以从 cos122raVrVrrraVrV2sin1122aVV2sin20 02sin2 0aVVV 定出来定出来 在第三和第四象限内，前后驻点对在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称的。这个角度离开轴是对称的。这个角度离开和和0的多少决定于环量对速度乘半径的多少决定于环量对速度乘半径a之比值；比值越大，驻点越往下移。之比值；比值越大，驻点越往下移。 现在的流动图画，左右仍是对称的，但上下不对称了。于是计算现在的流动图画，左右仍是对称的，但上下不对称了。于是计算y向合向合力时结果就不等于零。力时结果就不等于零。 这个这个y向合

37、力，可以按伯努利公式以速度来表示圆柱面上的压强，直接向合力，可以按伯努利公式以速度来表示圆柱面上的压强，直接计算计算y向的压力，最后经积分去求得。另一种方法是，用动量定理来计向的压力，最后经积分去求得。另一种方法是，用动量定理来计算。以原点为中心，画一个半径为算。以原点为中心，画一个半径为r1很大的控制面很大的控制面S，整个的控制面还，整个的控制面还包括圆的表面包括圆的表面S1以及连接以及连接S和和S1的两条割线。不过这两条割线上的压力的两条割线。不过这两条割线上的压力和动量进出都对消了，不必管它。受力情况左右对称，不会有和动量进出都对消了，不必管它。受力情况左右对称，不会有X合力。合力。我们

38、只计算我们只计算Y方向合力就行了。彻体力略去不计；流动是定常的。方向合力就行了。彻体力略去不计；流动是定常的。 aV4sin0 动量积分方程变为动量积分方程变为 在在r1的大圆上的大圆上SnSvdsVdsynpL),cos(dyn1rds sin),cos(2/2/12/2/12sin2vdVrdprLrsin1 4sin1cos1222222222222222222rarVrraVraVVVVr)(2122VVpp 在上述表达式中，奇函数积分为零，只有偶函数积分。在上述表达式中，奇函数积分为零，只有偶函数积分。 对于单位时间动量的净流出量计算如下：对于单位时间动量的净流出量计算如下：)1 (2 sin)1 (2-2 sin22122/2/2212112/2/1raVdrarVrdprLprraVrV2sin1122cos122raVrVr在在y方向的速度分量是方向的速度分量是cos2coss