第控制系统的状态空间表达式学习教案

1、会计学1第第 控制系统控制系统(kn zh x tn)的状态空的状态空间表达式间表达式第一页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式1 状态(zhungti)描述一个系统(xtng)得过去、现在和将来的状况2 状态变量足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量( )(1)( )(1)1111(1.1 1)nnnnnnonnya yaya yb ubub ub u注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。例如微分方程：注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个

2、数。第第2页页/共共88页页第1页/共88页第二页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式3 状态(zhungti)矢量如果n个状态变量用 表示，并把这些状态看作是 的分量，则 就称作(chn zu)状态矢量：4 状态空间12( ),( ),( )nx tx tx t( )x t( )x t12( )( )( )(1.12)( )nx tx tx tx t以状态变量 为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移， 将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。12( ),( ),( )nx tx tx t( )x t第第3页页/共共88页页第2页/

3、共88页第三页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式5 状态方程描述系统(xtng)状态与输入之间关系的一阶微分方程组：6 输出(shch)方程( )( )( )(1.1 3)x tAx tBu t描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：( )( )( )(1.1 4)y tCx tDu t7 状态空间表达式状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：( )( )( )(1.1 5)( )( )( )x tAx tBu ty tCx tDu t第第4页页/共共88页页第3页/共88页第四页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zh

4、ungti)空间表达式例1.1-1 求R-L-C电路(dinl)的状态空间表达式，输出为电容两端电压图1.1-1 R-L-C电路(dinl)1 选择状态变量例题 1.1 【解答】状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感L的电流。121( ),( ),( ),( )CLCx tux tiiu ty tux 状态：输入：输出：第第5页页/共共88页页第4页/共88页第五页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式2 列写一阶微分方程(wi fn fn chn)例题(lt) 1.1-1 【解答】3 列写状态方程和输出方程CCduCidt

5、diLRiuudt111CCuiCRiuiuLLL （1）状态方程121( ),( ), ( )CLCx tux tii y tux 12212111xxCRxxxuLLL 112210011xxCuxxRLLLxAxBu第第6页页/共共88页页第5页/共88页第六页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式例题(lt) 1.1-1 【解答】3 列写状态方程和输出(shch)方程（2）输出方程1Cyux1210 xyx4 列写状态空间表达式xAxBuyCxDu100,1110 ,0CABRLLLCD第第7页页/共共88页页第6页/共88页第七页，共88页。

6、( )( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx tDu t1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式8 状态空间表达式的一般(ybn)形式状态(zhungti)矩阵输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量输入向量第第8页页/共共88页页第7页/共88页第八页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式8 状态空间(kngjin)表达式的一般形式111121122122221212,nnnnnnnnnxaaabxaaabxABaaabxCcccDd（1）SISO( )( )( )( )( )( )x tAx

7、tBu ty tCx tDu t（2）MIMO111121111212212222122212121111121221222212,nrnrnnnnnnnrnnnmmmnmrxaaabbbxaaabbbxABaaabbbxyucccycccuuyCcccyu111212122212,rrmmmrddddddDddd第第9页页/共共88页页第8页/共88页第九页，共88页。1.1 状态(zhungti)变量及状态(zhungti)空间表达式9 状态空间(kngjin)表达式系统框图注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法(fngf)既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反

8、映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。第第10页页/共共88页页第9页/共88页第十页，共88页。 本章结构(jigu) 第1章 控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构(jigu)图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论(xln)第第11页页/共共88页页第10页/共88页第十一页，共88页。1.2 状态(zhungti)

9、空间表达式的模拟结构图1 作用(zuyng)采用模拟结构图来反映(fnyng)系统各状态变量之间的信息传递关系。2 三类基本框图第第12页页/共共88页页第11页/共88页第十二页，共88页。1.2 状态空间(kngjin)表达式的模拟结构图例1.2-1 设一阶系统(xtng)状态方程为 则其状态图为xaxbu例1.2-2 设三阶(sn ji)系统状态空间表达式为 1223312313632xxxxxxxxuyxx 第第13页页/共共88页页第12页/共88页第十三页，共88页。1.2 状态(zhungti)空间表达式的模拟结构图第第14页页/共共88页页第13页/共88页第十四页，共88页。

10、 本章结构 第1章 控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立(jinl)（一） 1.4 状态空间表达式的建立(jinl)（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论(xln)第第15页页/共共88页页第14页/共88页第十五页，共88页。1.3 状态空间(kngjin)表达式的建立（一）1 由系统框图建状态(zhungti)空间表达式用状态空间(kngjin)法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空

11、间(kngjin)表达式，一般有3种途径：（1）由系统方块图来建立（2）从机理特性出发建立（3）由高阶微分方程和传递函数建立例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式第第16页页/共共88页页第15页/共88页第十六页，共88页。1.3 状态(zhungti)空间表达式的建立（一）例1.3-1 系统方块图如下，输入(shr)为u，输出为y，试求其状态空间表达式例题(lt) 1.3-1 【解答】求解步骤：1 选择状态变量2 列写状态方程3 列写输出方程4 写成状态空间表达式第第17页页/共共88页页第16页/共88页第十七页，共88页。1.3 状态空间(kngjin)

12、表达式的建立（一）例1.3-1 系统方块图如下，输入为u，输出(shch)为y，试求其状态空间表达式1 选择(xunz)状态变量每一个方块的后面，除比例环节。2 列写状态方程3 列写输出方程4 列写状态空间形式x3x2x1第第18页页/共共88页页第17页/共88页第十八页，共88页。1.3 状态空间(kngjin)表达式的建立（一）例1.3-2 系统方块图如下，输入为u，输出(shch)为y，试求其状态空间表达式例1.3-3 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态(zhungti)空间表达式第第19页页/共共88页页第18页/共88页第十九页，共88页。1.3 状态(zhungti)

13、空间表达式的建立（一）例1.3-3 系统方块图如下，输入(shr)为u，输出为y，试求其状态空间表达式z-p第第20页页/共共88页页第19页/共88页第二十页，共88页。1.3 状态(zhungti)空间表达式的建立（一）2 从机理特性出发(chf)建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力(rl)等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。弹簧-质量-阻尼器系统电路系统系统第第21页页/共共88页页第20页/共88页第二十一页，共88页。1.3 状态空间

14、(kngjin)表达式的建立（一）例1.3-4 如图1.3-4所示的电路，试以电压u为输出(shch)，以电容C上的电压uc为输出(shch)变量，列写其状态空间表达式CR1R2L1L2图1.3-4 电路系统(xtng)系统(xtng)例题 1.3-4 【解答】1 选择状态变量电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。第第22页页/共共88页页第21页/共88页第二十二页，共88页。1.3 状态空间(kngjin)表达式的建立（一）2 列写状态方程根据(gnj)基尔霍夫定律列写电路方程CR1R2L1L22221121222111

15、110idtduCuiRiRiRdtdiLuiRiRdtdiLcc22222122121211111111iCdtduLuiLRRiLRdtdiuLiLRiLRdtdicc现在(xinzi)令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程1111111112222223301100100RRLLLxxRRRxxuLLLxxC 第第23页页/共共88页页第22页/共88页第二十三页，共88页。1.3 状态空间(kngjin)表达式的建立（一）3 列写输出(shch)方程CR1R2L1L2由于前面(qin mian)已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为32110

16、0 xxxy4 整理成状态空间表达式11111112222011,0,1 0 00100RRLLLRRRABCLLLC xAxBuyCx第第24页页/共共88页页第23页/共88页第二十四页，共88页。1.3 状态空间(kngjin)表达式的建立（一）例1.3-5 如图1.3-5所示，输入(shr)为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式例题(lt) 1.3-5 【解答】1 选择状态变量选择位移y(t)，速度y(t) 为系统的状态变量。图1.3-5 弹簧-质量-阻尼器系统第第25页页/共共88页页第24页/共88页第二十五页，共88页。1.3 状态(

17、zhungti)空间表达式的建立（一）2 列写状态方程根据牛顿运动学定律(dngl)列写运动方程现在令x1=y，x2=，将上式写成矩阵(j zhn)形式即为状态方程2( )2d ydym+ f+ ky = u tdtdt12211xxkfxxummm 3 列写输出方程1yx 112212010110 xxxukfxxmmmxyx 4 整理成状态空间表达式第第26页页/共共88页页第25页/共88页第二十六页，共88页。 本章(bn zhn)结构 第1章 控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 1.4 状

18、态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论(xln)第第27页页/共共88页页第26页/共88页第二十七页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二） 在经典控制理论中，系统的模型采用(ciyng)微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种问题称为实现问题。（1）能控标准型（2）能观标准型（3）对角标准型（4）Jordan（约旦）标准型第第28页页/共

19、共88页页第27页/共88页第二十八页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）1 能控标准型考虑由下式定义(dngy)的系统（单变量线性定常， ）( )(1)()(1)110110nnmmnmmyaya ya yb ububub unm(1) m=01101110( )( )( )mmmmnnnb sb sbsbY sW sU ssasa sa系统(xtng)的传递函数为：系统的传递函数为：01110( )( )( )nnnbY sW sU ssasa sa第第29页页/共共88页页第28页/共88页第二十九页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二

20、）1 能控标准型(1) m=0系统模拟结构图为：系统(xtng)状态方程为：122310 1121 nnnnnxxxxxxxa xa xaux 0 1yb x输出(shch)方程为：第第30页页/共共88页页第29页/共88页第三十页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）1 能控标准型(1) m=0系统状态(zhungti)空间表达式为：第第31页页/共共88页页第30页/共88页第三十一页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）例1.4-1 系统(xtng)的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程64176yyyyu2106,41,7,6a

21、aab例题(lt) 1.4-1 【解答】1 直接按能控标准型列写0120100100001001,074161600 ,0AbaaaCD 第第32页页/共共88页页第31页/共88页第三十二页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2) m01101110( )( )( )mmmmnnnb sb sbsbY sW sU ssasa sa系统(xtng)的传递函数为：设待实现(shxin)系统的传递函数为：32321032210( )( )( )b sb sbsbY sW sU ssa sa sa第第33页页/共共88页页第32页/共88页第三十三页，共8

22、8页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2) m0第第34页页/共共88页页第33页/共88页第三十四页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）1 能控标准型(2) m0第第35页页/共共88页页第34页/共88页第三十五页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）1 能控标准型(2) m0推广(tugung)到n阶，状态空间表达式为：第第36页页/共共88页页第35页/共88页第三十六页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）2 能观标准型01110( )( )( )nnnbY sW sU

23、ssasa sa001210001000010,000100010ooonabaAabca第第37页页/共共88页页第36页/共88页第三十七页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）例1.4-2 系统的输入输出微分方程(wi fn fn chn)为：列写其状态方程和输出方程2102104,2,1,113aaabbb,例题(lt) 1.4-2 【解答】1 直接按能控标准型列写 01200211 22220100100001001,01241113 ,0AbaaaCba bbabba bD uuuyyyy324 第第38页页/共共88页页第37页/共88页第三十八页，共88

24、页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）3 对角(du jio)标准型当系统(xtng)的传递函数如下表示时：110121212( )( )( )()()()mmmmnnonb sb sbsbY sW sU sspspspcccbmnspspsp 考虑分母多项式中只含相异根的情况。11112222121 11nnnnonxxcpxpxcupxxcxxyb ux第第39页页/共共88页页第38页/共88页第三十九页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）3 对角(du jio)标准型11221( )( )1( )( )1( )( )nnX sU sspXsU

25、 sspXsU ssp111222( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnsX sp X sU ssXsp XsU ssXsp XsU s 11 1222nnnxp xuxp xuxp xu 1 122nnyc xc xc x1110101nnnxpxuxpx 11nnxyccx状态变量的拉普拉斯变换(binhun)为第第40页页/共共88页页第39页/共88页第四十页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）4 约旦(yu dn)标准型当系统的传递函数如下(rxi)表示时：311103145124032114( )( )( )() ()()()()(

26、)()mmmmnnnb sb sbsbY sW sU sspspspspcccccbmnspspspspsp 考虑分母多项式中含有重根的情况。第第41页页/共共88页页第40页/共88页第四十一页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）4 约旦(yu dn)标准型11122133144412100000100000110001000nnnxxpxxpxxppxxpxxyc cc 12nonxxb ux第第42页页/共共88页页第41页/共88页第四十二页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）4 约旦(yu dn)标准型设n阶系统(xtng)只有

27、一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为111121111( )G( )( )()()nnnkkkY ssU sssssss111111lim ( )() (1, )(1)!iniissdkG s ssinids其中，1121111( )( )()1( )( )()1( )( )()nnnX sU sssXsU sssXsU sss设状态变量为：12123111( )( )()1( )( )()1( )( )nX sXsssXsXsssXsU sss第第43页页/共共88页页第42页/共88页第四十三页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）4 约旦(yu

28、dn)标准型11 1221231111nnnnnxs xxxs xxxs xxxs xu11112211000010000011000nnsxxsxxuxxs 第第44页页/共共88页页第43页/共88页第四十四页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）例1.4-3 系统的输入输出传递函数为：列写其对角(du jio)标准型状态方程和输出方程6512)(G22sssss例题 1.4-3 【解答】1 化为真有理式1223535G( )11156(2)(3)23ccsssssssss 12(35)lim(2)1(2)(3)sscsss23(35)lim(3)4(2)(3)

29、sscsss第第45页页/共共88页页第44页/共88页第四十五页，共88页。1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二）2 列写对角(du jio)标准型2353514G( )11156(2)(3)23sssssssss 11221220103114xxuxxxyux 1122122010341 1xxuxxxyux第第46页页/共共88页页第45页/共88页第四十六页，共88页。1.4 状态(zhungti)空间表达式的建立（二）例1.4-4 系统的输入输出(shch)传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出(shch)方程233)()(2ssssUsY112212(

30、)( )010( )( )23( )1( )( )3 1( )x tx tu tx tx tx ty tx t )()( 10)()(13)()(3120)()(212121txtxtytutxtxtxtx)()( 12)()(11)()(2001)()(212121txtxtytutxtxtxtx能控标准型对角标准型能观标准型第第47页页/共共88页页第46页/共88页第四十七页，共88页。 本章结构 第1章 控制系统的状态空间(kngjin)表达式 1.1 状态变量及状态空间(kngjin)表达式 1.2 状态空间(kngjin)表达式的模拟结构图 1.3 状态空间(kngjin)表达式的

31、建立（一） 1.4 状态空间(kngjin)表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间(kngjin)表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间(kngjin)表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间(kngjin)表达式绪论(xln)第第48页页/共共88页页第47页/共88页第四十八页，共88页。1.5 状态变量的线性变换1 线性变换的概念(ginin)如前所述，一个(y )n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。（1）定义：状态 x与z的变换(binhun)，称为状态的线性变换(binhun) 由

32、于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换(binhun)的实质就是状态空间基底（坐标）的变换(binhun)。线性变换(binhun)关系为：1xTzzTx或注：T为非奇异矩阵第第49页页/共共88页页第48页/共88页第四十九页，共88页。1.5 状态变量的线性变换1 线性变换的概念(ginin)（2）基本(jbn)关系式：设一个n阶系统 ，状态矢量为x,其状态空间表达式为 xAxBuyCxDu现取线性变换为 ,其中: 是 阶非奇异(qy)阵。代入上述表达式，得xTzn nT第第50页页/共共88页页第49页/共88页第五十页，共88页。1.5 状态变量的线性变换例1.5-1 第第5

33、1页页/共共88页页第50页/共88页第五十一页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第52页页/共共88页页第51页/共88页第五十二页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第53页页/共共88页页第52页/共88页第五十三页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第54页页/共共88页页第53页/共88页第五十四页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第55页页/共共88页页第54页/共88页第五十五页，共88页。1.5 状态变量的线性变换2 系统(xtng)特征值的不变性及系统(xtng)的不变量（1）系统(xtng)的特征值：对于线性定常系统(xtng)，系统(xtng)的特征值

34、是一个重要的概念，它决定了系统(xtng)的基本特性。xAxBuyCxDu对于(duy)系统：系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程为：0IA系统的特征多项式为：( )fIA ijaA111221nnnnnIAaaaA 若：第第56页页/共共88页页第55页/共88页第五十六页，共88页。1.5 状态变量的线性变换2 系统(xtng)特征值的不变性及系统(xtng)的不变量（2）系统(xtng)不变性与特征值的不变性尽管 与 形式不同，但实际(shj)是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。0IA10ITAT第第57页页/共共88页页第56页/共88页第五十七页，共88页。

35、1.5 状态变量的线性变换2 系统(xtng)特征值的不变性及系统(xtng)的不变量（3）特征值向量(xingling)（矢量）例1.5-2 第第58页页/共共88页页第57页/共88页第五十八页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第59页页/共共88页页第58页/共88页第五十九页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第60页页/共共88页页第59页/共88页第六十页，共88页。1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换(binhun)成约旦标准型约旦标准型包括两种情况，一种(y zhn)是对角型，一种(y zhn)是标准型。xAxBuyCxDu对于(duy)系统：11zTAT

36、zT BuyCTzDu J12nJ1111111qqJA特征值无重根A特征值有重根第第61页页/共共88页页第60页/共88页第六十一页，共88页。1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换(binhun)成约旦标准型（1）A特征值无重根xAxBuyCxDu步骤(bzhu)1 求A的特征值2 求特征值对应(duyng)的特征向量12,n 12,nP PP3 定义转化矩阵为：12,nTP PP4 求新的状态表达式11zTATzT BuyCTzDu 0IAiiiAPP第第62页页/共共88页页第61页/共88页第六十二页，共88页。1.5 状态变量的线性变换例1.5-3 解答(jid)例1.

37、5-3 将下面(xi mian)系统化为对角标准型211101020213xxu 1 求A的特征值211010(2 (1)(1)0021IA）1232,1,1 得到：第第63页页/共共88页页第62页/共88页第六十三页，共88页。1.5 状态变量的线性变换2 求特征值对应的特征向量当 时12111213011003000210ppp 11()0IA P由 1111213100pPpp 同理： 2122223101pPpp 3133233011pPpp3 定义转化矩阵为：12,nTP PP110001011T1111011010T第第64页页/共共88页页第63页/共88页第六十四页，共88页

38、。1.5 状态变量的线性变换4 求新的状态(zhungti)表达式112002010 ,50012TATT B 11zTATzT Bu第第65页页/共共88页页第64页/共88页第六十五页，共88页。1.5 状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换(binhun)成约旦标准型（2）A特征值有重根步骤(bzhu)1 求A的特征值2 求特征值对应(duyng)的特征向量111,qnqn q 个11,qqnn qqPP PP 个3 定义转化矩阵为：11,qqnTPP PP4 求新的状态表达式11zTATzT BuyCTzDu 第第66页页/共共88页页第65页/共88页第六十六页，共88页。1.5

39、状态变量的线性变换例1.5-4 第第67页页/共共88页页第66页/共88页第六十七页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第68页页/共共88页页第67页/共88页第六十八页，共88页。1.5 状态变量的线性变换第第69页页/共共88页页第68页/共88页第六十九页，共88页。1.5 状态变量的线性变换1TAT第第70页页/共共88页页第69页/共88页第七十页，共88页。1.5 状态变量的线性变换例1.5-3 解答(jid)例1.5-5 将A化为对角(du jio)标准型101010002A2101010(1) (2)0002IA231,21111,21121310011,()00000

40、01PIA PPP对于由1121311121311121310000000000PPPPPPPPP12100 ,100PP 线性无关(wgun)的两个向量第第71页页/共共88页页第70页/共88页第七十一页，共88页。1.5 状态变量的线性变换32对于33()0IA P3101P101010001T求的：1100010002ATAT对角形注1.5-1： A有重特征值，但A仍有n个独立(dl)的特征向量注1.5-2： A有重特征值，但A的独立(dl)特征矢量个数小于系统的阶数n第第72页页/共共88页页第71页/共88页第七十二页，共88页。1.5 状态变量的线性变换3 状态(zhungti)

41、空间表达式变换成约旦标准型（3）A为能控标准型012101000010nAaaaa A的特征值无重根时 Vandermonde范德蒙德矩阵(j zhn)第第73页页/共共88页页第72页/共88页第七十三页，共88页。1.5 状态变量的线性变换3 状态空间(kngjin)表达式变换成约旦标准型 A的特征值有重根时 以有三重(sn zhn)根为例A的特征值有共轭复根(f n)时第第74页页/共共88页页第73页/共88页第七十四页，共88页。1.5 状态变量的线性变换例1.5-3 解答(jid)例1.5-6 将A化为约旦(yu dn)标准型331100010A3) 1(3311001AI1211

42、1001001011021121T 1100010100110110001110011121133121001JTAT第第75页页/共共88页页第74页/共88页第七十五页，共88页。 本章结构 第1章 控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟(mn)结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论(xln)第第76页页/共共88页页第75页/共88页第七十六页，共8

43、8页。1.6 从状态(zhungti)空间表达式求传递函数1 传递函数 在经典理论中，我们常用传递函数来表示SISO线性定常系统输入输出间的传递特性。 其定义(dngy)是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比( )( )( )Y sG sU sxAxBuyCxDu第第77页页/共共88页页第76页/共88页第七十七页，共88页。1.6 从状态(zhungti)空间表达式求传递函数1 传递函数使用(shyng)Laplace变换，并假设初始条件为零xAxBuyCxDu1( )()( )( )( )( )X ssIABU sY sCX sDU s故U-X间的传递函数为：故U-Y间的传递函数为：1( )( )()( )uxX sWssIABU s1( )( )()( )uyY sWsC sIABDU s第第78页页/共共88页页第77页/共88页第七十八页，共88页。1.6 从状态(zhungti)空间表达式求传递函数1 传递函数对于双输入双输出系统(xtng)(见下图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出1u2u11( )Gs21( )Gs12( )Gs22( )Gs1y2y1