第三讲基本不等式、解不等式(教师)

1、第三讲：基本不等式、解不等式知识点回顾1基本不等式一：a2b2_2ab,(a,bR),当且仅当a=b,等号成立；适用范围：基本不等式二：_.ab,(abR当且仅当a二b时，等号成立2适用范围：基本不等式一二的变形：abm-_b<-L,a,bR，当且仅当a=b时，等号成立。I2丿2适用范围：基本不等式二的推广：a“a2'an如果ai,a2J|,aR,有->n-i-2a*成立，当且仅当ai二a?二a*时，“=n成立。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数叫做这n个正数的算术平均数;2、解不等式(1) 一元二次不等式的解法：回顾(2) 分式不等式的解法把分式不等式转

2、化为整式不等式来解，对于高次的不等式学会用标根法解分式不等式。na1a_an叫做这n个正数的几何平均数;f(x)0(或:0)=f(x)g(x)0(或:0)；g(x)f(x)(或)f(x)g(x)0(or乞0)0(或一0)g(x)g(x)=0(3)绝对值不等式的解法(1)|x|：a,(a0)=a：x：a;|x|a,(a0)：=xaorxa。(2)|f(x)|：a,(a0)：=a：f(x)：a;|f(x)|a,(a0)：=f(x)-aorf(x)a。(3)f(x)-0f(x):0«or<f(x)g(x)-f(x)g(x)22(4)|f(x)|g(x)|=f(x)g(x)。典型例题例

3、1、已知实数a,b，判断下列不等式中哪些是一定正确的?(1)八ab;错(2)a2b2_-2ab;对(3)a2bab;对(4)a-_2;错。2a2、若a：>1,b:>1,且a，贝Va+b、2ab、2jab、a2+b2的大小顺序为a2+b2>2abaa十b>2jOb。例、（1）已知ab=4,则（4a）b为（c）(A)最大值为128(B)(2)设a,b,cR,1最小值为一256（C）最大值为256(D)无最值1求证：&-討b）;2求证：a2b2、b2c2、c2a2亠；：2(abc)2|2|22_证：1/a_(ab)2_0、ab_|ab|_旦b.、a2b22(ab)2同

4、理:22丫2222b2c22(bc),c2a22(ca)22例、若xR,则2x23x8的取值范围是（-：，-5U11,：）。三式相加：、a2b2.b2c2c2a2_、2(abc)例、求函数y=2x2，3,（x0）的最小值，下列解法是否正确？为什么?x解一：y=2x2+3=2x2+丄+?A32x2丄=34xxx-ymin=3423=26X当2x2x解二：y=2x23一2.2x23xym，26；2331"26324答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到=”，即不存在x使得2x2错在2、6x不是定值（常数）正确的解法是：y=2x?3=2x3x2x-332x232x2x2x当且仅当2x即x

5、=时ymin2x21例、若a0,b0，则a1的最小值为b(ab)11分析：a冇七旳b时一31当且仅当川厂时'即一2且心时等号成立。思考：若a0,b0，则2a1的最小值为334。b(a_b)3a+11例、(1)在平面直角坐标系中，若点(2a-1,)在第二象限，贝Ua的取值范围是(-：，-a13例、解不等式(1)1：|2x1止3；(2)|x-11|x3|；(3)(1x)(1-|x-2|).0；(4)|x-x2-2|x2-3x-4。解：1)-2,-1)U(0,1；(2)(：，-1)；x-2_0(3)or、(1+x)(3-x)>01(1+x)(x-1)a0即x1or1：x:3;x-2：0

6、=2<x3orx1or1：x：21x0也可=0宀"J|x_2|>0I1_|x_2|c0若关于x的不等式|x2|x-1p：a的解集为-，求实数a的取值范围。解：/*利用|x-刈的几何意义*/|x-2)|x-1|的最小值为3,所以a乞3.例、若不等式5X7|x1|和ax2bx-20的解集相同，求实数a,b的值。加X+仁0x+*0解：5x>7|x+1|=org5x>7(x+1)0x7(x+1)1、解得，2cx£，即ax?+bx2>0的解集二ax?十bx2=0的4实根为2,1,a=/,b=9,经检验，4x29x-20的解集为(-2,-丄)442a例、解

7、关于x的不等式a1,（1）当a的值分别为0,2,一2时，求不等式的解集；（2）讨论当aR时,xa不等式的解集。解：1当a二0时，不等式为0-1,解集为'；当a=2时，不等式为1,解集为（2,6）;x-2当a=-2时，不等式为二1,解集为（-6,-2）;x+2二匕3：0=（x-a）（x-3a）：0为关于x的一元二次不等式且x2的系数为1，xa方程对应的两根为a、3a,解集为两根之间当a0时，不等式的解集为（a,3a）;当a=0时，不等式的解集为；当a：0时,不等式的解集为（3a,a）.课后巩固11、（1）若x1，则x的最小值为3。x_1一1变形：当x1，不等式X，_a恒成立，则实数a的取

8、值范围是（_：,3。x-1222、若实数x,y满足xy=4，则xy的最大值为2_。（2）分析：2x7=x2时，“=”成立。x+y=4=83、（1）当x0时，2x的取值范围为8,=：）；x8（2）当x_3时，2x的最小值为8；是否正确？x8（3）若x：0，则2x的取值范围为（：，£；x典型错误：（1）2x0,-O2x80,取值范围是（0,7）；xx同学小明有如下推论:已知xR,有x4_2,X4=4即:x4_4（1）,同理x-_2（2）xVxxx4-5如：（1）（2）叠加得：xx6即2x6xxx.当X0时,2x5的取值范围是6,：）.x问：小明的推论是否正确？解：x4_4（当x=2时等号

9、成立）xx-_2（当x=1时等号成立）x41.x+x-丄6中等号不成立xx注意：利用基本不等式求范围或求最值时，一定要判断“=”是否成立！114、已知正数x,y满足x3y=1,求的最小值。xy解l3=42J3,xyxyxy当且仅当x=-J,y=33时,-丄取最小值为4.3=26xy222222224、已知a、b、c、dR,求证：-a-b-c-d-2ab2cd_abcd。2(x2y)2(y丄）2的最小值为4。2x分析：原式=x+y*2丄1川4x2>1,2,-yx4二(X+/24x)+(+')+(yx421x4x2当且仅当，丿yx12/2=yMy5、若x,y是正数，则2y二4y?y2

10、1L；V(x2)($)y2)x4xA2)；V24xyx4yiy2-12汀y)-4(1)二y2,即x二y时,1）中"二"成立。36、“x3”是“T的x条件7、x2-4x30，集合B=xIX-223x+7x14,砂、r.不等式22的解集为x+3x49、不等式乜x5）（x-2）：0的解集为(x-3)(x4)10、设集合A=x|x_a|<2,B=2x1xx21。若AB，求实数a的取值范围。xa-2exca+2解：|x-a|：2：=a-2：x：a2.A:石2x-12x-1x-3由11：00x2x2x2a-2-2-pBx-2：x：3,于是0乞a叨Ia+2兰3211、解关于x的不等式：ax-（a1）xV：0。分析：对于实数a,要按照a=0分区间讨论；当a=0W