第7章第5节简单几何体的面积与体积

1、20092013年高考真题备选题库第7章立体几何第5节简单几何体的面积与体积考点柱、锥、台、球的表面积与体积1.（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB丄AC,AA1=12,则球O的半径为（）A.3B.210C.132D.310解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为1 51BC的中点M.又AM=尹C=2,OM=2AA1=6,所以球O的半径R2+62=132-=OA=5-2答案：C9n2. （2

2、013天津，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.解析：本题主要考查球的体积、正方体与其外接球的关系，意在考查考生的空间想象能9n49n力.设正方体的棱长为x,其外接球的半径为R,则由球的体积为罗，得舟共=罗，解得r=2由2R=3x，得x=2R='3.答案：33. （2013新课标全国I,5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB丄平面a,H为垂足，a截球O所得截面的面积为n则球O的表面积为.解析：本题主要考查球及其组合体的基本知识如图，设截面小圆的半径为r，球的半1径为R,因为AH:HB=12,所以OH=§R.由勾股定

3、理，有R2=r2+OH2,又由题意得n2=n199n则r=1,故R2=1+3R2，即R2=8.由球的表面积公式，得S=4tR2=y.答案：字4. (2013江苏，5分)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为W,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1:V2=.解析：本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力.-1111设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S,贝UV1="3X：S2h=Sh1=24V2,即卩V1V2=124.答案：1:245. (2013新课标全国I,12分)

4、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，广门CA=CB,AB=AA1,ZBAA1=60°(1) 证明：AB丄A1C;f料(2) 若AB=CB=2,A1C=,6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.解：本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力.(1) 证明：取AB的中点0,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC1AB.由于AB=AA1，/BAA1=60°故AAAB为等边三角形，所以OA11AB.因为OCnOA1=O,所以AB丄平面OA1C.又A1C?平面OAQ，故AB1A1C.由题设知ABC与AAiB都是边长为2的等边三角形，所以0

5、C=OAi=,3.又AiC=.6,贝UAiC2=0C2+OA2,故OAiJOC.因为OCnAB=O,所以OAi丄平面ABC,OAi为三棱柱ABC-AiBiCi的高.又ABC的面积Szabc=.3,故三棱柱ABC-AiBiCi的体积V=S/abcXOAi=3.6. (20i3安徽,i2分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，/BAD=60°已知PB=PD=2,FA=6.(1) 证明：FC丄BD;(2) 若E为FA的中点，求三棱锥F-BCE的体积.解：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算

6、求解能力.(i)证明：连接AC,交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC1BD,BO=DO.由PB=PD知，POJBD.再由POnAC=O知，BD丄面APC,又PC?平面PAC,因此BD_LPC.ii因为E是PA的中点，所以Vp-bce=Vc-peb=Vc-fab=Vb-apc.由PB=PD=AB=AD=2知，ABD也ZPBD.因为/BAD=60°所以PO=AO=3,AC=2,3,BO=i.又PA=.6,PO2+AO2=PA2,即卩PO1AC，故Siapc=?POAC=3.iiii由知，BO丄平面APC，因此Vp-bce=Vb-apc=3BOSpc=.7. (20i3

7、福建,i2分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,AB/DC,AB丄AD,BC=5,DC=3,AD=4,/FAD=60°uuur(i)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程);(2) 若M为PA的中点，求证：DM/平面PBC;(3) 求三棱锥D-PBC的体积.解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.法一：在梯形ABCD中，过点C作CEAAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE=CD=

8、3,在RtABEC中，由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3，从而AB=6.又由PD丄平面ABCD得，PDJAD,从而在RtDA中，由AD=4,/PAD=60°得PD=4,3正视图如图所示：证明：取PB中点N，连接MN,CN.在AFAB中，TM是PA中点，1MNAB,MN=2AB=3.又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,四边形MNCD为平行四边形，DMCN.DM?平面PBC,CN?平面PBC,DM/平面PBC.1(3)Vd-pbc=Vp-dbc=3S/DBCPD,又Szdbc=6,PD=4,3,所以Vd-pbc=8；3.法二：同法一.证明：取AB的中点E,连接ME,DE.

9、在梯形ABCD中，BE/CD，且BE=CD,四边形BCDE为平行四边形，'DE/BC.DE?平面PBC,BC?平面PBC,DE/平面PBC.在ZPAB中，ME/PB,ME?平面PBC,PB?平面PBC,.ME/平面PBC.DEnME=E,平面DME/平面PBC.DM?平面DME,DM/平面PBC.(3) 同法&(2013湖北,13分)如图，某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到Ai处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=di.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,CiC2=d3,且di<

10、;d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中.(1) 证明：中截面DEFG是梯形；(2) 在厶ABC中，记BC=a,BC边上的高为h,面积为S在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估=S中h来估算.已知1V=3(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系，并加以证明.解：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.证明：依题意A1A2丄平面ABC,B1B2丄平面

11、ABC,C1C2丄平面ABC,所以A1A2/B1B2/C1C2.又AiA2=di,BiB2=d2,CiC2=d3,且di<d2<d3.因此四边形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形.由AA2/平面MEFN,AA2?平面AA2B2B，且平面AA2B2BQ平面MEFN=ME，可得AA2/ME，即A1A2/DE.同理可证A1A2/FG，所以DE/FG.又M,N分别为AB,AC的中点，贝UD,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.1111因此DE=2(A1A2+B1B2)=尹1+d2),FG=-

12、(A1A2+C1C2)=q(d1+d3),而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.证明如下：由A1A2丄平面ABC,MN?平面ABC，可得A1A2丄MN.而EM/A1A2,所以EMJMN，同理可得FNJMN.11由MN是ABC的中位线，可得MN=尹C=尹，即为梯形DEFG的高，aa=8(2d1+d2+d3),小小1d1+d2d1+d3因此S中=S梯形DEFG=+2 22即V估=S中=Oh(2d1+d2+d3).811ah又S=ah,所以V=3©+d2+d3)S="6©+d2+d3).于是ahahahVV估

13、=(d1+d2+d3)§(2d1+d2+d3)=24(d2-d1)+(d3-d1).由d1<d2<d3，得d2d1>0,d3d1>0，故V估<V.9. （2012新课标全国，5分）平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为,2，则此球的体积为（）A.=6nB.4!3nC.4.6nD.63n解析：设球的半径为R,由球的截面性质得R=.'22+12=3,所以球的体积V=fnR3=4j3n.答案：B10. (2012山东，4分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为.解析：三棱锥A

14、DED1的体积等于三棱锥EDD1A的体积，即111-DED1=VE-DD1A=3x2xx1X1=6.1答案：1611.(2012辽宁，5分)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点，PA丄平面ABCD,四边形ABCD是边长为2西的正方形.若FA=2托，则厶OAB的面积为.解析：把球O的内接四棱锥还原为长方体，则球O的直径为长方体的体对角线，则(2R)答案：113. (2012新课标全国，12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，1侧棱垂直底面，/ACB=90°AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1) 证明：平面BDC1丄平面BDC;(2) 平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部

15、分体积的比.解:(1)证明：由题设知BCICC1,BC1AC,CC1AAC=C,所以=(23)2+(23)2+(26)2,可得R2=12.OAB中，设AB边上的高为h,则h2=R2(.3)2=9，则h=3,所以Szoab=2羽X3=3羽.答案：3312. (2011新课标全国，5分)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周3都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的老，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.3解析：设球心为。1，半径为门，圆锥底面圆圆心为O2，半径为2,则有16X4n2=nr2,即2=于门，所以01。2="r1r2=2,设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2,h1r12则f=