二、第二类换元法

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四四章 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有目录 上页 下页 返回 结束 一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法配元法即xxxfd)()(, 凑

2、微分法凑微分法)目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当1m时bxaxdCbxaaln1注意换回原变量目录 上页 下页 返回 结束 221d1( )xaxa例例2. 求.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan( )xa目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2d1 ( )xa

3、xa)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2d( )1 ( )xaxaCax arcsin22dxax目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似目录 上页 下页 返回 结束 Caxaxaln21例例5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(d a21ax lnax lnCaxax)( d目录 上页 下页 返回 结束 常用的几

4、种配元形式常用的几种配元形式: 1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxx x )(cosxfxcosd目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln xfxlnd例例6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx

5、ln21ln21目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求.de3xxx解解: 原式 =xxde23)3d(e323xxCx3e32例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1 (xdxxe1)e1 (dxCx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1 (dCx)e1ln()1(elne)e1ln(xxx两法结果一样两法结果一样目录 上页 下页 返回 结束 x

6、xxsindsin11sin1121例例10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21目录 上页 下页 返回 结束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P199 例18 )目录 上页 下页 返回 结束 222d)(2123xax例例11. 求.d)(23223xaxx

7、解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC目录 上页 下页 返回 结束 )2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求.d3cossi

8、n22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C目录 上页 下页 返回 结束 xxxxe11e1xxxxxdedexxxde) 1(例例14. 求.d)e1 (1xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)e1 () 1(xexe)e1 (e1xxxx)e(d)e11e1(xxxxxx)e1 (ee

9、e1xxxxxxxx)e(dxxxxelnxxe1lnCCxxxxe1lnln分析分析: 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf目录 上页 下页 返回 结束 小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos

10、1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx目录 上页 下页 返回 结束 xxxd) 1(1102. 求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10

11、xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(目录 上页 下页 返回 结束 CxF)()()()(ttft定理定理2 . 设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函

12、数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式目录 上页 下页 返回 结束 例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2ax22axa21cos2d2tat目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求. )0(d22aa

13、xx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C目录 上页 下页 返回 结束 例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa目录 上页 下页 返回

14、结束 ,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1. 被积函数含有时，或2222axax 除采用三角1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考 P204 P205 )taxch或代换外, 还可利用公式2eeshxxxCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2eechxxx2. 再补充两个常用双曲函数积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 原式21) 1(22t

15、a221a例例19. 求.d422xxxa解解: 令,1tx 则txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当x42112tta Cata2223) 1(23当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()322xxaxf令taxsin或taxcos,d),()422xxaxf令taxtan或taxsh,d),()522xaxxf令taxsec或ta

16、xch第四节讲目录 上页 下页 返回 结束 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充 (P205 P206)7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6xafx令xat 目录 上页 下页 返回 结束 xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln目录 上页 下页 返回 结束

17、.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P206 公式 (20) )例例20. 求例例21. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P206 公式 (23) )目录 上页 下页 返回 结束 例例22. 求.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x(P206 公式 (22) )2521xCx512arcsin例例23. 求.1ed2xx解解: 原式xx2e1edCxarcsine(P206 公式 (22) )目录 上页 下页 返回 结束 例例24. 求.d222 axxx解解: 令1,t

18、x 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222目录 上页 下页 返回 结束 ttttd)1(12132例例25. 求.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112例例16tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xxe1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xte1令xt1目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导, 得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) 目录 上页 下页 返