软饮料销售价格的确定

1、 软饮料销售价格的确定的建模问题 一：问题摘要：在我们的社会生活中，销售价格与销售量之间的关系比比皆是，它蕴含了我们建模中的一类大问题，即最优解问题。在本模型中所提出的问题为1. 在每一种可能的价格下，确定每周的销售量，则需要建立价格和销量的函数关系式，用表中数据则可以大致的确定该函数关系式。2. 确定最优价格，即最优解问题，以生产总利润为目标函数建立一个模型，以价格为自变量，总利润为因变量，应用微分的知识进行最优值得求解。3. 在数据处理上，不同的处理方式，造成的结果会有所偏差。二：关键词：销售量 销售价格, 利润 销售价格曲线 最优化价格三：问题重述：一家公司在22个近似相等大小的城市尝试

2、销售一种新的软饮料，销售价格以及在这些城市中每周的销量如表所示：表一：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）城市销售价格销售|周城市销售价格销售|周13.543980122.94600024.802200136.54119035.701850145.70196042.706100154.74276054.742100163.90433065.941700172.70696075.402000183.60416083.904200195.34199094.742440204.742860104.143300215.941920114.742300225.102150问题：1：某公司想要找出

3、理想的销售价格曲线，即在每一种可能的价格下，每周的销量是多少？2：在研究了试销结果后，公司将设置一个全国统一的销售价。已知每件产品的成本是1.38元，公司定价是多少时，使公司获得的利润达到最大。3：对你的计算结果做可靠性分析。三：问题假设：1.在销售过程中，销售量和价格之间的函数关系表达式基本不变2.销售量与销售价格之间满足二次函数的函数关系3. 销售价格与城市无关 4.销售价格不受季节，时间的限制。 四符号表示：X：销售价格；Y：每周的销量；P：利润；五问题解答：（1）将题目中的数据汇总，利用excel工具做成如下图所示的曲线：假设对数据不进行任何的变动 销售量与销售价格满足的函数关系式为y

4、 = 353.75x2 - 4556.4x + 16212自变量x的取值范围为 将题目中的数据按价格递增顺序进行汇总，得到如下的图表：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）销售价格销售量/周销售价格销售量/周销售价格销售量/周2.7069604.7428605.4020002.7061004.7427605.7019602.9460004.7424405.7020003.5439804.7423005.9419603.6041604.7421005.9417003.9043304.8022006.5411903.9042005.1021504.1433005.341990将表中的数据进行

5、适当的处理，对某些数据进行处理：1 当销售价格为5.94元时，不同城市的销售量不一样，一个为每周销量1960件，另一个为1700件，取其平均值为1830件2 当销售价格为5.70元时，有两个城市的销售量分别为1960件和2000件，平均值为1980件3 当销售价格为4.74元时有五个城市每周的销量分别为2860件，2760件，2440件，2300件，2100件，取其平均值为2492件4 当销售价格为2.70元时，有两个城市每周销量为6960件，6100件取其平均值为6530件。5 当销售价格为3.90元时，有两个城市每周销量为4160件，4330件，取其平均值为4245件。6 其余剩余所有数据

6、基本相吻合，不需要再做处理。对数据进行处理之后，汇总如下：销售价格销量|周销售价格销量|周销售价格销量|周2.7065303.6041604.7424922.9460003.9042454,8022003.5439804.1433005.1021505.3419905.4020005.7019805.9418306.541190将数据用excel工具绘制图表如下：对数据进行处理后得到，销售价格和销售量的函数关系为：y = 345.8x2 - 4477.3x + 15992自变量销售价格的取值范围为：（2）P代表利润； X代表销售价格Y代表每周的销售量P=x(345.8x2 - 4477.3x

7、+ 15992)-1.38(345.8x2 - 4477.3x + 15992)要求利润最大，只需要求p的最大值利用LINGO软件得到Local optimal solution found. Objective value: 9669.402 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 337 Elapsed runtime seconds: 0.78 Model Class: NLP Total variables: 1 Nonlinear variables: 1 Integer

8、variables: 0 Total constraints: 2 Nonlinear constraints: 2 Total nonzeros: 2 Nonlinear nonzeros: 2 Variable Value Reduced Cost X 3.576844 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 9669.402 1.000000 2 0.000000 0.000000最优解为x=3.58即定价为3.58元时，公司的利润最大。（3）根据以上建立的数学模型，可能会存在误差，对数据未进行舍去处理，保留原有所有的数据，只是在销售价格相同的销量进行了取平均的处理，能更好的反应数据的取向，能更好的对销售价格和销售量的关联程度进行很好的反应。在求解过程中，利用求导数的方式，找到最优解，也给我们在以后处理这类建模问题上一个很好的解题思路。六模型评价及改进：1在本次模拟中，我采用的是销售价格与销售量满足二次函数的关系，在图形对比中，可能三次函数也比较符合这组数据。2.在本次模拟中运用微分求导