2020届湖南省邵阳市高三第一次联考试题卷理科数学

1、2020届邵阳市高三第一次联考试题卷数学（理）、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数 z cos3 isin3对应的点位于（A.第一象限B.C.第三象限D. 第四象限解：: 3 57o18 3172o54n, cos3 0sin3 0,此点位于第二象限，故选 B.2.设 a,b ? R ,则“）（2014天津卷改编）A.充分不必要条件.必要不充分条件C.充要条件.既不充分也不必要条件,所以f （x）是R上的增函数,解1 ：设函数f （x）=皿?x2, x 3 0则 f(x)=?-x2,x<0a3

2、> b3 ? a b”的充要条件，故选 C.解2：当ab> 0时，可得a>b与a| a|>b| b|等价.当反之,由 a| a|> b| b| 知 a>0>b,即a>b,故选ab<0 时，可得 a>b 时 a| a|>0> b| b| ； C.3.在uurABC中，ACuu(1,2), AB(4,2),ABC的面积为（.2.5解1:由三角形面积公式的向量式（题根P154)4 2| 5,故选C.解 2: kACA 90°,则 S ABO2.55,故选C.2y的取值范围是（)4.若实数x ,y满足条件0,y 3 0,

3、贝U z2y 0,A . 0,60,4C. 6,+ )D. 4,+ )解：如图，在点（2,1）处时取得最小值4,无最大值,故选 D.2圭视国 龙视限q俯讴图图(一)5. 一个几何体的三视图如图(一)所示，则该几何体的体积为A . 34B . 3C .2解：这是半个圆柱， V 112 2,故选D.26.函数f(x) 1 log2X与g(x) 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是()解：f (x) 1 log2X过定点(1,1)且单调递增，g(x) 2 x1过定点(0,2)且单调递增减，故选 C.7.已知奇函数 f (x)在 R 上是增函数，若 a f(ln), b f(ln 2018) ,

4、cf (e0.5),2019则a, b, c的大小关系为()A. a b cB. b a cC. c b a D.cab105.解：: a f (ln) f(ln 2019), b f(ln 2018) , c f(e . ) f(Je),2019由奇函数f (x)在R上是增函数得c b a,故选C.8 .设m为正整数，(x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a, (x y)2m 1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a =7b,则m =()A. 5B . 6C . 7D . 8解： a = C2m, b=C2m11, -13C2mm=7Cmm11,即 13 (2m),=7 (2m 1),

5、m!m! (m 1)!m!解得m=6,故选B.(2013全国I卷改编)9 .已知点P是直线l : 4x 3y 7 0上的动点，过点 P引圆C:x2 (y 1)2 r2(r 0)的两条切线PM ,PN , M N为切点，当 MPN的最大值为一时，则r的值为()2A .应B .向C. 2 近D . 1解:10.如图，连接 PC ,当PC l时， MPN最大. MPN ,故 MPC , 24| PC | 72r.又. d_L2_7J_ 2,42 ( 3)2. | PC | V2r 2 r 衣，故选 A英国统计学家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论.下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有

6、甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.统计这些被提出上诉案件的终审结果如下表所示（单位：件）：法官甲法官乙终审结果民事庭行政庭合计终审结果民事庭行政庭合计维持29100129维持9020110推翻31821推翻10515合计32118150合计10025125记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为x1, *2和*；记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为y1，y2和y ,解:A-x1y1,x2y2, xyB*-x1C.x1y1,x2y2 , xyD.x129由题意可得法官甲民事庭维持原判的案件率为x1

7、至32的案件率x2100 0.847 ,总体上维持原判的案件率为118y1 , x2y2, x yy1, x2y2, x y0.906 ,行政庭维持原判129x 1500.86 ;11.一 90法官乙民事庭维持原判的案件率为y1 ±010020y2 0.8,总体上维持原判的案件率为25所以 x1y1 , x2y2 , x y ,故选 D.2已知双曲线E ：得 a0.9 ,行政庭维持原判的案件率为1101250.88 .2的右顶点为A ,抛物线C: y2 8ax的焦点为F .则下面说法正确的是（）若在E的渐近线上存在点 P，使得AP FP ,则E的离心率的取值范围是(A- (1,2)

8、B 。苧 C 手，)D- (2,+)解：A(a,0)F(2a,0),双曲线E的渐近线方程为bx ayuurAPFP，,以| AF | a为直径的圆与直线bx ay相切，则12abifb二，则c 3b,平方c 2得 c2 9b222、9(c a )9 皿一，贝U 1<e<83二，故选b.412.在正四棱锥P- ABCDK已知异面直线PB与AD所成的角为60o,给出下面三个命题:P1 ：若AB 2 ,则此四棱锥的侧面积为p2:若E, F分别为PC, AD的中点，则EF /平面 PABP3：若P, A B, C, D都在球O的表面上，则球 O的表面积是四边形 ABC雨积的2 倍.在下列命

9、题中，为真命题的是()A P2 p3B . P1 ( P2)C P1p3D . p2( p3)解：如图.P1 ： S侧4 22 473,故为假命题；4p2 :由平面EFH /平面PAB知EF /平面PAB故为真命题;p3： (g R)2 ("2 R2,解得 R J2,S求 4 R2 8 , Sabcd 22 4 ,故为真命题.二、填空题：本大题有 4个小题，每题5分，满分20分.13.已知为三角形内角，sin cos解 1： sin cos 石sin(45°)二 sin( 45。)275°,-1 cos 2cos150°cos30°解 2： ,

10、 (sin、2cos )1 2sin1cos 一2sincos1.一， sin20,cos0,则(sin2cos )2sincos即得sincos故 cos2(cossin )(cossin )14.已知函数f(x)f (Xi)f (X2)X1X2X3X42x,0 xsin x,2 x2f (X3)2 3 6,x1 x2 x3 x4 22,若存在四个不同的实数4Xi, X2 , X3, X4 满足f (X4),且 Xi2,6 8.X2一个“太极函数”.现有下列说法:对于圆O:x21的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数;函数f (x) sin x1是圆O:x2 (y 1)2 1的一个太

11、极函数;存在圆O,使得f (x)ex 1 乩 人一 ,e1是圆。的一个太极函数;ex 1直线(m 1)x(2 m1)y10所对应的函数一定是2圆 O:(x 2)(y1)2R2(R 0)的太极函数;若函数f (x)kx3kx(k22R)是圆O:x y1的太极函数，则 k ( 2,2).6；。的15 .为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:(i)老年人的人数多于中年人的人数；(ii )中年人的人数多于青年人的人数；(iii)青年人的人数的两倍多于老年人的人数.若青年人的人数为 4,则中年人的人数的最

12、大值为抽取的总人数的最小值为解：当青年人的人数为4时，4,5,6和4,5, 7和4,6, 7均满足题意，则中年人的人数的最大值为抽取的总人数的最小值为5 4 3 12.16 .如图(二)所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼.太极图展现了一种相互转 化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆其中正确的是解：错误，如左下图:yt;y1 x黄，1-1正确,如右中图：点(0,1)均为两曲线的对称中心，且f(x) sinx 1能够将圆一分为二;错误,奇函数 f(x)正确,直线系方程(m 1)x (2m 1)y1 0恒过的定点(2,1)就是圆心，满足题

13、意;正确,奇函数 f (x)kx3kx(k R)中f( 1) 0.则 k2t3kx32ykx2k2t2(1k2)t当k 0时，由即当k(2,2)时,2k2x4 (11 0,1.研究k2t2k4 4k2 0 ,k2)x2 1 0,令 t x2 ,由试根法得(t 1)(k2t2 k2t 1) 0,2k t 1 0 ,当k 0时显然无解;2解得0 k2 4 ,此时也无解,曲线与单位圆仅有两个交点，如左下图：此时满足题意;ex 12 一 , 一 1 关于点(0,0)对称，而其对称中心为间断点，故不存在;ex 1ex 12 时，.一0 xYZ相切，曲线与单位圆有 4个交点，此时不满足题意;2当k24时，

14、曲线与单位圆有 6个交点，如右下图：也不能把圆一分为二.故正确的是.17.解答题：本大题有 6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (10 分) 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且 a sin A csinC J3asinC bsin B .(1)求角B的大小;(2)若 f (x)sinxcosx ,3cos2x的取值范围.解:(1) asin A csin C3a sin Cbsin B,a2 c2 T3ac b2,.22a c22. 22a c bbv3ac , cosB 2ac又 BC (0 , n),b=羡(2) f (x) si

15、n xcosx 33 cos2 x1- 1 cos2x-sin2x 、3 221sin2x 22cos2xsin(2 xy),10分),A5 f(-) sin(A ), . A (0,5-),则 A 2363一1故 sin(A一) ( -,1.321. f(A)取值范围为(_,1218.(12 分)已知正项数列an中，a11, a21 2an冏 3a20 .(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn an是等差数列，且b1 2,4 14,求数列bn的前n项和Sn .解:/八22c,、，(1), an 1 2an 1an 3an 0, (an1 an)(an 1 3an) 0 .an) . a

16、n 1an0 5 an 13an 0 ，an 1C3Cib3a3 5 , d 2，3 1n 1an 2n 1 3n 1 n 1八. a1 , . an 1 33； 5分令 cnbn an,则 Ci Da11 ,c3 cn1 2(n 1) 2n 1,则bnCn Sn blb2b3 L bn(1 3 5 L 2n 1) (1 3 32 L3n 1)n(1 2n 1) 1(1 3n)21 312分3n1n 2219.（12 分）已知菱形 ABCD勺边长为4, AS BD= Q / ABO 60° ,将菱形 ABC评对角线B所起, 使AC= a,得到三棱锥 A BCD如图（三）所示.（1）当

17、a 2J2时，求证：AOL平面BCD（2）当二面角 A-BD-C的大小为120。时，求直线 AD与平面ABC所成角的正切值.四（三）解:(1)在 4AOC 中，OA= OC= 2, AC= a 272 , . OA2 OC2 AC2, /AOC= 90 ,即 AOL OC AOL BQ 且 A6 BD= O, AOL平面 BCD 4分(2)由(1)知，OCLOD以O为原点，OC OD所在的直线分别为 x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz,则Q0, 0, 0）, B（0,2底,0）,C(2 , 0, 0) , R0, 273, 0).ACL BD COL BD / AO二面角 A- BD

18、-C 的平面角, ，/AOC= 120° .点 A(-1, 0, V3 ),uuu AD(1,2 石超,BauurBC(2,2 60).2x 2,3y 0x 2 . 3y 3z 0r设平面ABC勺法向量为n (x, y, z),r uuu n BC 则 r uurn BA取 x=1,则 y 9, Z 33 , 3rn (1,设直线AD与平面ABC所成的角为sinuuu r|AD n|uuu r|AD|n|413313一cos1013，故tansincos10301012分20. (12 分)半圆O : x22y 1(y0)的直径的两端点为 A(1,0)B(1,0),点P在半圆O及直径

19、AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)得到点Q记点Q的轨迹为曲线 C(1)求曲线C的方程;(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”求曲线C的“直径”.解：(1)设 Qx, y),则 P(x,-),2由题意可知当 P在直径AB上时,显然 y=0(-1< x <1);当P在半圆O上时，x2 (2)221(y 0)所以曲线C的方程为y=0(-1< x<1)或 x22r 1(y 0)(2)设曲线C上两动点G(x, y), H(x0,y0).y2 (x %)2 4(1 x2),显然G, H至少有一点在椭圆上时 GH能取得最大，不妨设 y y

20、0 0,则 |GH |2 (x x。)2 (y y。)2 (x x。)22 (x x°)4(1 x2)C 223x 2x0x x0x0 243(x )3等号成立时:14 2、一，),H (1,0) .33巡4343由两点距离公式可得：|GH |min3故曲线C的“直径”为竽12分21. （12 分）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30 C,则销售5000件；若气温位于25 C, 30C）

21、,则销售3500件；若气温低于25C,则销售 2000件.为制定今年8月份的生产计划，绕计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：气温范围（单位：C）15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.（1）求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望值；（2）设8月份一天销售这种食品的利润为y （单位：元），当8月份这种食品一天生产量n （单位：件）为多少时，y的数学期望值最大，最大值为多少？解：（1）今年8月份这种食品一天的销售量X的可能取值为2000、3500、5000件,4

22、 1436P（X 2000） 0.2, P（X 3500） - 0.4,909021 15P（X 5000） 0.4,90于是X的分布列为：X200035005000P0.20.40.4X 的数学期望为 EX 2000 0.2 3500 0.4 5000 0.4 3800; 5 分(2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑 2000 n 5000 .当3500 n 5000时，若气温不低于 30度，则Y 4 n;若气温位于25, 30),则 Y 3500 4 (n 3500) 3 24500 3n ；若气温低于 25度，则 Y 2000 4 (n 2000) 3 14000 3n ;2211此日EY-4n-(24500 3n)一(14000 3n) 12600-n11900,5555当2000 n 3500时，若气温不低于 25度，则Y 4 n；若气温低于 25 度，则 Y 200