2020届湘赣皖十五校高三下学期第一次联考模拟数学(文)试题(解析版)

1、2020届湘赣皖十五校高三下学期第一次联考模拟数学（文）试题、单选题1 .若i是虚数单位，复数z满足（1-i） z 1 i,则z （）A. 1C. iD. 1 2i【答案】B 一,、,1 i 一、 r【解析】将原式变形为 z ，然后利用复数的除法计算出z即可.1 i【详解】因为z(1 i)2 2i.i.(1 i)(1+ i) 2故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，注意分子分母同乘以分母的共轲复数.2 .若集合A x| 1 x 2, Bx|2x4,则 AB （）A.B. x| 1x 2C.x|0x2D.x 10 x 4【答案】B【解析】先根据指数函数单调性求解

2、出不等式2x 4的解集作为集合 B ,然后根据交集概念求解出A。B.【详解】：2x 4,2x 22, x 2, B x|x 2,；A x| 1 x 2, ApB x| 1x2.故选：B.【点睛】 本题考查集合的交集运算，其中涉及到解指数不等式，难度较易3 .若a, b是任意实数，且a b ,则（）C. lg(a b) 0【答案】D1 一【解析】通过a, b的正负以及大小判断 A, B, C的正确性，利用指数函数 y 的 2单调性判断D.【详解】b若a 0, b 0,则2 1 ,故A错误； a若a b为负数，则y Vb不成立，故B错误；若0 a b 1 ,则lg(a b) 0,故C错误；X, a

3、 , b一，1 11 一 人因为根据f(x) 在R上单调递减，则一一，故D正确，222故选：D.【点睛】本题考查根据已知条件判断不等关系是否正确，其中涉及到利用指数函数单调性比较大小，难度较易.CD ,则直线AC与平面4 .在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖月需.如图，在鳖月需A BCD 中，AB 平面 BCD,且 BD CD,AB BDABD所成角的正切值是()c. 73A.拒B .2【答案】B【解析】根据条件判断出直线AC与平面ABD所成角即为 CAD ,然后根据线段长度即可计算出线面角的正切值 .【详解】因为AB 平面BCD,所以AB CD ,又因为BD CD,ABp|B

4、D B ,所以CD 平面ABD,所以直线AC与平面ABD所成角即为 CAD ,又因为AB BD CD ,所以tan CADCD 2AD 2故选：B.【点睛】本题考查线面垂直关系的判断与证明以及求解线面角的正切值，难度一般.利用几何方法求解线面角的三角函数值时， 首先可考虑根据线面垂直关系作出线面角， 然后再求解相关值.5 .某公司由三个部门组成，总职工人数是2000名，其中部门（一）有职工 800人,部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一.现用分层抽样的方法在全公司抽取60名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（）A. 15B . 16C. 21D . 24【答案】C【解析】根据已知

5、条件先确定出分层抽样的抽样比以及部门（三）的职工人数，然后将部门（三）的职工人数乘以抽样比即可得到结果 6031因为抽样比为：且部门（三）的职工人数为：2000 800 2000 700,20001004所以部门（三）应抽取的职工人数为：700 21 ,100故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的相关计算，难度较易.注意分层抽样的各层的抽样比相同.16 .下列函数中其定义域和值域分别与函数v 2 y 2的定义域和值域相同的是（）y 2 xa. y 3 xB. y lnxC. y 2log2xD. y 2x【答案】C1【解析】先分析出 v 2 Y 2的定义域和值域，然后再逐项判断是否定义域和值域均

6、相 y 2 x同.【详解】1;函数V 2 Y5的定义域为（0,），值域为（0,）, y x xA中y 3x的定义域为R,故不符合；.B中y ln x的值域为r,故不符合;C可化为y x（x 0） , C的定义域和值域都为（0,）,故符合;D中定义域为R ,故不符合.故选：C.【点睛】本题考查函数定义域与值域的判断，难度较易.（1）求解对数函数的定义域时，注意对数式的真数大于零；（2）注意对数运算：alogaNNa 0且a 1, N 07 .已知 tan -2 ,则 sin 2(A.1213【解析】根据同角的三角函数基本关系中的商数关系、平方和关系求解出cos2 ,再根据条件将2sin 2 表本

7、为cos的形式即可求出结果.tan2” cos2,又 sin22cos1,2cos15,sin22sincos4cos2故选：A.本题考查同角的三角函数的基本关系的运用,难度较易.同角的三角函数的两个基本关系：（1）商数关系：sn tan cosk ,k Z ；（2）平方和关系:.22/sin cos 1.8.已知向量 oA (1,1),OB (3,2),（2,3）, AABC的重心为G ,则 AB与AG的夹角的余弦值是（A.210B也10P '10C 10【解析】分别求解出aB和aG的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的夹角公式计算出AB与AG夹角的余弦值【详解】"aB oB

8、 oA2,1 ,BC oC OB如图,1,1 ，AG AB | Ag| | aB| cos , cos3 W10故选：B.【点睛】本题考查坐标形式下向量夹角余弦值的计算,其中涉及到三角形重心的简单应用,难度较易.三角形的重心将所在中线分为2:1的两段.29 .已知直线y X m与圆x22xy2 3 0交于A B两点，且|AB| 272A.1或 3C.【解析】根据圆心到直线的距离半弦长AB、圆的半径构成直角三角形的三边,由此求解m的值.圆的方程可化为:4,圆心是1,0，半径r 2设圆心（1,0）到直线|1|一 ,12, m 1 或3.故选：D.本题考查根据直线与圆相交的弦长求解参数，难度较易.注

9、意直线与圆相交的弦长问题10 .设函数f(x)A. X 1【答案】C中，可根据垂径定理进行分析(圆心到直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形的三 边).1,x 0,x 则满足f(x 2) f (3x)的x的取值范围是()2x,x 0,B.xC.2 x 1 D. 0 x 1f (3x)对应的不等式组，由此求【解析】作出f x的图象，根据图象判断 f (x 2)解出x的取值范围【详解】作出f x的图象如下图:当f (x2)f(3x)时，由函数f(x)的图象可知3x02 3x3x 0或，x 2 0解得：2x1.故选：C.【点睛】本题考查根据分段函数的图象解不等式，主要考查了学生对函数图象的理解，难度

10、一般.11 .在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, A 45,a 4,如果ABC有 两组解，那么b的取值范围是()A. (4,)B. (0,4)C. (472,8)D, (4,472)【答案】D【解析】构造关于A的余弦定理由此得到关于 c的方程组，根据三角形解的个数判断方程组解的个数，由此得到关于 b的不等式组，从而可求 b的取值范围.法一：设b x,则由余弦定理，42 x2 c2 2c x cos45 ,c2 J2x c x2 16 0, .三角形有两组解，"程c2 J2x c x2 16 0有2个不同的正数根，设为 G,c2,(.2x)2 4(x2 16) 0,ci

11、 c2 历 0,4 x 4短，即 4 b 4短；2c1G2 x 16 0,法二：:)ABC有两组解，bsinA a b,所以b 4 b，所以4 b 472 .2故选：D.【点睛】本题考查解三角形问题中根据三角形解的个数求解参数范围，难度一般.此类问题常见解答方法：（1）作图法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）构造一元二次方程，根据方程根的分布进行分析212 .已知双曲线0a是其右支上的两点,2卷1（a 0,b 0）的左、右焦点分别是F1（ 2,0）、 bAf2 3F2B,| Af1| | AB|,则该双曲线的方程是（F2(2,0) ， AB2A- T y2 12B. 2 y2 1【解析】先根

12、据长度关系以及双曲线的定义求解出AF1 , AF2 , BF1 , BF2 ,然后利用AF2F1, BF2F1对应的余弦定理即可求解出22 .a ,b的值，从而双曲线的方程可求设 F2B m,则 AF23m,| AB| 4m,AF1 |AB| 4m,由 |AFJ| AF21 2a 得 m 2a, BF1 4a,设 AEF1由余弦定理可知:(8a)2 42 (6a)2 48a cos (4a)2 42 (2a)2 16a cos 由，得a2 1 ,又a2 b2 c2 4,b2 3,2，双曲线方程为x2 L 1.3故选：D.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，其中涉及到互为邻补角对应的余弦定理以及双

13、曲线的定义，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较难.如果两个角互为邻补角，则两角的余弦值和为零.二、填空题13 .函数f(x) (x 2019) ln x在x 1处的切线方程为 .【答案】2020 x y 2020 0【解析】先求解出 f x ,然后计算出f 1 , f 1 ,再根据点斜式方程求解出切线方程.【详解】1 ,f (x) ln x (x 2019) -, f (1) 2020, f 10,1 xf (x)在 x 1 处的切线方程为：y f (1) 2020( x 1),即 2020 x y 2020故答案为：2020 x y 2020 0.【点睛】本题考查曲线上某点处切线方程的求

14、解，考查学生的基本的理解与计算，难度较易14 .函数 f (x) cosx(sinx 73 cosx) x-,-的单调递增区间为2 21212(填,12 12,12 125,12 12都可以)【解析】先利用二倍角公式以及辅助角公式将f x整理，然后根据单调增区间的求解公式求解出X的取值范围，再根据所给范围进行取舍即可3 1 cos2xsin(2x -)【详解】I -1f(x) sin2x 22k-<2x -2、32,k Z，f （x）的单调递增区间为5,.12 12故答案为:5 甫,一 或12 12512,125上一，,都可以）.12 12本题考查求解正弦型函数在已知区间上的单调区间,难

15、度一般.求解y Asin wx 小的单调增区间，可采用整体替换的方式令2k解出的x的取值范围即为对应的单调增区间15 .设Sn是数列an的前n项和，已知a1 2 ,且点（Sn,an 1）在直线(n N ),则 S5【解析】先根据an 1与Sn的关系求解出an的通项公式，然后即可求解出S5的值.an 1Sn1 ,时,anSn又22 S1 1 3. a3 6,a412包24, S5 a a2 a31，一得an 1故答案为：47.本题考查数列通项求解以及前n项和的计算，难度一般.已知Sn与an的等量关系，可考虑将n替换为n 1得到另一个等式，两等式作差得到an与an 1的关系，从而求解出通项公式.1

16、 一16 .如图，长方体 ABCD ABiCiDi 中，AB BC,BE AB ,点 F 为 AD1中点, 3O为直线DBi与平面EFC的交点，则67DOOB1【解析】作DiCi的六等分点H ,然后根据M ,N,O三点共线以及由平行对应的比列关DO系求解出-的值即可.OBi作DiCi的六等分点'1 DiH BE 'DiF BC设 FH Bi DiDiH iH日H D1cl 6可知FH /CEN,CE BD M连接MN ,则M、N、O三点共线（平面EFC 平面BB1D1D MN）” BM 1DM 31 DM 3, BD 4'过F作FP/ABi交BiDi于P点，-DiN D

17、iH 1111 NP FP 6 2 3,NP 3D1N,DiNDiN1 NB1 7BD1 8D1N 8, B1D1 8DO DM 3 7 6OB1 NB1 4 8 7 .故答案为：.7本题考查根据空间中的位置关系求解线段长度比，对学生在空间中点线面的位置关系的掌握上要求较高，难度较难.注意利用相交线被平行线所截的线段成比例去计算三、解答题17 .某校100位学生第一次月考考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,70), 70,90), 90,110), 110,130),130,150. liff Q.DW-t 0-0IO- 50 70 90 IJQ r$0 成情(1)

18、求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的中位数(中位数的结果精确到 0.1 );(2)求这100名学生的平均成绩.【答案】(1) a 0.0025;中位数为93.3 (2) 96分【解析】(1)根据频率之和为1即可求解出a的值；由中位数对应频率值为0.5,由此列出方程求解出中位数的值；(2)将每组数据的组中值乘以对应频率并相加，由此计算出平均数【详解】(1)；(a 0.02 0.015 0.01 a) 20 1解得 a 0.0025.又设中位数为 x,则有 0.0025 20 0.02 20 (x 90) 0.015 0.5解得x 93.3.(2)设这100名学生的平均

19、成绩是 X贝U x (60 0.002580 0.02100 0.015120 0.01140 0.0025)2096所以这100名学生的平均成绩是 96分.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数以及中位数、平均数，难度较易.（1）频率分布直方图中的参数计算，多数情况是根据频率和为1求解的；（2）频率分布直方图中的中位数计算是根据应频率为 0.5求解的；（3）频率分布直方图中的平均数是将每组数据的组中值乘以对应的频率并相加得到的.18 .已知正数数列 an中，a1 1 ,向量a （an 1 3an,1）,b3,J bb （an 1 an, an 1 3an ）,a b .（1）求数列 an的

20、通项公式；（2）设bn log3an 1,Tn为数列3bn的前n项和，求满足Tn 112的n最小值.n 1【答案】（1） an 3 （2） 6【解析】（1）根据向量垂直对应的数量积为0得到an 1,an之间的关系，由此判断出 an为等比数列，从而通项公式可求；（2）先根据等比数列求和求解出 Tn,然后根据Tn的单调性以及取值情况，分析出 n的 取值范围，从而n的最小值可求.即 (an 1 3al) (an 1an) an 1 3an 0(ani 3an)(an 1 an 1) 0 ,an 1 3an3an数列an是首项为1 ,公比为3的等比数列3n 1(2)b bnlOg3an2,bnn 23

21、n 3Tn3 IIITn随着n的增大而增大,1(1 3n)31 3121 3n16364121.3 1123【点睛】涉及到根据递推公式求解通项公式以及根据数列本题考查向量的数量积与数列的综合，单调性求解参数，属于综合型问题，难度一般19 .如图，在四棱锥 S ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD 60 ,侧面SBC为等边三角形，SD 2.(1)求证：SD BC;(2)求点B到平面ASD的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 72【解析】(1)取BC中点E ,通过线面垂直的判定定理证明BC ±平面SDE ,由此证明线线垂直；(2)先根据已知条件判断出平面 SAD、平面SDE

22、的位置关系，再结合线段长度以及“已知平行于平面的直线上的点到平面的距离相等”求解出B到平面ASD的距离.【详解】(1)证明：设BC边中点是E ,连接DE,SE:'SBC是等边三角形，SE BC又由已知ZXDBC是等边三角形，DE BCBC 平面SDEBC SD.(2)(方法一)* ASBC是边长为2的等边三角形，SE J3,同理DE 芯,取SD的中点P,连接PE,SE DE V3,PE SD 且 pe TSE2PS2 V2，又 E 是 BC 中点， BDE 30 , ADE 90 , AD DE ,又 SD BC,AD/BC, AD SD,且 DESD D, AD 平面 SDE,又因为

23、AD 平面SAD ,所以平面SAD 平面SDE ,又AD /BC, AD 平面SAD , BC 平面SAD ,所以BC/平面SAD ,B到平面SAD的距离等于 E到平面SAD的距离，又“PE SD,平面SAD 平面SDE SD,所以PE 平面SAD,E到平面ASD的距离为PE J2，B到平面ASD的距离为J2 ;（方法二）. SBC是边长为2的等边三角形,SE J3,同理 DE J3,又 SD 2又由（1）知BCL平面SDE,BCD-Sasde BC 32.2VS ABDVs ABCD2VS BCD4,.23又易知四棱锥S BCD是正四面体S在底面BCD上的射影H为&BCD各边中线的交

24、点，且为 & BCD的重心H在AC上由勾股定理，sa .sh2 AH2，222 一又CH -OC -V3 （其中。为AC与BD的交点）， SH -V6 , 333AH 73 -V3, SA 2拒，SD2 AD2 SA2, SD AD , 33-1 ,Szxsad - 2 2 2 .设点B到平面ASD的距离为h 2 *, VS ABD Vb SAD1c,2-,-Sa sadh2,h、2.33故点B到平面ASD的距离为J2.【点睛】本题考查由线面垂直证明线线垂直以及计算点到平面的距离，难度一般.求解点到平面的距离，除了直接作出点在平面内的射影点，根据长度计算对应点到平面的距离，还可以采用间

25、接求解的方法：等体积法.20 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O:x2 y2 4, A(2,0),线段BC的中点是坐1标原点O ,设直线AB,AC的斜率分别为ki,k2,且kik2-.4(1)求B点的轨迹方程；(2)设直线AB,AC分别交圆O于点E、F ,直线EF、BC的斜率分别为Kef、kBc ,c 6 c已知直线EF与x轴交于点D 一,0 .问：是否存在常数 ，使得KbcKef若存5在，求出 的值；若不存在，说明理由.x2c2【答案】(1)土y21(y 0) (2)存在；45【解析】(1)设出B点坐标，根据斜率关系得到关于x,y的等式，由此得到轨迹方程；(2)联立直线 AB与椭圆得到B

26、点坐标，联立直线 AB与圆得到E点坐标，分别利用斜率表不'出Kbc , Kef ,由此确定出的值.【详解】(1)设 B(x, y),则C( x, y),又 A(2,0),2k k ayy 1k1 k22.x 2 x 2 x2 44x22 .-一y 1 ,又斜率存在， x 242点B的轨迹方程是 y2 1(y 0). 4y K (x 2),2222(2)联立 x22得(4k11)x16kl x 4(4kl 1) 07 y 1,解得：Xb22(4k2 1)1 4k2，VbK(Xb 2)4kl4k12 1Yb 02kiT -T2 7xB 04kl 12),24 得(k21)x2 4k2x 4

27、(k2 1) 0.左 /口2(k12 1)解得：Xe 2- ，Yek1 14 klk2 1Ye 05kl4k12 1kBCkBC kEF 22,存在常数一，使得kBC -kEF .55【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程以及探究型问题的求解，难度一般.(1)轨迹方程的两种求解方法：直接法、定义法；(2)圆锥曲线中的斜率有关的问题，多数情况下选择用坐标的形式去转化计算21 .已知函数 f (x) x 2 sinx.(1)当x 0时，求f(x)的最小值；(2)若X 0,时，f(x)1 a)x x cosx,求实数a的取值范围.【答案】(1) f (X)min- V3 (2) (,13【解析】(1)

28、先分析f x在0,的单调性并确定出最小值，再根据 x , 时f x的取值特点，从而可分析出f x在0,上的最小值；(2)将不等式变形，利用构造函数思想分析新函数F(x) 2sin x xcosx ax的单调性，采用分类讨论法确定出F x 0时a的取值范围【详解】11(1) f (x) 1 2cosxx 0,一 时 f (x) 0,x 3时 f (x) 0x 0, 时 f (x)的极小值为f %33当x 时，f(x) 2 第 3当 x 0 时，f(x)min - J3. 3(2)问题可转化为 2sin x xcos x ax，0(x0,)设 F(x) 2sin x xcosx axF (x) c

29、osx xsin x a令 g(x) cosx xsinx a, g (x) x cosx当x 0，5 时，g(x)，0,g(x)单调递增，当x 2, 时，g (x)40,g(x)单调递减.F (x)在0, 上先增后减.又F (0) 1 a,F ( )1 a,F - a.当F 22 a40即a),时，F (x)40,x 0,F(x)单调递减，又F(0) 0,则F(x)<0,不合题意；当F 0即a 一时,22I .若 F (0)，0,F ()0,则一定存在m使得F (m) 0.F(x)在(0, m)上单调递增，在(m,)上单调递减.F(0)/0,则 人得F()加，而 F。1 G0,1 aF

30、( )1 a 0,1.n .若F,F ( )0,则F(x)在0,上单调递增且F(0) 0,则 F(x)0在0,上恒成立.此时F(0)F()出.若F (0)存在n 0,-使得F (n) 0, F(x)在(0,n)上单调递减，又F (0) 0x (0,n)时，F (x) 0 ,不合题意.综上所述，实数a的取值范围为(,1.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用， 其中涉及到利用导数求解函数最值以及利用导数解决 不等式恒成立问题，难度较难.和导数有关的不等式恒成立求解参数范围问题的求解方 法：分类讨论法、参变分离法 .x 4t2,22 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点Oy 4t为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为cos 、3 sin 1 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求直线l被曲线C所截的弦长.【答案】(1) y2 4x,x 73y 1 0 (2) 16【解析】(1)直接消去参数t