数学物理方法定解问题ppt课件

1、第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程1Mathematical Equations for Physics想要探求自然界的奥妙就得解微分方程想要探求自然界的奥妙就得解微分方程 牛顿牛顿重点1 1、从实践问题中建立数学物理方程的根本方法；、从实践问题中建立数学物理方程的根本方法；2 2、系统的边境条件和初始条件的写法。、系统的边境条件和初始条件的写法。第一章第一章 数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题数学物理思想数学物理思想 数学物理方程简称数理方程是指从物理数学物理方程简称数理方程是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主

2、要指偏微分方程和积分方程数方程，主要指偏微分方程和积分方程 数学物理方程所研讨的内容和所涉及的领域数学物理方程所研讨的内容和所涉及的领域非常广泛，它深化地描画了自然界中的许多物理非常广泛，它深化地描画了自然界中的许多物理景象和普遍规律景象和普遍规律. .2声振动是研讨声源与声波声振动是研讨声源与声波场之间的关系场之间的关系热传导是研讨热源与温度热传导是研讨热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松泊松S. D. Poisson S. D. Poisson 1781178118401840，法国数学家，法国数学家方程表示的是电势或电场方程表示的是电势或电场和电荷分布之间的关系和电荷分布之间的关系定解

3、定解问题问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系是场和产生这种场的源之间的关系3多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波振动波，电磁波传播满足振动与波振动波，电磁波传播满足动摇方程动摇方程热传导问题和分散问题满足热传导方程热传导问题和分散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程一、数学物理方程-泛定方程:物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u u在各个

4、地点和各个时辰所取的值在各个地点和各个时辰所取的值之间的联络。之间的联络。数学言语翻译泛定方程反映的是同一类物理景象的共性，和详细条泛定方程反映的是同一类物理景象的共性，和详细条件无关。件无关。45二、边境问题-边境条件表达边境形状的数学方程称为边境条件表达边境形状的数学方程称为边境条件三、历史问题-初始条件表达历史形状的数学方程称为初始条件表达历史形状的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动形状，但都服从牛顿第二定律。不同的运动形状，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完好提法：定解问题的完好提法：

5、 在给定的边境条件和初始条件下，根据知的物理规律，在给在给定的边境条件和初始条件下，根据知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量定的区域里解出某个物理量u u，即求，即求u(x,y,z,t)u(x,y,z,t)。6详细的问题的求解的普经过程：详细的问题的求解的普经过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据知系统的边境情况和初始情况列出边境条件和、根据知系统的边境情况和初始情况列出边境条件和 初始条件初始条件求解所必需用的求解所必需用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分别变量法等行波法、分别变量法等分别变量法分别变量法偏微分方程

6、偏微分方程规范的常微分方程规范的常微分方程规范解，即为各类特规范解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法1.1 1.1 数学模型数学模型( (方程的建立方程的建立7建模步骤：建模步骤：1 1、确定表征过程的物理量、确定表征过程的物理量u u代求函数；代求函数； 2 2、从所研讨的系统中划出任一微元，分析临近部、从所研讨的系统中划出任一微元，分析临近部分与它的关系及相互作用，用含分与它的关系及相互作用，用含u u的算术式表达此的算术式表达此作用；作用；3 3、对算式进展化简得到最终方程，此方程为、对算式进展化简得到最终方程，此方程为某一类物理过程

7、的通用方程泛定方程。某一类物理过程的通用方程泛定方程。8模型方程类型：模型方程类型：1 1、动摇方程描画振动和动摇特征；、动摇方程描画振动和动摇特征； 2 2、热传导方程反映输运过程；、热传导方程反映输运过程；3 3、泊松方程及拉普拉斯方程反映稳定过、泊松方程及拉普拉斯方程反映稳定过程。程。一均匀弦横振动方程一均匀弦横振动方程(一维动摇方程一维动摇方程弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动 u(x,t): u(x,t): 坐标为坐标为x x 的点在的点在t t时辰沿垂线方向时辰沿垂

8、线方向的位移的位移 求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律9动摇方程的导出建立方程建立方程1确定物理变量确定物理变量位移位移u(x,t)2系统中取一小部分，分析临近部分与之系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系建立等式关系建立等式10 选取不包括端点的一微元选取不包括端点的一微元(x, x+dx), 弦长弦长dx ，研讨对象研讨对象: (4) (4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力 ，力密度为：，力密度为：( , )F x t简化假设：简化假设： (1) (1)弦是柔软的弦是柔软的 ( (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2) (2)振幅极小振

9、幅极小, , 张力与程度方向的夹角张力与程度方向的夹角1 1和和2 2 很很小，仅思索小，仅思索1 1和和2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3) (3)弦的分量与张力相比很小，可以忽略。弦的分量与张力相比很小，可以忽略。( , )( , )/f x tF x t 质量线密度质量线密度，u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xF11弦的原长：弦的原长：sx 振动拉伸后：振动拉伸后：sxuxx22()()d u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF弦长弦长dx ，质量线密度，质量线密度，B段段的质量为的质量为m= dx12中心等式关系：牛顿第二定律F=ma13沿程度

10、方向，不出现平移沿程度方向，不出现平移2211coscos0TT 受力分析：受力分析：14u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF1 1分竖直和程度方向思索分竖直和程度方向思索0水平即F21TT 由由1式可得弦中各点的张力相等式可得弦中各点的张力相等1 21 20, cos1. ，在微小振动近似下：在微小振动近似下：即张力为常数，记为即张力为常数，记为T沿竖直方向沿竖直方向11sintanxxxuux 22sintanxxxu 15u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF12sinsinTTF竖直即)sin(sin12T对于小振动，有对于小振动，有)(xxxxuxuTF竖直)(12

11、21xxxxxuT），使内至少存在一个则在可导，连续，在朗日中值定理：（注：上式利用了拉格)()()(),(),(,)(fabafbfbababaxf16竖直方向上满足牛顿第二定律：竖直方向上满足牛顿第二定律：由前知弦长由前知弦长x(dx ，质量线密度，质量线密度，质量为，质量为m= xatu代替处的加速度故用其中任一点近似相等，很短，其上每点加速度由于所取弦长2222x)(2222xxxtuxma故maF竖直综合前式，有212222tuxxxuT 上式即为经过中心等式关系建立的研讨对象u(x,t)所满足的方程式。3对等式进展化简得到最终方程泛定方程172/aT 其中其中令令x0，得到，得到2

12、2222xuatu2 22式即为弦的自在横振动方程齐次方程。式即为弦的自在横振动方程齐次方程。18假设有外力作用在弦上，方向垂直于假设有外力作用在弦上，方向垂直于x轴，设其力轴，设其力密度为密度为Fx，t，由于弦段很小，其上各点外力，由于弦段很小，其上各点外力近似相等，故该段所受外力为近似相等，故该段所受外力为)(),(33xxxxtFF外maFF拉竖直外19此时竖直方向上的牛顿第二定律为此时竖直方向上的牛顿第二定律为同样利用前面关系代换，有同样利用前面关系代换，有2122322),(tuxxtFxxuT( , )( , )/f x tF x t 两边约去两边约去x，并令，并令x0，得到，得到

13、其中其中),(22222txfxuatu3 33式为弦的强迫振动方程非齐次方程。式为弦的强迫振动方程非齐次方程。20动摇方程可一致表示为：动摇方程可一致表示为：21类似可得到二维动摇方程薄膜振动和三维动摇类似可得到二维动摇方程薄膜振动和三维动摇方程电磁波、声波的传播：方程电磁波、声波的传播：),()(2222222tyxfyuxuatu),()(222222222tzyxfzuyuxuatufuautt2其中其中为拉普拉斯算子，为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，时为齐次方程，f0时时为非齐次方程。为非齐次方程。热传导方程热传导方程 热传导景象：系统的温度热传导景象：系统的温度 u(x,y,z

14、,t) 不均匀时，不均匀时，将出现热量从温度高处到温度低处的流动，叫热传导。将出现热量从温度高处到温度低处的流动，叫热传导。22建立方程建立方程1确定物理变量确定物理变量温度温度u(x,t)2系统中取一小部分，分析临近部分与之系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系建立等式关系建立等式中心等式：中心等式：流动热量温度变化QQ23xx1x2xA横截面积为横截面积为A的均匀细杆，的均匀细杆，杆长方向有温差，侧面绝热。杆长方向有温差，侧面绝热。热量守恒热量守恒 假设假设t时间内时间内x温度升高，那么温度升高，那么其中其中c为比热容即单位质量升高单位温度所需为比热容即单位质量升高单位温度所需热量，热量

15、，m为质量。为质量。),(),(21txutxumcQ温度变化xAvm24xx1x2xAtuttxutxut),(),(021时，在tutxAcQ温度变化故Q流动热量满足傅立叶实验定律：流动热量满足傅立叶实验定律：物体在无穷小时段物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积内流过一个无穷小面积ds的的热量热量dQ与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面ds法线方导游数成正比。法线方导游数成正比。其中其中k为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常数，取数，取“-是由于热量流向与温度梯度方向相反温度是由于热量流向与温度梯度方向相反温度梯度方向指温度变化方向，指向标量

16、场增长最快的方梯度方向指温度变化方向，指向标量场增长最快的方向。向。dtdsnukdQ即25那么那么t时间内由时间内由ox轴正向流入的热量轴正向流入的热量为为tAxukQxx1流入26xx1x2xA而而t时间内由时间内由ox轴正向流出的热量为轴正向流出的热量为tAxukQxx2流出流出流入流动热量QQQ-)12xxxxxuxutAk（由中心等式有由中心等式有)12xxxxxuxutAktutxAc（27xx1x2xAxtxutxxucktuxx),(),(11即222xuatu4 44式即为一维齐次热传导方程其中式即为一维齐次热传导方程其中a2=k/cp)。假设杆内部有热源，设热源密度假设杆内

17、部有热源，设热源密度Fx，t单位时间单位时间内单位体积放出热量。内单位体积放出热量。txAtxFQ),(热源则热源流动热量温度变化此时QQQ28ctxFxucktu),(22),(222txfxuatu即5 55式即为一维非齐次热传导方程。式即为一维非齐次热传导方程。同理有二维薄片及三维热传导方程同理有二维薄片及三维热传导方程29),()(22222tyxfyuxuatu),()(2222222tzyxfzuyuxuatu热传导方程可一致表示为：热传导方程可一致表示为：30fuaut2其中其中为拉普拉斯算子，为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，时为齐次方程，f0时时为非齐次方程。为非齐次方程。

18、注：分散情况也满足此方程，此时为分散方程，注：分散情况也满足此方程，此时为分散方程，u为浓度。为浓度。泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程前两类方程的特例，稳定场情况，即u不随时间变化。 6式即为拉普拉斯方程。 0tu0u6 6 7式为非齐次拉普拉斯方程或泊松方程。 fu7 7311.2 1.2 定解条件定解条件 前面的方程反映了同一类物理过程泛定方程。前面的方程反映了同一类物理过程泛定方程。 为了得到物理数学上的独一确定解，需求引入定解条件。定解条件=初始条件+边境条件注：有时还需求其他条件，如不同媒质界面处衔接条注：有时还需求其他条件，如不同媒质界面处衔接条件，物理上的合理性条件等

19、。件，物理上的合理性条件等。32 物理上，某个详细过程还与初始形状和边境上的约物理上，某个详细过程还与初始形状和边境上的约束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，方程没有独一确定的解。方程没有独一确定的解。初始时辰的温度分布：初始时辰的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件C C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件初始条件初始条件=无描画稳定形状，与无描画稳定形状，与t无关无关A A、 动摇方程的初始条件动摇方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt描画系统的初始形状描画系统的

20、初始形状系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度一一 初始条件初始条件)(),(0 xtxut33和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数( , , )x y z ( , , )x y z 例：例：02 0222 , ( , )(), thlxxlu x thllxxll34留意：初始条件给出系统在初始形状下物理量的分布，留意：初始条件给出系统在初始形状下物理量的分布，而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一根长为一根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉。在中点位置将弦沿着横向拉开间隔开间隔h ，如下图，然后放手任其振动，试写出初始条

21、件。，如下图，然后放手任其振动，试写出初始条件。 l x l/2h解：初始时辰就是放手的那一瞬间，按题意解：初始时辰就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有00( , )ttu x t初始位移初始位移二边境条件二边境条件 定义：系统的物理量一直在边境上具有的情况。定义：系统的物理量一直在边境上具有的情况。 A.A.第一类边境条件第一类边境条件即直接给出系统边境上物理量的函数方式。即直接给出系统边境上物理量的函数方式。直接给出边境值直接给出边境值35常见的线性边境条件分为三类：常见的线性边境条件分为三类：弦振动方程：端点位置知弦振动方程：端点位置知00( , )xu x t

22、0( , )x lu x t和和36如：两端固定的弦振动如：两端固定的弦振动)(),(, )(),(210tutxututxulxx即0 xlx 37热传导方程：端点温度知热传导方程：端点温度知)(),(, )(),(210tutxututxulxx即如：两端温度恒定的热传导如：两端温度恒定的热传导210),(),(utxuutxulxx和38泊松方程拉普拉斯方程：边境上函数值知泊松方程拉普拉斯方程：边境上函数值知210)(,)(uxuuxulxx即注：由于与注：由于与t无关，故边境上函数值确定无关，故边境上函数值确定B.B.第二类边境条件第二类边境条件给出待求函数在边境上的导数值给出待求函数在边境上的导数值39弦振动方程：边境张力沿垂直方向分量知弦振动方程：边境张力沿垂直方向分量知)(),(, )(),(210tux