北京2018年中考数学复习专题突破10新定义问题

1、专题突破(十)新定义问题名师说中考:新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新概念或新公式，然后通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目中提出的问题，其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯.解决此类题的关键是：(1)深刻理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论，尽可能把文字语言转化为图形语言，且注意各种可能的图形分类；(2)揭示新概念的本质，重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；(3)依据新定义，运用类比、归纳、联想、

2、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中的问(4)准确画图能起到事半功倍的效果.A组真题体验1. 2017北京对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下定义：若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1)当。O的半径为2时，在点P1(1,0),Pag,冬,P3(|,0)中，OO的关联点是.点P在直线y=x上，若P为。的关联点，求点P的横坐标的取值范围.(2)OC的圆心在x轴上，半径为2,直线y=x+1与x轴、y轴分别交于点A、B.若线段AB上的所有点都是。C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.2. 2016北京在平面直角坐标系xO

3、y中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2,y2),且x1wx2,ywV2,若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.图Z101为点P,Q的“相关矩形”的示意图.图Z101(1)已知点A的坐标为(1,0),若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积；点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式;(2)00的半径为也前M的坐标为(m,3).若在。O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围.3. 2015北京在平面直角坐标系xOy中，OC的半径为r,P是与圆心C不重合

4、的点，点P关于。C的反称点的定义如下：若在射线.CP上存在一点P',满足CP+CP'=2r,则称P'为点P关于。C的反称点，如图Z102为点P及其关于。C的反称点P'的示意图.特别地，当点P'与圆心C重合时，规定CP'=0.(1)当。的半径为1时.分别判断点M(2,1),N(3，0),T(1,V3)关于。0的反称点是否存在，若存在，求其坐标；点P在直线y=x+2上，若点P关于。0的反称点P'存在，且点P'不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围.3(2)当。C的圆心在x轴上，且半径为1,直线y=1"x+2M3与x轴，y轴分别

5、交于点A,B.若线段3AB上存在点P,使得点P关于。C的反称点P'在OC的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.B组专题训练1. 2017海淀一模在平面直角坐标系xOy中，若P,Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”.图Z103为点P,Q的“相关菱形”的一个示意图.已知点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(b,0).(1)若b=3,则R(1,0),S(5,4),T(6,4)中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是;(2)若点A,B的“相关菱形”为正方形，求b的值；(3)OB的半径为近点C的坐标为(2,4),若。B上存在点M,

6、在线段AC上存在点N,使点M,N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围.图Z10-32. 2017东城一模设平面内一点到等边三角形中心的距离为d,等边三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rWdWR的点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系xOy中，等边ABC的三个顶点坐标分别为A(0,2),B(后1),C(0-1).1(1)已知点D(2,2),E(V3,1),F(万，1),在D,E,F中，是等边ABC的中心关联点的是;(2)如图Z104,过点A作直线交x轴正半轴于点M,使/AMO=30°.若线段AM上存在等边ABC的中心关联

7、点P(m,n),求m的取值范围；将直线AM向下平移得到直线y=kx+b,当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边ABC的中心关联点；(直接写出答案，无需写过程)1(3)如图Z104，点Q为直线y=-1上一动点，圆Q的半径为万.当点Q从点(一4,1)出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使得圆Q上所有点都是等边ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由.图Z10-43. 2017西城一模在平面直角坐标系xOy中，若点P和点Pi关于y轴对称，点Pi和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点.

8、(1)如图Z105，点A(1,0).若点B是点A关于y轴，直线11：x=2的二次对称点，则点B的坐标为;若点0(-5,0)是点A关于y轴，直线12：x=a的二次对称点，则a的值为;若点D(2,1)是点A关于y轴，直线13的二次对称点，则直线13的表达式为；(2)如图，OO的半径为1.若。上存在点M,使得点M'是点M关于y轴，直线14：x=b的二次对称点，且点M在射线y=x(x>0)上，则b的取值范围是;(3)E(t,0)是x轴上的动点，OE的半径为2,若。E上存在点N,使得点N'是点N关于y轴，直线15：y=*x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围.

9、241；234jx234Si<D图Z10-54. 2017朝阳一模在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m),且mw0,点B的坐标为(n,0),将线段AB绕点B旋转90。，分别得到线段BP1,BP2,称点P1,P2为点A关于点B的“伴随点”，图Z106为点A关于点B的“伴随点”的示意图.图Z10-6(1)已知点A(0,4).当点B的坐标分别为(1,0),(2,0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为;点(x,y)是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；(2)如图Z107,点C的坐标为(一3,0),以C为圆心，“2为半径作圆，若在。C上存在点A关于点B的“伴随点”

10、，直接写出点A的纵坐标m的取值范围.bs4b3b2blb图Z10-75. 2017朝阳二模在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r>0)的。O和点P,给出如下定义：3右rwPOW2，则称P为。O的近外点.5(1)当。的半径为2时，点A(4,0),B(2,0),C(0,3),D(1,1)中，OO的“近外点”是;(2)若点E(3,4)是。的“近外点”，求。O的半径r的取值范围；3(3)当。的半径为2时，直线y=3x+b(bw0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在。的“近外点”,直接写出b的取值范围.口-2-33-5234567#yf5h4k3r2hlF-h-2-3-4T备用图

11、图Z10-86. 2017房山一模在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),如果点Q(x,y')的纵坐标满足y'x-y(当x>y时)，八一一一那么称点Q为点P的“关联点”.jx(当x<y时)，请直接写出点(3,5)的“关联点”的坐标：;(2)如果点P在函数y=x2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；(3)如果点M(m,n)的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0WmW2时，求线段MN的最大值.图Z10-97. 2017平谷一模在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在/Q的内部(含角白边)，这时我们把/Q的最小角叫做该图形的

12、视角.如图Z1010，矩形ABCD,作射线OA,OB,则称/AOB为矩形ABCD的视角.(1)如图Z10-10，矩形ABCD,A(-V3,1),B(V3,1),C(J3,3),D(3),直接写出视角/AOB的度数；(2)在(1)的条件下，在射线CB上有一点Q,使得矩形ABCD的视角/AQB=60°,求点Q的坐标；(3)如图Z1010，OP的半径为1,点P(1,5)，点Q在x轴上，且。P的视角/EQF的度数大于60°,若Q(a,0),求a的取值范围.备用图图Z10-108. 2017怀柔一模在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x,y),若过点P的直线与x轴的夹角为60。，

13、则称该直线为点P的“相关直线”.(1)已知点A的坐标为(0,2),求点A的“相关直线”的表达式;(2)若点B的坐标为(0,J3),点B的“相关直线”与直线y=2J3交于点C,求点C的坐标；。O的半径为木，若。O上存在一点N,点N的“相关直线”与双曲线y=W3(x>0)相交于点M,请直接写出点M的横坐标的取值范围.图Z10-1149. 2017燕山一模在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点(1,1),(2,2),(寸2,串)，,都是梦之点，显然梦之点有无数个.(1)若点P(2,b)是反比例函数y=n(n为常数，nw0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析

14、式；x(2)00的半径是也求出。0上的所有梦之点的坐标；已知点M(m,3),点Q是(1)中反比例函数y=n图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交x于点A,tan/OAQ=1.若在。0上存在一点N,使得直线MN/l或MN±1,求出m的取值范围.一一九VTT-3-2&1/2345x图Z10-1210. 2017丰台一模在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C,给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A,B,C的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形.例

15、如，图Z1013中的矩形AiBiCiDi,A2B2C2D2,AB3c3D3都是点A,B,C的覆盖矩形，其中矩形AB3c3D3是点A,B,C的最优覆盖矩形.(1)已知A(-2,3),B(5,0),C(t,-2).当t=2时，点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为;若点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,求直线AC的表达式；I(2)已知点D(1,1).E(m,n)是函数y=(x>0)的图象上一点，。P是点O,D,E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出。P的半径r的取值范围.11. 2017门头沟一模我们给出如下定义：两个图形Gi和G2,在Gi上的任意一点P引出两条垂直的射线与G2相交于点

16、M、N,如果PM=PN,我们就称M、N为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段，点P为垂等射点.(1)如图Z1014，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)为x轴上的垂等射点，过A(0,3)作x轴的平行线l,则直线l上的B(-2,3),C(1,3),D(3,3),E(4,3)为点P的垂等点的是；(2)如果一次函数图象过M(0,3),点M为垂等射点P(1,0)的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图中画出示意图并写出一次函数表达式；(3)如图，以点O为圆心，1为半径作。O,垂等射点P在OO±,垂等点在经过(3,0),(0,3)的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，

17、求垂等线段PM长的取彳1范围(画出图形直接写出答案即可).图Z10-14参考答案|真题体验|1,解：(1)OPl=2，OP2=1,OP3=2，点Pl与o。的最小距离为点P2与。的最小距离为1,点1一P3与。的最小距离为2，。的关联点为P2和P3.根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意.设点P的坐标为(x,x),当OP=1时，由两点之间距离公式可得OP=M(x-0)2+(-x-0)2=1,解得x=X2,当OP=3时，由两点之间距离公式可得OP=(x0)2+(x0)2=3,x2+x2=9,解得x=F2, 点P的横坐标的取值范围为一子wxw乎或乎wxw3乎.(2)

18、二,直线y=x+1与x轴、y轴的交点分别为点A、点B,，令y=0,得x+1=0,解得x=1；令x=0,得y=1,A(1,0),B(0,1).分析得：c的坐I.当。C的圆心在x轴负半轴上时，如图，当半径为3的圆C过点A时，此时CA=3,.标为(一2,0).如图，当线段AB与半径为1的圆C相切时，切点为D,连接CD,则CD=1,又直线AB的函数解析式为y= ,直线AB与x轴形成的夹角是45°, RtAACD中，CA=a/2,，C点坐标为(142,0). .C点的横坐标的取值范围为：2<xc<1-2.ytn.当。C的圆心在x轴正半轴上时，如图，当半径为1的圆C过点A时，AC=1

19、,.C点坐标为(2,0).如图，当半径为3的圆C过点B时，连接BC,此时BC=3,在RtAOCB中，由勾股定理得OC=V32T=2R，C点坐标为(200).C点的横坐标的取值范围为2WxC<2卷.综上所述，点C的横坐标的取值范围为2WxF1取或2WxcW2%/2.2.解：(1)S=2X1=2.C的坐标可以为(3,2)或者(3,-2),设直线AC的表达式为y=kx+b,将A,C的坐标分别代入AC的表达式得到<0=k+b,f0=k+b,或W、2=3k+b,-2=3k+b,k=-1,或.b=1.k=1，解得，、b=1,所以直线AC的表达式为y=x1或y=x+1.(2)若。上存在点N,使M

20、,N的“相关矩形”为正方形，则直线MN与x轴的夹角为45°(正方形一条对角线所在直线),即过M点作与x轴的夹角为45°的直线，与。O有交点，即存在N.当k=1时，极限位置是直线与。O相切，如图中1i与l2,直线1i与。O切于点Ni,ONi=V2,ZON1M1=90°,，1i与y轴交于Pi(0,-2).又:M1(m1,3),3(2)=0m3m1=5,Mi(5,3).同理可得M2(-1,3).当k=1时，极限位置是直线l3,l4(与。相切)，可得M3(1,3),M4(5,3).因此m的取值范围为一5WmW1或1wmW5.3.解：(1)点M(2,1)关于。O的反称点不存

21、在.,3点N(2,0)关于。O的反称点存在，反称点N'点T(1,寸3)关于。O的反称点存在，反称点T'(00).如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点E(2,0),点F(0,2).设点P的横坐标为x.(i)当点P在线段EF上，即0WxW2时，0VOPW2, 在射线OP上一定存在一点P',使得OP+OP'=2, 点P关于。O的反称点存在，其中点P与点E或点F重合时，OP=2,点P关于。O的反称点为O,不符合题意，0vxv2.(ii)当点P不在线段EF上，即x<0或x>2时，OP>2,，对于射线OP上任意一点P',总有OP+OP'

22、;>2,，点P关于。O的反称点不存在.综上所述，点P的横坐标x的取值范围是0vxv2.(2)若线段AB上存在点P,使得点P关于。C的反称点P'在OC的内部，则1VCPW2.依题意可知点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,2岁,ZBAO=30°.设圆心C的坐标为(x,0).当x<6时，过点C作CHLAB于点H,如图，壮2分 0VCH&CPW2,0<CA<4, 0V6x<4,.-.2<x<6,并且，当2Wxv6时，CB>2,CH<2, 在线段AB上一定存在点P,使彳#CP=2,，此时点P关于。C的反称点为C,且点C

23、在。C的内部，2Wxv6.当x>6时，如图.伊 .0WCAWCPW2,，0Wx6<2,.-.6<x<8.并且，当6WxW8时，CB>2,CAW2, 在线段AB上一定存在一点P,使彳#CP=2, .x=8时，点P关于。C的反称点为C,且点C在OC的内部，6wxw8.综上所述，圆心C的横坐标x的取值范围是2WxW8.|专题训练|1 .解：(1)R,S(2)过点A作AH垂直x轴于点H.点A,B的“相关菱形”为正方形.ABH为等腰直角三角形.-A(1,4),BH=AH=4.b=-3或5.(3)-5<b<0或3<b<8.2.解：(1)根据题意得等边4

24、ABC的边长为2也，中心在原点处，若满足是该等边ABC的关联点，则1WdW2,而OD=2避，OE=2,OF=乎，在点D、E、F中等边ABC的中心关联点是E、F.(2)若线段AM上存在等边ABC的中心关联点，则1WPOW2,易求自O到直线AM的距离为J3,，OP>木.如图所示，过点P作PQx轴于点Q.令OP=2,，/AOP=60°,，/POQ=30°,OQ=V3,，0WmW3.ZOAM=60°,.OAP为等边三角形，,则Kd<2,如图，ON=4¥3,3473<b<2.3根据题意，若满足为该等边ABC的中心关联点而直线AM向下平移过程

25、中，临界情况为O到y=kx+b的距离d=2,(3)如图，OQ上所有点都是中心关联点，Q位于图中与两圆均相切的位置。Q1和。Q2处，设直线y=1与y轴相交于点E,连接OQi和OQ2,一13一OQi=22=2,OE=1,在RtOEQi中，由勾股定理得EQi=(|)2-12=坐同理EQ2=乎，Q运动(4坐)s或(4+坐)s,即t=4+坐或t=4当时，符合题意.3.解：点B的坐标为(3,0);a的值为一2.直线的表达式为y=x+2.1 一，一(2)-"bw1；将点N关于y轴的对称点记为点P,，点P和点N'关于直线l：y=43x+1对称，3;直线y=掌+1和y轴关于直线l：y=V3x+

26、1对称，点P在直线y=x+1上，3,直线y=一害x+1和直线y=3x+1关于y轴对称，点N在直线y=-¥x+1上，3，符合题息的点N是直线y=彳+1与。E的公共点.3(i)当直线y=雪x+1与。E相离时，则不存在符合题意的点N.3(ii)当直线y=x+1与。E相切时，如图所不，3“y=>'3x+i则符合题意的点N是直线y=口+1与。E相切时的切点，3记直线y=-坐x+1与x轴交于点R诋0),若点E在点R的左侧，则EiNi=2,可得REi=4,OEi=4-3,ti=-4+3.若点E在点R的右侧，由E2N2=2,可得RE2=4,OE2=4+q3,t2=4+'3.(i

27、ii)当直线y=乎x+1与。E相交时，一4+<t<4+/3,3综上，t的取值范围是4+3<t<4+73.4 .解：(1)当点B的坐标为(1,0)时，伴随点坐标分别为(3,1),(5,1).当点B坐标为(一2,0)时，伴随点坐标分别为(一6,2),(2,2).5 y=x4或y=x4.(2)5<mW1或1wmW5.6 .解：(1)B,C.7 2).E(3,4),E0=5.101-r<5.32wbW2/或23<b<-2-3.336.解：(1)(3,2)(2)二点P在函数y=x2的图象上，点P的坐标为(x,x-2),x>x-2,根据关联点的定义，点

28、Q的坐标为(x,2),又.点P和点Q重合，x-2=2,解得x=4,.点P的坐标是(4,2).点M(m,n)的关联点是点N,由关联点定义可知，第一种情况：当m>n时，点N的坐标为(m,m-n),点N在函数y=2x2的图象上，.mn=2m2,n=2m2+m,即yM=-2m2+m,yN=2m2,MN=IYmYn|=|-4m2+ml,当0WmW1时一4m2+m>0,MN=4m2+m=4(m-)2+,48)16,1,.，一1当m.时，线段MN的最大值是看1191当4VmW2时，4m2+m<0,MN=4m2m=4(m-)一诬，当m=2时，线段MN的最大值是14.综合与，当m>n时线

29、段MN的最大值是14.第二种情况：当mvn时，点N的坐标为(m,n-m).,点N在函数y=2x2的图象上，1- n-m=2m2,即n=2m2+m, .yM=2m2+m,yN=2m2,/.MN=|yM-yN|=|m|.0WmW2,MN=m.当mvn时，线段MN的最大值是2;综上所述，当m>n时，线段MN的最大值是14;当mvn时，线段MN的最大值是2.7.解：(1)ZAOB=120°耳(2)连接AC,在射线CB上截取CQ=CA,连接AQ. AB=25，BC=2, .AC=4./ACQ=60°. .ACQ为等边三角形，即/AQC=60°. ，CQ=AC=4, Q

30、(小，-1).(3)如图，当点Q与点O重合时，/EQF=60°,.Q(0,0).如图，当FQx轴时，/EQF=60.Q(2,0).a的取值范围是0Vav2.y=V3x+2;当过点A的直线与x轴负方向夹角为(2)如图，可知点B的“相关直线”60。时，点A的“相关直线”表达式为bc1的表达式为y=q3x+3,y=一3x+2.8 .解：(1)如图，当过点A的直线与x轴正方向夹角为60°时，点A的“相关直线”表达式为y=V3x+V3,、y=2mCi(1,2邓).同理C2(i,2V3).(3)如图，设点Ni的“相关直线”与O。相切，交双曲线y=3声于点Mi.可求得直线NiMi的表达式为y=3x+273.y=V3x+2V3,13V3y=x，x解得x=i或x=3（舍）.Mi（i,3a同理M2（3,V3）.点M的横坐标的取值范围是iwxmW3.9 .解：(1)/P(2,b)是梦之点，b=2.1.P(2,2),将P(2,2)的坐标代入y=n,得n=4,x 反比例函数解析式是y=4x(2)丁。O的半径是叵设。O上梦之点坐标是(a,a), .a2+a2=(2)2,/.a2=1,解得a=1或a=1.，。0上所有梦之点坐标是(