初中九年级数学培优训练专题

1、初中九年级数学培优训练（奥数）专题01二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子.2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，

2、分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.想一想：若.x、yn（其中x,y,n都是正整数），则/x,jy,jn都是同类二次根式，为什么?例题与求解1.200232003【例1】当x-时，代数式（4x2005x2001）的值是（）A、0B、-1C、1D、22003（绍兴市竞赛试题）【例2】化简a、bb、.a.b一abOTb-1-),ab（黄冈市中考试题）1014.1521;1014、1521（五城市联赛试题）上6_4二3_3工2_(,.6.3)(.3.2)（北京市竞赛试题）315102.63,32218.52、31（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理

3、化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们白联系，问题便迎刃而解思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度【例3】比（而J5）6大的最小整数是多少?（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x、6,一5,y65,想一想：设x4-3-2Cc三小x6x2x18x23田力士V198V3,求32的值.x7x5x15（“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：JaJB的根式为复合二次根式,常用配方，引

4、入参数等方法来化简复合二次根式【例4】设实数x,y满足（xJx21）（y521）1,求x+y的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化【例5】（1）代数式以24J（12x）29的最小值.（2）求代数式Jx28x41Jx24x13的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）,目前运用代数的方法很难求此式的最小值，Ja2b2的几何意义是直角边为a,b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2）,设y7（x4）2527（x2）232，设A（x,0）,B（4,5）,C（2,3）相当于求AB+AC的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根

5、式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式【例6】设m4a_2Ja1Ta2n_1（1a2）,求m10m9m8m7m47的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值能力训练A级1.化简:771004(3)220082008二)82008(“希望杯”邀请赛试题).-200820087352.若xy43而夜,xyJ3J2二百，则xy=（北京市竞赛试题）,1997,19993计管(#997>999)(7199772001)(J199972001)(7199971997)_2001(,2001.1997)(,20011999

6、)(“希望杯”邀请赛试题)4 .若满足0vxvy及J1088&J7的不同整数对（x,v）是（上海市竞赛试题）5 .如果式子J（x1）2T（x2）2化简结果为2x-3,则x的取值范围是（）A.x<1B.x>2C.1<x<2D.x>06、计算Jl46#凶46君的值为（）A.1B.而C,275D,5（全国初中数学联赛试题）7.a,b,c为有理数，且等式ab，2C，3，52娓成立,则2a+999b+1001c的值是（）A.1999B.2000C.2001D.不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若a,§是不相等的无理数，则是无理数；乙：若

7、a,§是不相等的无理数，则是无理数；丙：若a,B是不相等的无理数，则。是无理数；其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：X后座2庭x百yVX亚x0亚展币5上74367"7-66、，42(4)_5、24103,615（天津市竞赛试题）(5二53.6,10.15（“希望杯”邀请赛试题）（“希望杯”邀请赛试题）33510、设x，求代数式(x1)(x2)(x3)(x4)的值.211、已知v；7x29x13，7x25x137x,求x的值.12、设x.n1JnZn,x'n1_噌（n为自然数），当n为何值，代数式19x2123xy

8、19y2的,n1n值为1985?1.已知x1=,y2.3，贝1Jx312xyy32.3.（四川省竞赛试题）2.已知实数x,y满足(xJx22008)(yJy22008)2008,贝U3x22y23x3y2007=_（全国初中数学联赛试题）3.已知x4"，那么3x42xx21（重庆市竞赛试题）4.（全国初中数学联赛试题）5.a,b为有理数,且满足等式b3、.61：42.3则a+b=(6.7.8.A.2B.C.D.8（全国初中数学联赛试题）已知aAab已知1.XA.a1,b那么a,b,c的大小关系是B.b<a<cC.c<b<cD.ca<b（全国初中数学联赛试

9、题）1"a若a表示实数A.19.把(a1)C.a的整数部分，则B.2的值是（1,166.7C.3D.不能确定等于（）D.4（陕西省竞赛试题）1，I,一，I,，L中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（A.1aB.aC.alD.J""a10、化简:/.、19981999200020011°二413.22,31100x9999.100（武汉市调考题）（“希望杯”邀请赛试题）（新加坡中学生竞赛试题）（山东省竞赛试题）（太原市竞赛试题）82.15.W.6532(4) 2(62325；15)11、设0x1,求证而7x21小(1x)21后.（“五羊杯”竞赛试题）12

10、、求Jx28x41Jx24x13的最大值.b22cJ为整数.3aba13、已知a,b,c为正整数，且岸b为有理数,证明：一3bc初中九年级数学培优训练（奥数）专题02从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：若a

11、bc0,则方程ax2bxc0（a0）必有一根为1.若abc0,则方程ax2bxc0（a0）必有一根为1.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解思想精髓bb24ac一兀二次万程的求根公式为x1,2这个公式形式优美，内涵丰富：公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1阅读下列的例题解方程：x2|x|20解：当x>0时，原方程化为x2

12、x20,解得x12,x21（舍）当x0时，原方程化为x2x20,解得x11（舍），x22请参照例题解方程：2x|x3|30,则方程的根是（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解例2方程|x21|(42j3)(x2)的解的个数为()A、1个B、2个C、3个D、4个(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解例3已知m,n是二次方程x21999x70的两个根，求(m2+1998m6)(n22000n8)的值.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：若求出m,n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m

13、,n的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：把ax2bxc0(a0)变形为ax2bxc把ax2bxc0(a0)变形为ax2bxc2c把axbxc0(a0)变形为ax-bx其中体现了“降次”代换的思想；则是构造倒数关系作等值代换例4解关于x的方程：(m1)x2(2m1)xm30解题思路：因未指明关于x的方程的类型，故首先分m10及m10两种情况，当m10时，还考虑就b24ac的值的三种情况加以讨论.例5已知三个不同的实数a,b,c满足abc3,方程x2ax10和x2bxc0,有22一个相同的头根，方程xxa0和xcxb0也有一个相同白实根，求a,b,c的值.解题思路：这是

14、一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解设出公共根，设而不求，消去二次项.例6已知a是正整数，如果关于x的方程x3（a17）x2（38a）x560的根都是整数，求a的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.能力训练A级22一21、已知方程x6xq0可以配成xp7的形式，那么x6xq2可以配成的形式.（杭州市中考试题）x2x2,2、若分式的值

15、为0,则x的值等于.x22x1（天津市中考试题）3、设方程x21993x19940,和（1994x）219931995x10的较小的根分别为a,B,贝U4、方程|x24x5|62x的解应是（上海市竞赛试题）5、方程（x2x1）x31的整数解的个数是.A、2个B、3个C、4个D、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x的一元二次方程（m1）x25xm23m20的常数项为0,则m的值等于A、1B、2C、1或2D、0（德州市中考试题）一-1117、已知a,b都是负实数，且ababA、1.52B、D、（江苏省竞赛试题）8、方程x2|x|10的解是（）C、3或D、222229、已知a是万程x1999x1_.

16、20的一个根，求a1998a1999a21的值.10、已知a24a142amac32ama12a（荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m,使得方程x22mx20和x2xm0有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由12、已知关于x的方程（4k)(8k)x2（8012k）x320的解都是整数,求整数k的值.1、已知a、3是方程x2(m2)x12、若关于x的方程x2px0与x23、设a,b是整数，方程ax4、用x表示不大于x的最大整数,5、A、1个已知1|a|aB、2个/F，一，11,那么代数式一a6、7、8、共实根,A、B、方程x|x|3|x|2A、

17、1个.2已知x5xA、1996已知三个关于22则a-bbccaA、0B、1991B、2、0的两根，则（1m）（1mqxp0只有一个公共根，则（p则方程x22x0解的个数为C、|a|C、,5D、4个D、而0的实根的个数为（C、3个D、4个0,则代数式(x2)4(x1)21997.次方程ax22c的值为（）abB、1(xC、bx1)(x2)1998C、2D、1999c0,bx2cxa0,D、32cx22）的值为1999q)ax（全国通讯赛试题）b0恰有一个公（全国初中数学联赛试题）432“-fqx6x2x18x23钻/古9、已知xJl98百,求2的值.x8x15(“祖冲之杯”邀请赛试题)、一、一2

18、一一,一一、一一、一10、设方程x|2x1|40,求满足该方程的所有根之和(重庆市竞赛试题)11、首项系数不相等的两个二次方程22_2_(a1)x(a2)x(a2a)0及(b1)x2(b22)x(b22b)0(其中a,b为正整数)有一个公共根，求ba的值.(全国初中数学联赛试题)12、小明用下面的方法求出方程2&30的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解2H30令Vxt,则2t30t32t§02L3.9xx一,x24x2G30xx/x240初中九年级数学培优训练（奥数）专题04根与系数关系

19、阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的.韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：1 .求方程中字母系数的值或取值范围；2 .求代数式的值；3 .结合根的判别式，判断根的符号特征；4 .构造一元二次方程；5 .证明代数等式、不等式.当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判

20、别式4>0.例题与求解【例1】设关于x的二次方程（m24）x2（2m1）x10（其中m为实数）的两个实数根的倒数和为s,则s的取值范围是.2_【例2】如果方程(x1)(x2xm)值范围是.3A.0m1B.m-40的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m的取3,3,C.-m1D.-m144【例3】已知，是方程x27x80的两根，且.不解方程，求232的值.st4s1.【例4】设实数s,t分别?t足19s99s10,t99t190并且st1,求的值.b1a1,【例5】(1)若实数a,b满足a258a,b258b,求代数式的值；a1b13x2vza(2)关于x,y,z的万程组y有实数解

21、(x,y,z),求正实数a的最小值；xy2yz3zx6(3)已知x,y均为实数，且满足xyxy17,x2yxy266,求x4x3yx2y2xy3y4的值.【例6】a,b,c为实数，ac0,且信点bJ5c0,证明一元二次方程ax2bxc0有大于3而小于1的根.能力训练A级1 .已知m,n为有理数，且方程x2mxn0有一个根是痣2,那么mn=2 .已知关于x的方程x23xm0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为.223.当m=时，关于x的方程8x(2mm6)x2m10的两根互为相反数；2一2时，关于X的方程x2mxm40的两根都是正数；当时，关于m的方程3x22xm80有两个大于2的根.4.对于一

22、切不小于222的自然数n.关于x的一兀二次万程x(n2)x2n0的两根记为an,bn(n2)则(a22)(b22)(a32)(b32)1(a20072)(b20072)5.设xi,x2是方程x22(k1)x(k22)0的两个实根，且(xi1)(x>1)8,则k的值为()A.M1B.C.D.k1_一的一切实数26.设x1,x2是关于次方程2mx的两个实数根，且0,x23x10,则m1B.C.A.n27.设x1，x2是方程2xk0的两个不等的实数根，则2Xi2x22是(C.负数A.正数8.如图，菱形ABCD的边长是5,两对角线交于。点，且2_x(2m1)x0的根，那么m的值是(A.3B.5C

23、.5或39.已知关于x的方程:2/x(m2)x2m0.4(1)求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根;AO,(2)若这个方程的两个根是xi,x2,且满足x2x,2,求m的值及相应的xi,x2.24x30的两个不相等的实数根.10.已知Xi,X2是关于x的一兀二次万程kx(1)求k的取值范围；(2)是否存在这样的实数k,使2x12x2二一2成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理x/x2由.11.如图，已知在ABC中，/ACB=90°,过C点作CDLAB于D,设AD=m,BD=n,且AC2：BC2=2:1;又关于x的方程2(n1)x120两实数根的差的平方小于192,求整

24、数m、n的值.0有正整数解，求m,n的值.212.已知m,n是正整数，关于x的方程xmnx(mn)B级2一一3.21 .设为，x2是二次万程xx30的两根，则X4x219=2一一一一2一一一一a2 .已知ab1,且有5a1995a80及8b1995b50贝Ub，一.一.、一一2一22_一.3 .已知关于x的一兀二次方程x6xk10的两个实数根是x1，x2,且xix224,则4.已知Xi,X2是关于X的2二次万程xaXa2的两个实数根，则(Xi2X2)(X22xi)的最大值为5.如果方程X2pX10(p>0)的两根之差为1,那么p等于(B.4二次方程mX2m10的两个实数根分别是X1,X2

25、,且X12，、2一(X1X2)的值是A.1B.12C.13D.257.在RtAABC中,的方程X27xc70的两根,a、那么b、c分别是/A、AB边上的中线长是b是关于B.C.58.设a2b213b且aC.91的值为(b2D.11a,b为整数，且方程3x23(ab)X4ab0的两个根满足关系式1)(1)(1)(1).试求所有整数点对(a,b).10.若方程X23x10的两根也是方程x6px2q0的两根，其中p,q均为整数，求p,q的值.11.设a,b是方程x23x10的两根，是方程x24x20的两根，已知2/、a(1)bcdb2cda2cdabd2abc7M7;3(2)bcdb3cda3cda

26、bd349Mabc12.设m是不小于1的实数，使得关于x的一元二次方程x22(m2)xm23m10有两个不相等实数根x1,x2.(1)若x；x226,求m的值;22求必义的最大值.1x11x22213.已知关于x的一兀二次方程xcxa0的两个整数根恰好比方程xaxb0的两个根都大1,求abc的值.初中九年级数学培优训练（奥数）专题06转化与化归-特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、换元；3、平方；4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘

27、等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”例题与求解【例1】已知方程组3Xx2yy523的两组解是（X，y1）与（x2,y2）,则x1y2x2yl的值是（北东市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值【例2】方程组xzyz63的正整数解的组数是（A.1组B.2组C.3组D.4组解题思路：原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手.【例3】解下列方程13xx,13x、(x)42；x1x12-2，/x3xxx411_2_2_2x22x83x29x12(3)(19

28、99x)3(x1998)31；(4)2_2_2(x3x4)(2x7x_2_2_26)(3x4x2)（“祖冲之杯”邀请赛试题）（河南省竞赛试题）（山东省竞赛试题）（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解【例4】（1）（2）（3）解题思路:解下列方程组1-.x-.xy3.3,y12xy6;yx(x1)(3x5y)144,2x4x5y24;23o2yx3x2x,232xy3y2y.（山东省竞赛试题）（西安市竞赛试题）（全苏数学奥林匹克试题）观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理【例5】的解.例6若关于x的方程上二-p-x

29、1xxkx1只有一个解（相等的解也算一个）x.试求k的值与方程（江苏省竞赛试题）方程2x2xy3xy20060的正整数解有多少对?（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题能力训练21.万程2(x1、1、,2）3（x）1的实数根是xx_222一一2.x3x42x7x6一22、人、-I，一，3x24x2,这个方程的解为3.实数x,y,z满足63y,3y2xy2则x2yz的值为2z0,（上海市竞赛题）2,/-axbx10,bx2xa0,有实数解，则ab12xaxb0（武汉市选拔赛试题）5.使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得个数为（A.4个B.3个C.

30、2个D.1个6已知方程组xy:I有实数根，那么它有（）（“五羊杯”竞赛试题）A.一组解B.二组解7.设a213a,b213b且aA.5B.7C.三组解1b,则代数式aC.9D.无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题）1、,2的值为（）b2D.11228.已知实数x,y满足xyxy9,xyxy2220,则xy的值为（A.6B.17C.19.已知关于x,y的方程组22xyp,3xyp(xy)2有整数解x,y,求满足条件的质数PP.（四川省竞赛试题）10.已知方程组xy/c20,的两个解为xt1,xx且x1,x2是两个不等的正数xy0yy1,yy2.（1）求a的取值范围；若x12x23x1x28a26a1

31、1,试求a的值.（南通市中考试题）211.已知a,b是万程t0的两个实根，解方程组y-by-a1x,1y.（“祖冲之杯”邀请赛试题）12.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q,且满足关系式p2qp21c5,试求pqpq6,这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B级xyz.xyz151.方程组xyz的解是2342.已知17x29x13V7x25x137x,贝Ux的值为3.已知实数xo,y0是方程组yy的解，则xo1y。.（全国初中数学联赛试题）（全国初中数学联赛试题）xy9,4.方程组工工x.y4的解是（“希望杯”邀请赛试题）5.若二元二次方程组1,21有唯一解,则k的所有可能取

32、值为（学习报公开赛试题）6.正数Xi,X2,X3,X4,X5,X6同时满足X2X3X4X5X6X1X3X4X5X6I,X1X2X4X5X63,X1X2X3X5X6X1X2X3X4X66,7.8.9.X4X5方程A.XiX2X3X1X2X3X4X5X69.则X2X3X4X6的值为（上海市竞赛试题）6x20的所有根的积是（B.-3C.-6E.以上全不对（美国犹他州竞赛试题）设x,y为实数，且满足A.B.-1已知xyzX2X1,z2,2zB.3,110.对于实数只有和.xy个实数值1999x1999yC.yzC.x满足等式11.解方程,x2x1x2x11则xy1,D.-2（武汉市选拔赛试题）zxD.

33、312xa2X1X210，试求所有这样的实数a的（江苏省竞赛试题）Ja,其中a0,并就正数a的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）已知a,b,c三数满足方程组工,8,8房48试求方程bx2exa°的根.（全国初中数学联赛试题）13.解下列方程（组）(1)9x216;（武汉市竞赛试题）2一(2)6x73x4x16；（湖北省竞赛试题）y,z,x,4x2(3)14x24y”14y24z214z2（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）初中九年级数学培优训练（奥数）专题08二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1

34、.二次函数解析式yax2bxc的系数符号，确定图象的大致位置.2bb4acb2 .二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a有关，与（一,）决定抛2a2a4a物线对称轴与顶点的位置.3 .二次函数的解析式通常有下列三种形式：一般式：yax2bxc；顶点式ya（xm）2n：；交点式：ya（xx1）（xx2）,其中x1,x2为方程ax2bxc0的两个实根.用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷例题与求解【例1】二次函数yax2bxc的图象如图所示，现有以下结论：abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abmambm1.其中正确的结论有（A.1个B.2个C

35、.3个D.4个（天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a,b,c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】若二次函数yax2bxc（aw0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（一1,0）,则Sabc的值的变化范围是（）A.0vS<1B.0<Sv2C.1vSv2D.1vSv1（陕西省竞赛试题）解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化范围.【例3】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）2在跳某

36、个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最局处距水面10米，入水处距池边的距离3为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿3势时，距池边的水平距离为3-米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.（河北省中考试题）53解题思路：对于（2）,判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为3±米时，该运动员5与跳台的垂直距离.跳台支柱mOdi【例4】如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4,

37、J3）,且在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上求作一点P（不写作法），使PA+PC最小，并求P点坐标；（3）在X轴的上方的抛物线上，是否存在点Q,使得以Q,A,B三点为顶点的三角形与ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由（泰州市中考试题）解题思路：对于（1）、（2）,运用对称方法求出A,B,P点坐标；对于（3）,由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.(辽宁省中考试题)解题思路：设DN=PM=值点不一定是抛物

38、线的顶点,Ax,矩形PNDM的面积为y,建立y与x的函数关系式.解题的关键是：最应注意自变量的取值范围值；若不存在，请说明理由解题思路：把相应点的坐标用关键是分类讨论.y【例6】将抛物线01:y1J3x2v'3沿x轴翻折，得抛物线C2,如图所示.(1)请直接写出抛物线c2的表达式.(2)现将抛物线ci向左平移m个单位长度，平移后得到白新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B；将抛物线C2向右也平移移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D,E.当B,D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是

39、矩形的情形？若存在，请求出此时m的(江西省中考试题)m的代数式表示，由图形性质建立m的方程.因m值不确定，故解题的能力训练1.已知抛物线2/x(a2)x9的顶点在坐标轴上，则a的值为2.已知抛物线2,xbxC与y轴交于点A,与x轴正半轴交于B,C两点，且BC=2,SABC=3,ABCc的图象如图所示y3xyx12axyyyyyOOOOxxxxCABDy2对称yE6m4m8mO-1AOyoBE,则下列关系式不能总成立的是根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是B.顶点是（2,2）D.与y轴的交点是（0A.过点（3,0）C.在x轴上截得的线段长度是2bxc的图象过点（1A.b0D.ac0C.

40、ac112xBx27.如图，抛物线yaxbxc与两坐标轴的父点分别是A,B,EB.SABEc1一、一一，一,、-），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该42x（四川省中考试题）则b=iL第7题图8.如图，某中学的校门是第8题图抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（）A. 9.2米B. 9.1米C.9米D.5.1米（吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图.在地面O,A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为a和B,OA=

41、1千米，tana=2,tan§=3,位于O点正上方5千米D2883点处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10 .如图，已知ABC为正三角形，D,E分别是边AC、BC上的点（不在顶点），/BDE=60°.（1）求证：DECsBDA;（2）若正三角形ABC的边长为6,并设DC=x,BE=y,试求出y与x的函数关系式，并求BE最短时，BDE的面积.11 .如图，在平面直角坐标系中，OBLOA且

42、OB=2OA,点A的坐标是（一1,2）.（1）求点B的坐标；（2）求过点A,O,B的抛物线的解析式；（3）连结AB,在（2）中的抛物线上求出点P,使SabpSabo.（陕西省中考试题）212 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线yxmxn经过点A(3,0),B(0,3)两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点这条抛物线的解析式；(2)若点P在第四象限，连结BM,AM,当线段PMM.设点P的横坐标为t;(1)分别求直线AB和最长时，求ABM的面积;(3)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由(南

43、宁市中考试题)5,则C=1 .已知二次函数yx26xc的图象顶点与坐标原点的距离为x26x上.设2 .如图，四边形ABCD是矩形，A,B两点在x的正半轴上，C,D两点在抛物线yOA的长为m(0vmV3).矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为(昆明市中考试题)第2题图3 .如图，在。O的内接ABC中,A当AB的长等于时，OOAB+AC=12,ADXBC,垂足为D(点D在边BC上)，且AD=3,的面积最大，最大面积为.4 .如图，已知二次函数y12axbxc(a0)与一次函数y2kxm(k0)的图象相交于点A(杭州市中考试题)2,4),B(8,2),则能使y1y成立的x的取值范围时5.已

44、知函数y2axbxc的图象如下图所示，则函数yaxc的图象只可能是（重庆市中考试题）yCABD6.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,则下列6个代数式:ab,ac,abc,abc,2ab,2aA.2个b中，其值为正的式子个数为（）B.3个C.4个D.4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线2axbxcA.1B.08.已知二次函数八2uyaxbx函数y的值分别时yi,y2,y3,a.yy2y3B.9.已知抛物线y2mx（3m形，求抛物线的解析式.10.如图，已知点M,N（aw0）的对称轴是xC.1c（a0）的对称轴是2,那么y1，y2,y的大小关系是（yy2y3且经过点2,且当C.y

45、2y1y3P（3,0）则aD.2Xi2,x2D.y2bc的值为（）,X30时，二次yy34、-）x4与x轴交于两点a,B,与y轴交于C点，若ABC是等腰二角（“新世纪杯”初中数学竞赛试题）的坐标分别为（0,1）,（0,1）,点P是抛物线y12,x上的一个动点.4（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y1的位置关系;12（2）设直线PM与抛物线yx的另一个交点为Q,连结NP,NQ,求证:4/PNM=/QNM.（全国初中数学竞赛试题）11.已知函数yx2x12的图象与x轴相交于相异两点A,B,另一抛物线yax2bxc过点A,(天津市竞赛试题)B,顶点为P,且APB是等腰直角三角形，求a,b,

46、c的值.2.12.如图1,点P是直线l:y2x2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线yx于a,B两点.13(1)右直线m的解析式为y-x,求A,B两点的坐标；22(2)如图2,若点P的坐标为(2,t),当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；试证明：对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立；(3)如图3,设直线l交y轴于点C,若4AOB的外心在边AB上，且/BPC=/OCP,求点P的坐标.(武汉市中考试题)图1初中九年级数学培优训练（奥数）专题09特殊与一般二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是yax2bxca0,从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于x的二次三项式，若令y=0,则得ax2bxc0这是一个关于1 .当0时,次方程，因此,二次函数与方程有两个不相等实数根，抛物线与二次方程有着密切的联系，表现为:x轴有两个不同的交点，设为A(xi,0),B(x2,0）,其中xi,x2是方程两相异实根,ABb24ac；;2 .当0时,3 .当0时,方程有两个相等实数根，抛物线与x轴只有一个交点；方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问