函数模型与应用

1、O3Hl132力士效用无G以2函强概念与基本初等困故1第12练函数模型及其应用训练目标（1）函数模型应用；（2）审题及建模能力培养.训练题型函数应用题.解题策略（1）抓住变量间的关系，准确建立函数模型；（2）常见函数模型：一次函数、二次函数模型；指数、对数函数模型；y=ax+b型函数模型.xi.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品

2、价值为100元.该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?2. （2016绍兴模拟）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万2元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=X-48x+8000,已知此生产线年5产量最大为210吨.（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？3. （2016潍坊检测）rni:在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店

3、以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q（百件）与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额;(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？4.某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研，结果

4、如图所示，其中图(一条折线卜图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系.万件万件口辅售利；元以:/_%L.疝LiJ天02040"天20却tHi国蚱市场网内市场(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.5.(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的

5、公路为ll,12,山区边界曲线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M,N为C的两个端点，测得点M到li,12的距离分别为5千米和40千米，点N到li,12的距离分别为20千米和2.5千米，以12,li所在的直线分别为ax,y轴，建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=/*(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值；(2)设公路1与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路1长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.答案解析1 .解设该单位每月获利为S,贝US=100x-y=100x-gx2-200x+80000j1 2=2x2+300x

6、80000=-1(x-300)2-35000,因为400<x<600,所以当x=400时，S有最大值40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.-y一一2 .解(1)每吨平均成本为丫(万兀).x则丫=.8000-48>2a/x8000-48=32,x5x,5x当且仅当x=800,即x=200时取等号.5x，当年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)=40x-y=40x-+48x-8000=-x+88x-8000=-1(x-220)2+1680(0<x<210).555'

7、;R(x)在0,210止是增函数,1o.*x=210时，R(x)有最大值为g(210220)2+1680=1660.，当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.3.解设该店月利润余额为L,则由题设得L=Q(P14)X10036002000,由销量图易得12P+50,14WPW20,Q=33|-P+40,20<PW26,2代入式得(2P+50JP-14jX1005600,14WPW20,-|p+40jP-14)X100-5600,20<PW26.(1)当14WPW20时，Lmax=450元，此时P=19.5元;当20<PW26时，Lmax1250故当P=19.5元时，月

8、利润余额最大，为450元.20(2)设可在n年后脱贫，依题意有12nx45050000580000,解得n>20.即最早可望在年后脱贫.4 .解(1)图是两条线段，由一次函数及待定系数法,得f(t)=，2t,0<t<30,-6t+240,30<t<40.图是一个二次函数的部分图象,故g(t)=-#+6350).(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)=3t,0<t<20,60,20<t<40.故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)f3t20t2+8t；,0WtW20,60+8ti,20<t

9、<30,I60卜#+240>30<t<40.当0WtW20时，F(t)=3t(-畀+心-20t3+24t：F'(t)=27?+4&=12720t尸0，F(t)在0,20上是增函数,F(t)在此区间上的最大值为F(20)=6000<6300.当20<tW30时，F(t)=60A由F(t)=6300,得3t2-160t+2100=0,解得t=70(舍去)或t=30.3当30<tW40时，F(t)=60-A40)由F(t)在(30,40上是减函数，得F(t)<F(30)=6300.30天.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第5 .解(1)由题意知，点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入丫=恭,解得a=1000,<b=0.一a-=40,25+b得Ia-=2.5,L400+b小,1000(2)由(1)知，y=T(5WxW20),人则点P的坐标为1詈I；设在点P处的切线l交X,y轴分别于A,B点，v'=一罩0X则l的方程为y军一竿(xt),由此得A佚0),B(0,掣)故f(t)=羽颦24X1064,t5,20.6624X1016X10设g(t)=t+14，则g'(t)=2tt5令g'(t)=0,解得t=10