平面向量分解定理

1、Decomposition Theorem of two Dimensional VectorsGOCMNABOMON aae1e2ae1e2 设设 、 是同一平面内的两个不平是同一平面内的两个不平1e2e行的向量，行的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究我们研究 a 与与 、 之间的关系之间的关系1ea2e研究研究OC = OM + ON =OC = OM + ON =21OA + OBOA + OB11e2e2即即 a = += +1ea1eA A2eO OB B2eN NM MM MN N研究研究a平面向量分解定理 一向量 a 有且只有一对实数 、

2、使21平行的向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不1e2ea = + 2e211e这一平面内所有向量的一组基我们把不平行的向量 、 叫做1e2e零向量不能作为基平面向量分解定理 (另一种陈述) 平面内任一向量可以唯一地表示为两个指定向量的线形组合的充要条件是两个指定向量不平行.（1）一组平面向量的基有多少对？(有无数对)思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ 21(可以不同，也可以相同)O OC CF FM MN NaE E E EA AB

3、BN NOC = 2OB + ONOC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OEOC = OF + OE 特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ： 可使可使 0 =11e2e2+.21= 0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？21特别的，若特别的，若a与与 （ ）平行，则有）平行，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + .121e22e2e11e已知向量 求做向量-2.5 +3 例1： 、 1e2e1e2e1e2e15 .2e23eOABC?MMDMCMBMAbabA

4、DaABABCD、表示、，用，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形D DC CB BA AM M例2: 例3、 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,在图中确一组基，将其他向量用这组基表示出来。ANMCDB解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM 21=(AN-AD)- DC(ADAB)+DCDC = AB =21211e设AB = ,AD = ,则有：1e2e41= - .2e1e1e2e1e21= - + = 2141= - - 2e1e1e2e211e- -+ANMCDB 评析评析 能够在具体问题中适当地

5、选取基，使其他向量能够用基来表示，再利用有关知识解决问题。 例4: ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCEFBADCEE、F分别是DC和AB的中点,AE= AD+ DE = b+ a2121CF= CB+ BF = -b - aAE= - CFAE与CF平行，又无公共点AE,CF平行.解：设AB= a,AD= b.使得AB = BD. 设 a、b是两个不平行的向量，已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,CD = 2a b,若A、B、D三点共线，求k的值。 A、B、D三点共线解：AB与BD平行，则存在实数思考思考k = 8 .= a 4

6、b由于BD = CD CB =(2a b) (a +3b)则需 2a + kb = (a 4b ) 由向量相等的条件得2 =k = -4241kOPOBOARkABkAPkOBOA表示向量用且是实数是不平行的两个向量，、如图，已知,),( ABPoABkAP 解：APOAOPOAOBkOAOAkOBkOAOBkOAk)1 (ABkOA例5:)( 1,ROBOAOPABPOBOA，且，使得，求证：存在实数上在不平行，点练习：设APBoABPBABAP,证明：设向量1ABPBAPAPOAOPABOAOAOBOAOBOA 1OBOA 1.平面向量分解定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在

7、同一平面内任一向量都可以表示为不平行向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结课堂总结 总结：1、平面向量分解定理内容2、对基本定理的理解（1）实数对1、 的存在性和唯一性（）基的不唯一性（）定理的拓展性、平面向量分解定理的应用求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题思考思考 在梯形在梯形ABCDABCD中，中，E E、F F分别时分别时ABAB、CDCD的中点，用向量的方法证明：的中点，用向量的方法证明： EF/AD/BC,EF/AD/BC,且且EF = (AD+BC)EF = (AD+BC)21=1 1+2 2DCBAMM?ABCDABADMAMBMCMD如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点，且，用 、 表示、abab4 4、证明唯一性：、证明唯一性：证明：（证明：（1 1）当）当 时，时，（2 2）当）当 时，假设时，假设 ，则有，则有 由于由于 不平行，故不平行，故 ，即即 。0 a21000ee 0 a2211eea 0)()(2211 ee 21,ee0)( , 0)(21 21, B2.已知ABC中，D是BC的中点，用向量 ， 表示向量ABACAD3.设P，Q分别是四边形的对角线AC与BD的中点， ,并且a， b不是共线向量，试用基底a， b表示向量,BCDAabPQ设